Approche graphique Intuitivement, on reconnaît qu

Fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires.
C-D 1&2
A Continuité .
Approche graphique
Intuitivement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un intervalle I lorsque sa courbe
représentative peut être tracée sans lever le crayon.
Des exemples :
Les trois premiers graphes présentent des fonctions continues, le dernier
représente une fonction discontinue en deux points, c'est la représentation de la
fonction dérivée de la troisième courbe.
1- Continuité et dérivabilité (admis)
Une fonction qui est dérivable sur I est continue sur I.
Remarque, la réciproque n'est pas vraie, la fonction valeur absolue est continue sur ℝ mais
elle n'est pas dérivable sur ℝ , elle n'est pas dérivable en 0.
Il existe des fonctions continues sur I mais non dérivable sur I.
2- Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions affines, carrées, polynômes, sont dérivables sur ℝ donc sont continues sur
leur ensemble de définition.
Les fonctions inverse, rationnelles, racine carrée, valeur absolue sont continues sur tout
intervalle contenu dans leur ensemble de définition .
Les fonctions obtenues par opérations ou composition à partir de fonctions continues sont
continues sur leur ensemble de définition.
,
3- Un contre exemple
La fonction « partie entière » est la fonction définie
sur ℝ qui à tout réel x associe l'unique entier
relatif n tel que n xn1 . On note cette
fonction E.
On a E(3,8) = 3; E(-2,5)=-3; ....
Représentation graphique
S. Baudet
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Fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires.
B
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Théorème des valeurs intermédiaires
1- Cas général (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Si a et b sont deux réels de I et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au
moins un réel x compris entre a et b tel que f(x) = k.
(ce théorème est provisoirement admis)
2- Équation f ( x )=k .
Soit à résoudre f ( x )=k sur I. Si I contient a et b tels que leur images par f encadrent k alors le
TVI assure l'existence d'au moins une solution entre a et b.
Interprétation graphique
Soit C la courbe représentative de la fonction f continue
sur [a ; b] et soit k un réel compris entre f(a) et f(b).
Comme la fonction f est continue, la courbe C traverse la
droite D d'équation y=k en au moins un point.
L'équation f(x) = k a donc au moins une solution dans
l'intervalle [a ; b].
Attention : cette solution n'est pas forcément unique.
3- Cas des fonctions continues strictement monotones
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k
compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans [a ; b].
Démonstration
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au
moins un réel x0 tel que f  x 0=k .
Soit x1 un autre réel de [a ; b]; celui-ci est strictement supérieur
ou inférieur à x0, et comme f est strictement monotone f  x1 
est strictement supérieur ou inférieur à f  x 0 , donc à k.
f  x1  ne peut donc pas être égal à k, il n'y a donc pas d'autres
solutions de l'équation f (x) = k dans l'intervalle [a ; b].
Une application
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b]. Si f (a) et f (b) n'ont pas le même
signe, alors l'équation f (x) = 0 a une solution unique sur [a ; b].
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4- Convention.
–
–
Dans un tableau de variation une flèche indique tout à la fois :
la stricte monotonie de f si la flèche est oblique
la continuité de f.
Exemples :
1. f est une fonction définie sur [ −2 ;1 ] admet le tableau de variation suivant :
x
-2
8
-1
0
3
1
f
2
-2
Discuter le nombre de solutions de l'équation f ( x )=4 sur [ −2 ;1 ] .
Sur l'intervalle [ −1 ;3 ] f admet 3 pour maximum, f n'atteint donc pas 4 sur cet intervalle.
Sur l'intervalle [ −2 ;−1 ] f est continue et strictement décroissante f (−1 )=2 et f (−2 ) =8 , 2 et 8
encadrent 4, alors je peux appliquer le corollaire du TVI et affirmer l'existence d'un unique nombre
 compris entre -2 et 1 tel que f ( α ) =4 .
L'équation f ( x )=4 admet une unique solution sur [ −2 ;1 ] .
Remarque. Cette étude affirme le nombre de solution de l'équation mais ne les précise pas.
Ce tableau est celui de la fonction f ( x ) =−2 x³ +3 x²+3
Il convient alors de chercher à approcher la solution  de l'équation f ( x ) =4 à l'aide de la
calculatrice.
Deux méthodes peuvent être observées : par balayage ou par dichotomie....
Par balayage. (voir TD du lundi 24/09)
2. Montrer que l'équation x 3 x−3=0 a une solution unique  située entre 1 et 2.
Soit g la fonction définie sur ℝ par g x =x 3 x−3 . Il s'agit d'une fonction continue. D'autre part,
2
on a g'  x=3x 1 . Comme pour tout réel x on a g'(x)>0, la fonction g est strictement croissante
(donc monotone) sur ℝ .
Enfin g (1 ) =−1 et g ( 2 )=7 .
Si x1 , alors g x −1 et x ne peut pas être solution de g ( x )=0 .
Si x2 , alors g x 7 et x ne peut pas être solution de g ( x )=0 .
Par contre, comme g est continue et strictement croissante sur [1; 2], et comme g(1) et g(2) ont des
signes opposés, il existe un unique réel  situé entre 1 et 2 tel que g(x)=0.
Approche de  ...
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C Compléments au tableau de fonctions dérivées.
1. Fonction √ u
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de ℝ .
u' ( x )
La fonction f =√ u : x → √ u ( x ) est dérivable sur I et f ' ( x )=
.
2 √u ( x )
Exemple. f ( x ) =√ 4−x 2 est définie sur D= [−2 ; 2 ] .
f est de la forme f =√ u avec u ( x )=4−x 2 .
u est dérivable sur [ −2 ;2 ] mais u>0 sur ] −2 ;2 [ . Alors f est dérivable sur I =]−2 ; 2 [ et
−2 x
sur cet intervalle : f ' ( x )=
2 √ 4−x 2
Important : pour savoir si f est dérivable sur D c'est à dire en -2 et 2 il faut étudier les
limites du taux d'accroissement de f en 2 et en -2.
Remarque : f est paire, sa courbe est symétrique par rapport à (oy) dans un repère
orthonormal, donc si elle est dérivable en 2 elle l'est aussi en -2.
n
2. Fonction u .
Soit Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de ℝ .
La fonction f =u n est définie par f ( x ) =( u ( x ) )n .
Par ailleurs pour tout n, f est dérivable sur I partout où elle est définie et :
f ' ( x )=n u' ( x ) u ( x )n−1 .
remarque : Si n<0 , f n'existe pas en les réels x de I tels u ( x )=0 .
5
2
Exemple : f ( x ) =( 4−x ) .
f =u⁵ où u ( x )=4−x²
u est dérivable sur ℝ alors f est aussi dérivable sur ℝ et :
f ' ( x )=5×u' ( x )×( u ( x ) ) ⁴=5× (−2 x )×( 4− x² ) ⁴=−10 x ( 4−x² ) ⁴ .
Une démonstration par récurrence a été traitée en activité.
3. Fonction f ( x ) =u ( ax +b )
f est la fonction définie par f ( x ) =u ( ax +b ) où x → ax+b est une fonction affine et où u
est une fonction dérivable sur I.
Alors f est dérivable en tout réel x tel que ax +b∈ I et f ' ( x )=a×u' ( ax+b ) .
Exemple f : x → √ 3 x−2
f est du type f ( x ) =u ( 3 x−2 ) où u est la fonction racine carrée
3
dérivable sur ] 0 ;+∞ [ Alors f est dérivable dès que 3 x−2>0⇔ x>
et :
2
1
3
f ' ( x )=3×
=
.
2 √3 x−2 2 √3 x−2
S. Baudet
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