Calcul Littéral version JY

Calcul Littéral
Ce document est une version personnelle du travail de M. Couveigne adaptée à une formation à
distance. Il ressemble beaucoup au document qui par ailleurs est en ligne sur la plateforme
Moodle.
Résumé du cours
Une équation est une relation d’égalité entre des nombres, dans laquelle apparaît une ou
plusieurs inconnues, qui sont des quantités que l’on cherche à déterminer. Une équation
modélise donc un problème : c’est la première étape pour déterminer la valeur de ces
quantités inconnues.
Une inéquation est une relation d’inégalité, (le signe = de l’équation est remplacé par l’un des
signes <, 6, > ou >), dans laquelle apparaissent aussi des inconnues.
Lorsque plusieurs quantités sont à déterminer dans un même problème, on a en général
plusieurs équations et on parle alors de système d’équations.
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l’égalité.
Les valeurs trouvées sont appelées solutions de l’équation.
Un nombre est solution d’une équation si, en remplaçant l’inconnue par ce nombre, on obtient
une égalité VRAIE.
Prenons, par exemple, l’équation 6x + 3 = 21.
• 2 n’est pas une solution car, en remplaçant x par 2, on a, dans le premier membre de
l’équation, on a : 6 × 2 + 3 qui est égal à 15.
L’égalité 6 × 2 + 3 = 21 est donc FAUSSE.
• En revanche, 3 est solution car 6 × 3 + 3 = 21.
On dispose de méthodes pour résoudre certaines équations, mais il n’est pas nécessaire de
connaître ces méthodes pour vérifier si un nombre est, ou n’est pas, solution d’une équation. Il
suffit de remplacer l’inconnue par ce nombre, d’effectuer le calcul, et de vérifier si l’égalité
est exacte.
Exemple : On ne peut pas résoudre l’équation 2x
3
− 7x
2
− 7x + 12 = 0 mais on peut vérifier
que 1 et 4 sont solutions de cette équation.
En effet : 2 × 1
3
− 7 × 1
2
− 7 × 1 + 12 = 2 − 7 − 7 + 12 = 0 et
2 × 4
3
− 7 × 4
2
− 7 × 4 + 12 = 128 − 112 − 28 + 12 = 0.
Exemple de problème que l’on peut résoudre par des équations :

Une ferme contient des poules et des lapins. Il y a 55 têtes et 142 pattes. Combien y
a-t'il de poules et de lapins ?
On pose x le nombre de poules, y le nombre de lapins. Il y a alors x+y têtes et 2x+4y
pattes. Donc :
55
2 4 142
x y
x y
+ =
+ =
. Il faut résoudre ce système pour répondre au problème.
Pour pouvoir résoudre des équations ou inéquations, il est indispensable de maîtriser le
“calcul littéral”. En effet, il faut pouvoir dire que certaines expressions sont toujours égales
pour les transformer et rendre la résolution facile. On va donc commencer par quelques
rappels concernant ce type de calcul.
Attention !! Il y a une grande différence entre équations et calcul littéral, même si on a
besoin du deuxième pour les premières.
- Dans une équation, il y a une égalité (ex : 3x+2 = 8x-5) qui n’est pas toujours vraie, et on
cherche toutes les valeurs de x qui la rende vraie.
- Dans une égalité de calcul littéral (ex : (x+1)
2
= x
2
+2x+1), l’égalité est vraie tout le temps,
quelque soit la valeur de x !!
C’est la différence entre les deux quantificateurs :
∀
(quelque soit)
Ex :
∀
x, (x+1)
2
= x
2
+2x+1 « quelque soit x, (x+1)
2
= x
2
+2x+1 »
Et
∃
(il existe)
Ex :
∃
x, 3x+2 = 8x-5. « il existe x tel que, 3x+2 = 8x-5 » (ce x est
7
5
. Il aurait pu y en avoir
d’autres pour une autre équation)
Bien sûr, si une égalité est tout le temps vraie, vraie
∀
x, alors il existe un x telle qu’elle soit
vraie :
∃
x telle qu’elle soit vraie.
Les égalités vraies quelque soit x sont appelées des identités. Celles qui ne sont vraies que
parfois sont appelées des équations.
Calcul littéral : Cœur du sujet
En algèbre, des lettres représentent des nombres soit encore inconnus (équations), soit
quelconques (identités). Pour commencer, on précise quelques conventions d’écriture : le
signe × peut être sous-entendu entre :
→ un nombre et une lettre ; 3x =
3
x
×
→ deux lettres ; xy =
x y
×
→ un nombre (ou une lettre) et une parenthèse. 3(-2) =
3 ( 2)
× −
; (-4)x=
( 4)
x
− ×
Le calcul littéral donne les règles de calcul et de transformation des expressions contenant des
lettres pour que l’expression reste toujours égale, quelque soient les valeurs des variables.

1 Réduire
Définition : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possible.
(Rappel : les termes sont les « trucs » que l’on trouve de part et d’autre d’une addition ou
d’une soustraction)
Propriété : On ne peut réduire une expression littérale qu’en additionnant des termes de même
nature, c’est-à-dire qui contiennent la même lettre affectée du même exposant.
Exemples :
• 5x − 2x + x
2
− 2 − 5x
2
= 3x − 4x
2
− 2 ;
• 8b
3
− 2b + b
3
+ 5b = 9b
3
+ 3b ;
• x
2
+ 2y
2
− 5x
2
= −4x
2
+ 2y
2
.
2 Supprimer les parenthèses
Propriété :
• Quand les parenthèses sont précédées du signe “+” et qu’elles ne sont pas suivies de “×”
ou de “÷”, on peut supprimer ce signe + et les parenthèses.
• Quand les parenthèses sont précédées du signe “−” et qu’elles ne sont pas suivies de “×”
ou de “÷”, on peut supprimer ce signe − et les parenthèses, à condition de remplacer chaque
terme de la parenthèse par son opposé : −(a + b) = −a − b = −1 × (a + b).
Exemples :
• (8 − 2x) + (−6x + 1) + (5 − x) = 8 − 2x − 6x + 1 + 5 − x = 14 − 9x ;
• (7 − a) − (3a − 1) − (−5a + 4) = 7 − a − 3a + 1 + 5a − 4 = 4 + a.
3 Développer
Définition : Développer une expression, c’est la transformer en une somme et/ou différence
de termes.
On utilise la distributivité : a, b, k étant 3 nombres réels, n’importe lesquels, on a les
identités : k × (a + b) = k × a + k × b
(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
On peut donner des formules plus compliquées de distributivité. Dans tous les cas elles
se ramènent aux deux précédentes. Ex : k(a+b+c+d) = ka+kb+kc+kd
Exemple : 3(5x + 4) = 3 × (5x + 4) = 3 × 5x + 3 × 4 = 15x + 12.
Plus généralement, développer, c’est effectuer dans une expression toutes les multiplications
possibles,en tenant compte des ordres de priorité des opérations, puis “enlever” toutes les
parenthèses (Attention aux signes !). Après avoir développé une expression, il faut la
“réduire”, c’est-à-dire effectuer toutes les additions possibles (voir 1.1).

Exemples
(2x + 1)(3x − 5) = 2x × 3x + 2x × (−5) + 1 × (3x) + 1 × (−5)
= 6x
2
− 10x + 3x − 5 = 6x 2 − 7x − 5
(x − 2)
2
− (x − 3)(2x + 5) = x
2
− 4x + 4 − (2x
2
+ 5x − 6x − 15)
= x
2
− 4x + 4 − 2x
2
− 5x + 6x + 15
= −x
2
− 3x + 19
Dans ce dernier calcul, on a utilisé les :
4 Identités remarquables
Les identités suivantes sont dites remarquables (il y en a d’autres) :
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
,
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
,
a
2
− b
2
= (a − b)(a + b),
a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
).
Elle sont vraies si a et b sont des nombres, n’importe lesquels.
Petit rappel : Attention aux priorités !! ab
2
=
2 2
( ) ( )
a b ab
× ≠ .
5 Factoriser
Définition : Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : on transforme une
expression en un produit de facteurs. ( les facteurs sont les « trucs » qu’il y a à gauche et à
droite d’une multiplication)
On utilise la distributivité dans le sens inverse : a, b, k étant 3 nombres relatifs,
k × a + k × b = k × (a + b) = (a + b) × k
Remarquer qu’il y avait 2 k à gauche, et qu’il n’y en plus qu’un à droite.
Exemple : 10x + 15 = 5 × (2x + 3).
À la différence du développement où il suffit d’appliquer les règles de calcul, la factorisation
nécessite un petit travail de réflexion.
→Dans un premier temps, il faut regarder s’il existe un facteur commun. Par exemple, dans
l’expression : (x + 2)(x − 5) − 4(x + 2)
(x + 2) est multiplié par (x − 5) et par −4 (attention au signe !). Que faire alors ? On écrit le
facteur commun d’abord, puis on ouvre une grande parenthèse (ou même un crochet), où l’on
enfourne les éléments qui étaient multipliés par le facteur commun (c’est la distributivité !).
Concrètement, cela donne :
(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2) = (x + 2) [(x − 5) − 4]
Il n’y a plus ensuite qu’à simplifier l’intérieur du crochet, en faisant très attention aux
problèmes de signes qui peuvent se poser quand on retire les éventuelles parenthèses.
Finalement, on obtient l’expression factorisée :
(x + 2)(x − 9)

On a tout le temps (quelquesoit la valeur de x) l’égalité :
(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2) = (x + 2)(x − 9)
Malheureusement, les choses ne sont pas toujours aussi simples !
→ Il arrive que le facteur commun soit caché, parce qu’il est multiplié par une constante. Par
exemple, dans l’expression :
(x + 2)(x − 5) − 4x − 8
le facteur commun (x + 2) se cache, et cette expression donne en fait la même chose que
précédemment : − 4x – 8 = − 4(x + 2)
→Il peut arriver (mais pas dans les exercices que nous traiterons cette année) que le facteur
commun se cache dans une identité remarquable.
Essayons, par exemple, de factoriser
A = x
2
− 16 + (x − 3)(x − 4).
Il n’y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l’expression fait
intervenir l’identité remarquable :
x
2
− 16 = (x + 4)(x − 4)
On peut donc terminer la factorisation :
A = (x + 4)(x − 4) + (x − 3)(x − 4) = (x − 4) [(x + 4) + (x − 3)]
= (x − 4)(x + 4 + x − 3) = (x − 4)(2x + 1)
→ Attention aux puissances ! :
Petit rappel : A
2
= A×A ; A
3
= A×A×A .
Conséquence : (2x+1)
2
+3(2x+1)=(2x+1)[(2x+1)+3]=(2x+1)(2x+4) : dans (2x+1)
2
le (2x+1) y
est deux fois, en produit.
Autre exemple : (x-3)
3
+(x-3)
2
+5(x-3) = (x-3)[(x-3)
2
+(x-3)+5].
→L’utilisation des identités remarquables :
1) a
2
-b
2
=(a-b)(a+b).
Ex : x
2
-9 = (x-3)(x+3) car 9=3
2
. Parfois, il faut utiliser des racines carrées :
2
5 ( 5)( 5)
x x x− = − + car
2
5 5
=
. Parfois c’est plus compliqué :
2 2
(2 3) (3 1) [(2 3) (3 1)][(2 3) (3 1)] (5 2)(2 3 3 1)
x x x x x x x x x
+ − − = + + − + − − = + + − +
=
(5 2)( 4)
x x
+ − +
Ou :
2
(2 1) 3 [(2 1) 3][(2 1) 3] (2 1 3)(2 1 3)
x x x x x− + = − − − + = − − − + .
2) a
2
+2ab+b
2
= (a+b)
2
.
Ex :
2 2 2 2
4 4 2 2 2 ( 2)
x x x x x+ + = + × + = + car on reconnait a
2
+2ab+b
2
avec a=x et
b=2.
Parfois, il faut des racines carrées :
2 2 2
2 2 2 1 ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1)
x x x x x
+ × + = × + × + = × +