1) Définition et premières propriétés.

Exposé 14 : Nombres décimaux. Applications.
Pré requis :
- Propriétés de
ℕ,ℤ,ℚ,ℝ
- Partie entière : E[x]
- Théorème de convergence sur les suites adjacentes. Séries convergentes
- On rappelle l'existence et l'unicité de l'écriture d'un entier en base 10.
1) Définition et premières propriétés.
Définition : Un nombre décimal d est un nombre réel tel qu'il existe un entier naturel n tel
que d.10n appartienne à
ℤ
.
On note ID l'ensemble des nombres décimaux.
Preuve :
Soit
x∈ℤ
, x = x.100 donc
x∈ID
d'où
ℤ⊂ID
Soit
d∈ID ,
il existe
p∈ℕ
tel que
d.10 p∈ℤ
pour un tel p , il existe un
k∈ℤ
tel que
d.10 p=k
ie
d=k
10 p∈ℚ
d'où
ID⊂ℚ
.
Remarque:
ℚ
n'est pas inclus dans ID. En effet
1
3∉ID
( par l'absurde supposons que
1
3∈ID
alors il existe un entier p et un entier relatif k tel que
10 p
3=k
donc
10 p=3.k
Or pour tout p entier , 10p n'est pas un multiple de 3.)
Conséquence : d est un nombre décimal si et seulement s'il est de la forme
c
b
où b s'écrit de
la forme
2a1. 5a2
Preuve :
Soit
d∈ID 
.
∃n tq d.10n∈ℕ
donc
∃b∈ℕ tq 10n.d=b=b1b2b3...bp
(écriture unique en base 10 d'un nombre entier)
p∈ℕ
Propriété :
ℤ⊂ID⊂ℚ
Théorème : Tout nombre décimal d s'écrit de manière unique :
d=ε∑k=0
Nak
10k
où N est un
entier naturel :
1. ε =1 si d ≥ 0 et -1 sinon
2.
a0∈ℕ
3.
∀k∈ℕ ,1kN , ak∈{0,1 ,... ,9}

b0b1... bp=∑k=0
pbk10 p−k
=>
d=∑k=0
pbk10 p−k−n
On pose
a0=∑k=0
p−nbk10 p−k−n
et pour tout k ,
ak=bp−nk
Convention d'écriture : Dans la pratique , on adapte la convention d'écriture suivante :
31253
102=312,53
Exemple : 1,234 36,0007 et
5
2
Remarque :
–2,3 et 2,30 sont égaux car
2,3=23
10 =230
102=2,30
–Pour comparer deux nombres décimaux , il faut le même nombre de chiffres après la
virgule :
exemple : 2,17<2,3 car 2,3=2,30 et 2,17<2,30
Preuve : -( ID, +, .) est un sous anneau de (
ℚ
, + , .) :
en effet (ID, +)sous-groupe de (
ℚ
, +) car ID non vide (
1∈ID
et
0∈ID
(neutre +) la différence de 2 décimaux est un décimal (nombre de décimal
valant max(n,n') )
Stabilité par . : a = 10n d et b = 10n' d' alors dd' est décimal car 10n+n'dd'=ab
∈ℤ
Preuve
Soit
x∈ℝ
:
–
E[10nx]10nxE[10nx ]1
par déf de E[x]
D'où
unxvn
*
–
10 E[10nx]10.10nx10 E[10nx]1
⇒10 E[10nx]E[10n1x]⇔ E[10nx]
10n[10n1x] 10n1
⇒unun1
D'où (un) est croissante.
–
E[10n1x]10n1x10E[10n]1
⇒E[10n1]10 [10nx]9
⇒E[10n1]110[10nx]10
⇒vn1vn
D'où (vn) est décroissante
–
lim vn−un=lim 1
10n=0
Théorème : ( ID , + , . ) est un anneaux commutatif intègre et unitaire.
Théorème : Soit x un réel. Les suites décimaux (un) et (vn) définies par :
un=E[10n.x]
10n
et
vn=un1
10n
sont adjacentes et convergent vers x (pour
x∈ℝ
)

vn et un sont deux suites adjacentes donc elles convergent vers une limites commune et
de * on déduit :
lim vn=lim −un=x
Preuve : Pour tout x réel , on est capable de construire une suite de décimaux convergeant
vers x.
ID étant dense dans
ℝ
cela veut dire que l'on peut approcher tout réel en faisant une erreur
aussi petite que l'on veut.
2) Ecriture décimale d'un nombre réel
On considère x positif dans la suite de l'exposé.
Preuve :
1. evident
2. b)
E[10nx]10nx10 E[10n−1x]1
⇒E[10nx]10.E[10n−1x]9
⇒E[10nx]−10 E[10n−1x]9
De plus , (un) est croissante donc an ≥0
3. Or
∑
k=0
nak
10k=un
et
lim un=x
d'où
x=∑
n=0
∞ an
10n
Théorème : La suite (an) définie par :
a0=E[x] et an=E[10nx]-10E.[10n-1x]
∀n∈ℕ ∗
vérifie les propriétés suivantes :
1)
∀n∈ℕ ∗,an
10n=un−un−1
2)
∀k∈〚1, N〛, ak∈{0,1 ,...,8 ,9}
3)
x=∑
n=0
∞ an
10n
Corollaire : ID est dense dans
ℝ
Définition : Pour un entier naturel n , (un) ( resp.vn) est appelé valeur décimale approchée par
défaut ( resp. par excès ) de x à 10n près.

Définition: On obtient ainsi un développement décimal illimité du réel positif x et l'on
commodément x=a0,a1a2a3.......
Remarque :
–On prolonge l'écriture des nombres décimaux aux nombres réels
–Le développement décimal obtenu n'est pas unique
Exemple 1,999... et 2,0000 désigne le même réel.On dit que 1,99.... est l'écriture décimale
impropre de 2.
Preuve :
Lemme : Il existe une unique suite (an) d'entier naturels tq : b
∀i∈ℕ , ai∈{0,1 ,2 ,... ,9}
et
∀n∈ℕ , aoa1
10 ...an
10nxaoa1
10 ...an
10n1 10n
Preuve lemme: existence , les suites un et vn .
unicité soit m un entier tq
un=m
10n
où
m∈ℕ
. On a
m
10n=a0a1
10 ...an
10n⇔m=a0.10na1. 10n−1...an
l'unicité de l'écriture des entier en base 10 nous amène une unique solution. Pour
achever la preuve il faut vérifier que les coefficients ai sont les même aux rang n et
n+1. On suppose :
b0b1
10 ...bn1
10n1xb0b1
10 ...bn1
10n11 10n1
Puisque :
bn1
10n11 1On11 10nalors b0b1
10 ...bn
10nxb0b1
10 ...bn
10n1 10n
l'unicité au rang
n de (a0,a1,a2,...,an) montre que
∀i∈{0,... , n}, bi=ai
Preuve th :
Soit S l'ensemble des suites (an) vérifiant :
∀∈ℕ ∗,0an9
et « il n'existe pas d'entier N
tq an=9 pour tout n≥N »
L'application f :
Sℝ 
qui à la suite (an) associe a0,a1a2a3...an est une bijection ( car cette
application est bien définie d'après la convergence de la série
∑
n=0
∞ an
10n
.
Elle est surjective d'après le lemme.
Elle est injective : Soit f((an))=x alors
∀n∈ℕ , aoa1
10 ...an
10nxaoa1
10 ...an
10n∑
k=n1
∞ 9
10k
comme
∑
k=n1
∞ 9
10k=∑
k=n1
∞ 10−1
10k=∑
k=n1
∞ 1
10k−1−1 10k=1 10n
an vérifie le lemme précédent et est donc unique.
Théorème : On obtient l'unicité du développement décimal de
x=∑
n=0
∞ an
10n
, où pour tout
n∈ℕ
,
an∈{0,1,2 ,... ,9}
en imposant à la suite (an) la condition :
“il n'existe pas d'entier N telque an=9 pour tout n≥N ”.

3) Autres applications
a) Non dénombrabilité de IR
Preuve : procédé diagonal : On suppose par l'absurde que IR est dénombrable . On pourrait
alors écrire
ℝ={xi,i∈ℕ}
On pose
xi=xi,0 , xi,1 xi,2 xi,3...
et on créé le réel
x=x0,0 , x1,1 x2,2 x3,3 ...
, le nombre x n'est
donc pas dans IR+ ce qui est une contradiction, donc IR n'est pas dénombrable.
b) Algorithme donnant l'écriture décimale d'un rationnel
A l'aide d'une suite de division euclidienne ( c'est ce que l'on fait quand on pose une division
dans IN )
Démonstration :
Soit
x=a
b∈ℚ 
avec
a , b∈ℕ×ℕ ∗
-
a=b.qr avec 0rb⇒x=qr
b
–
10r=bq1r1avec 0r1b et q1∈{0,... ,9}
car
010r=bq1r110b⇒0bq1b−1et bq110b⇒0q110 et x=qq1
10 ...qn
10n
–Par récurrence :
x=qq1
10 ...qn
10nrn b10n
avec
10rn−1=bqnrn,0rnb
et où
qi∈{0,1 ,... ,9}∀i∈ℕ
–
x=q , q1q2q3...
est l'écriture décimale illimité de x car (qn) vérifie le lemme du 2)
c) Caractérisation des nombres rationnels
Preuve : <= On suppose x réel positif qui a un développement décimal périodique
x=b0, b1b2b3... bNbN1... bNmbN1... BNm
⇒y=x−b0, b1b2b3...bN−1=10− N−1. 0,bNbN1 ... bNm
On peut toujours se ramener à ce cas
10my=bNbN1... bNm−1y⇒10m−1y=bNbN1... bNm−1⇒y∈ℚ ⇒ x−b0, b1b2... bN−1∈ℚ
=> Soit
x=a
b∈ℚ 
avec
a , b∈ℕ×ℕ ∗
Comme
rk∈
[0,b[ , rk ne prend
qu'un nombre fini de valeurs et .......... C'est dur !!
Définition : Pour un réel x négatif on a l'écriture décimale de -x=a0,a1a2a3..... et on pose
x=-a0,a1a2a3.....
Définition : Une suite décimale illimité
b0, b1b2b3...
est dite périodique s'il existe deux
entiers naturels N et m tous deux supérieurs à 1 tels que
∀nN , bnm=bn
Théorème : Un nombre réel x est rationnel si et seulement si son écriture décimale illimité est
périodique