Eléments de logique - Fichier

Ramzaoui Omar
Prof : Ramzaoui Omar
Eléments de logique
1

Ramzaoui omar
Annexe A
Eléments de logique
A.1 Définitions
A.1.1 Assertions
Dans le cadre de la logique mathématique, on définit les notions d’assertion et de pro-
position. Toutefois, ce vocabulaire peut varier en fonction des sources. Nous adopterons les
définitions suivantes :
•Une assertion est une phrase (mathématique) qui a une seule valeur de vérité : soit
vraie (V), soit fausse (F). Cette phrase doit avoir un sens clair et non ambigu.
•Une proposition est une assertion vraie.
Selon l’importance ou la place que l’on donne à une proposition au sein d’une théorie,
elle porte le nom de
– théorème : proposition importante,
– corollaire : conséquence directe d’un théorème,
– lemme : proposition nécessaire à la démonstration d’un théorème qui n’est utile que
pour cette démonstration,
– axiome ou postulat : assertion d’une théorie que l’on admet au départ comme vraie.
•Deux assertions Pet Qsont équivalentes si elles ont les mêmes valeurs de vérité. On
écrit P⇔Q.
2Prof : Ramzaoui Omar

Ramzaoui omar
A.1. DÉFINITIONS ANNEXE A. ELÉMENTS DE LOGIQUE
A.1.2 Opérations sur les assertions
A partir d’une ou plusieurs assertions, il est possible de construire de nouvelles assertions
en utilisant des opérateurs (non, et, ou, ⇒,⇔).
Dans ce paragraphe, on note les assertions P, Q, R ···. Dans un premier temps, on ne s’in-
téresse pas au contenu de ces assertions, ni à leur valeur de vérité, mais aux relations qui
existent entre elles.
Négation d’une assertion
Définition
Si Pest une assertion, la négation de Pest une assertion qui est fausse si Pest vraie et
qui est vraie si Pest fausse. Elle est notée non Pou ¬P.
La négation de Ppeut aussi être définie par la table de vérité suivante :
Pnon P
V F
F V
Propriété
'
&
$
%
Une assertion et sa double négation ont les mêmes valeurs de vérité
P⇔non(nonP )
.
3Prof : Ramzaoui Omar

Ramzaoui omar
ANNEXE A. ELÉMENTS DE LOGIQUE A.1. DÉFINITIONS
Exemple
1. L’assertion « 5 = 3 + 4 » est fausse,
sa négation « non (5 = 3 + 4) » c’est-à-dire « 56= 3 + 4 » est vraie.
2. Pour un nombre naturel n, on considère l’assertion P : « nest impair ».
La négation de Pest (non P) càd « nn’est pas impair » càd « nest pair ».
La double négation (non (non P)) est « il n’est pas vrai que nn’est pas impair »
càd « il n’est pas vrai que n est pair » càd « nest impair ».
Conjonction et disjonction
Définitions
1. Soient deux assertions Pet Q. L’assertion « Pet Q» est vraie si les assertions Pet Q
sont toutes les deux vraies et elle est fausse dans les autres cas.
L’assertion Pet Qpeut aussi être définie par la table de vérité suivante :
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F
L’assertion Pet Qest aussi écrite sous la forme
P
Q
ou sous la forme P∧Q.
On peut faire le parallélisme avec le « et » du français. Mais en logique mathématique,
quand on envisage l’assertion Pet Q, il n’y aucun lien d’antériorité ou de causalité
entre les assertions Pet Q.
2. Soient deux assertions Pet Q. L’assertion « Pou Q» est vraie si au moins une des
deux assertions est vraie et elle est fausse si les deux assertions sont fausses.
L’assertion Pou Qpeut aussi être définie par la table de vérité suivante :
4Prof : Ramzaoui Omar

Ramzaoui omar
A.1. DÉFINITIONS ANNEXE A. ELÉMENTS DE LOGIQUE
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ici aussi on peut voir le parallélisme avec le « ou » du français, le « ou » n’étant pas
exclusif. On la note aussi parfois P∨Q.
Propriétés
'
&
$
%
1. Les opérateurs « et » et « ou » sont commutatifs :
(Pet Q)⇔(Qet P)
(Pou Q)⇔(Qou P)
2. Loi du tiers exclus : l’assertion Pou (non P) est toujours vraie.
Principes de Morgan
La négation de (Pou Q)est l’assertion non Pet non Q.
càd non(Pou Q)⇔(non Pet non Q).
La négation de Pet Qest l’assertion non Pou non Q.
càd non(Pet Q)⇔non Pou non Q.
Exemple
Résoudre x2= 1.
x2= 1 ⇔x= 1 ou x=−1.
On ne peut pas écrire
x2= 1 ⇔
x= 1
x=−1
puique l’accolade signifie "et".
1
1. Souvent la notation x=±1est utilisée pour condenser x= 1 ou x=−1. Le signe « ±»se lit « "plus
ou moins".
5Prof : Ramzaoui Omar