énoncé - MPSI-3

Lycée Thiers
DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° 3
– Relations Transitives –
Soit E un ensemble à deux éléments. Combien existe-t-il de relations binaires sur E ? Enumérer, en les
dessinant, toutes ces relations binaires, en repérant celles d’entre-elles qui sont transitives.
– Anneaux ordonnés –
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif, muni d’une relation d’ordre notée 6 telle que :
∀ x, y, z ∈ A3 , x 6 y ⇒ x + z 6 y + z
∀ x, y, z ∈ A3 , x 6 y et 0 6 z ⇒ xz 6 yz
On dit que (A, +, ×, 6) est un “anneau commutatif ordonné”.
1) Soit x, y ∈ A2 .
a) Montrer que si x 6 y alors −y 6 −x.
b) Montrer que si x 6 y et z 6 0, alors yz 6 xz.
2) Montrer que si l’ordre est total, alors ∀a ∈ A, 0 6 a2 .
– Ideaux d’un anneau commutatif –
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif et soit I ⊂ A. On dit que I est un « idéal » de A lorsque :
I est un sous-groupe de (A, +)
et
∀ (i, a) ∈ I × A, ia ∈ I
1) Soit I un idéal de A. Que peut-on dire de I si I ∩ A? , ∅ ? Quels sont les idéaux d’un corps ?
2) Quels sont les idéaux de l’anneau (Z, +, ×) ?
3) Soient A, B deux anneaux commutatifs et f : A → B un morphisme d’anneaux.
a) Montrer que l’image directe d’un idéal de A n’est pas – en général – un idéal de B; mais que
c’est le cas si f est surjectif.
b) Montrer que l’image réciproque d’un idéal de B est un idéal de A contenant ker f .
4) Soit I un idéal d’un anneau commutatif (A, +, ×) . On appelle « radical » de I l’ensemble :
n
o
√
I = x ∈ A; ∃k ∈ N? , xk ∈ I
√
a) Montrer que I est un idéal de A.
√
b) Expliciter I dans le cas où A = Z et I = nZ.
√
c) A quelle condition sur n a-t-on nZ = nZ ?
q
√
√
d) Montrer que
I = I.
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√
√
√
I ∩ J = I ∩ J.
√
√
√
f) Montrer que I + J ⊂ I + J.
e) Montrer que
5) Etant donnés un anneau (A, +, ×) et I un idéal de A, on définit sur A une relation binaire notée ∼
comme suit :
∀ x, y ∈ A2 , x ∼ y ⇔ x − y ∈ I
a) Vérifier qu’il s’agit d’une relation d’équivalence. On note A /I l’ensemble des classes d’équivalence.
b) Vérifier que, pour tout x ∈ A, la classe d’équivalence de xest x + I (ensemble des éléments de
A de la forme x + i, avec i ∈ I arbitraire).
c) Justifier que l’on peut définir une structure d’anneau commutatif sur A /I en posant :
(x + I) + y + I = x + y + I
def
et
(x + I) y + I = xy + I
def
6) On conserve les notations de la question précédente. Un idéal I de A est dit :
— “premier” lorsque ∀ x, y ∈ A2 , xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
— “maximal” lorsque pour tout idéal J de A : I ⊂ J ⇒ J = I ou J = A
a) Montrer que I est premier si, et seulement si, A/I est intègre.
b) Montrer que I est maximal si, et seulement si, A/I est un corps.