Logique Cours 15-16

R EMISE A N IVEAU DE M ATHEMATIQUES - COURS
Définition : Une assertion mathématique est une phrase qui est toujours soit vraie, soit fausse (mais qui
ne peut être les deux à la fois, ou ni vraie ni fausse).
R A N L OGIQUE ET R AISONNEMENT C OURS
I Eléments de Logique
Exemple : 2+2=5 ; il pleut ; le triangle ABC est équilatéral ; 2x+3=0...
(dans les deux derniers exemples, la validité de l’assertion dépend du triangle ABC/du nombre x considéré !)
On peut construire, à partir d’assertions simples, de plus compliquées en les combinant par des connecteurs
logiques
:
1. le connecteur ET
L’assertion « P et Q » est vraie si les assertions P et Q sont toutes les deux vraies.
Exemple : si P est l’assertion « Cette carte est un as », et si Q est l’assertion « Cette carte est un
cœur », alors l’assertion « P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur, et fausse pour toute autre
carte.
2. le connecteur OU
L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une des assertions P ou Q, ou bien les deux , est vraie.
Exemple : si P est l’assertion « Cette carte est un as », et si Q est l’assertion « Cette carte est un
cœur », alors l’assertion « P ou Q » est vraie pour n’importe quel as et n’importe quel cœur (y compris
l’as de cœur).
3. la négation (NON)
L’assertion « non P » est vraie si l’assertion P est fausse, et elle est fausse si P est vraie.
Exemple : la négation de « n est un entier pair » est « n est un entier impair », est la négation de « x >
5 » est « x ≤ 5 ».
4. l’implication ( ⇒
⇒⇒
⇒ )
L’assertion « P ⇒ Q » (P implique Q) signifie que l’assertion Q est vraie chaque fois que P est vraie.
Exemple : si P est l’assertion « x > 5 » et Q est l’assertion « x est positif », on a bien l’implication P ⇒
Q (puisqu’un nombre plus grand que 5 est toujours aussi plus grand que 0).
Attention : dans cet exemple, l’implication réciproque « Q ⇒ P » est revanche fausse ; en effet, il existe
des nombres x positifs (tels que Q est vraie) mais qui ne sont pas plus grands que 5 (donc P est faux),
comme par exemple x=2. On dit que x=2 est un contre-exemple, qui montre que Q ⇒ P est faux.
5. l’équivalence ( ⇔
⇔⇔
⇔ )
L’assertion « P ⇔ Q » (P est équivalent à Q) signifie que les implications « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » sont
toutes les deux vraies.
Exemple : si P est l’assertion « le triangle ABC est rectangle en A » et Q est l’assertion
« AB²+AC²=BC² », alors le théorème de Pythagore dit que l’équivalence « P ⇔ Q » est vraie.
Une équivalence contient donc deux informations : d’une part P implique Q (ici, si le triangle ABC est
rectangle en A, alors on a AB²+AC²=BC²), et d’autre part Q implique P (ici, si les trois points A, B et C
vérifient AB²+AC²=BC², alors ils forment un triangle rectangle en A).
Terminologie : Pour exprimer que P implique Q (P ⇒ Q), on dit parfois que « P est une condition suffisante
pour Q » (car il suffit que P soit vrai pour que Q le soit aussi), ou encore que « Q est une
condition
nécessaire
pour P » (car P ne peut pas être vrai sans que Q ne le soit).
De même, le fait que P est équivalent à Q (P ⇔ Q) peut aussi s’exprimer par le fait que « P est une condition
nécessaire et suffisante
pour Q », ou encore que « P est vrai si et seulement si Q est vrai ».

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II Méthodes de raisonnement
Nous résumons ici quelques-unes des méthodes les plus fréquemment utilisées en mathématiques.
1. Raisonnement direct
C’est l’approche la plus courante, où l’on montre que les hypothèses données conduisent à la conclusion.
Exemple : Montrer que le carré d'un nombre pair est toujours pair . Si n est un nombre pair, c’est un
multiple de 2 : il existe donc un entier k tel que n=2k. Mais alors n²= (2k)²= 4k², qui est bien pair lui
aussi (puisque c’est un multiple de 4, donc de 2).
2. Disjonction de cas (ou cas-par-cas)
On distingue plusieurs situations, en donnant un argument adapté à chacune d’entre elles.
Exemple : Montrer que, pour tout entier n, n.(n+1) est pair. Si n est pair, alors c’est un multiple de 2 et
donc n.(n+1) aussi. Si n est impair, alors (n+1) est pair, et donc le produit avec n est pair lui aussi.
3. Raisonnement par contraposée
La contraposée d’une implication P ⇒ Q est l’implication (non Q) ⇒ (non P), et ce sont deux assertions
équivalentes . Par exemple, la contraposée de l’implication « S’il pleut, alors je reste chez moi » est « si je
sors, c’est qu’il ne pleut pas » - ce sont bien deux formulations différentes de la même information.
Exemple : Montrer que si le carré d'un nombre n est pair, alors n est pair . La contraposée de cette
implication est : « Si un nombre n n’est pas pair (donc est impair), alors son carré est impair »… ce qui se
montre comme ceci : si n est impair, il existe un entier k tel que n=2k+1 (c’est la définition d’un nombre
impair). Alors, son carré vaut n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2.(2k²+2k)+1, qui est donc bien impair.
4. Raisonnement par l’absurde
Pour montrer qu’une assertion P est vraie, on suppose que P est faux et on aboutit à une contradiction.
Exemple : Montrer qu’il n’existe pas de plus petit nombre réel strictement positif. Supposons qu’un tel
nombre existe : soit x>0 le plus petit des nombres positifs. Si l’on divise par 2, on obtient un nouveau
nombre x/2, qui est toujours positif mais qui est plus petit que x. Cela contredit le fait que x est le plus
petit.
5. Contre-exemple
Pour montrer qu’une implication P ⇒ Q est fausse, il suffit de trouver un cas où l’hypothèse P est vérifiée,
et pas la conclusion Q : c’est ce qu’on appelle un contre-exemple.
Exemple : Pour montrer que l’implication « Si x<1, alors x²<1 » est fausse, il suffit de trouver un réel x<1
qui contredit cette assertion. Par exemple, x=-2 vérifie bien x<1, mais son carré vaut x²=4.
6. Raisonnement par récurrence
Pour montrer qu’une assertion est vraie, par exemple, pour tout entier positif n, il suffit de montrer,
d’une part, qu’elle est vraie pour la première valeur n=1 ( initialisation ), et d’autre part que, si elle est
vérifiée pour la valeur n=k, alors cela entraine qu’elle l’est aussi pour la valeur suivante n=k+1 ( hérédité ).
Cela s’apparente à une réaction en chaîne, comme pour faire chuter une chaîne de dominos : il faut d’une
part faire tomber le premier domino, et d’autre part ne pas avoir de brisure dans la chaîne, c’est-à-dire
que la chute de chaque domino entraine la chute du suivant.
Exemple : Montrer que, pour tout entier positif n, on a 1+2+…+n=n.(n+1)/2 .
• On commence par vérifier la formule pour n=1 (initialisation) : 1=1(1+1)/2=1.
• On suppose ensuite que la formule est vraie pour n=k, et on essaye de la démontrer pour n=k+1
(hérédité) : on a 1+2+…+k+(k+1) = k.(k+1)/2 + (k+1) puisque la formule est vraie pour n=k, et par ailleurs on
a k.(k+1)/2 + (k+1) = ½(k²+k)+ ½(2k+2)=(k+1)(k+2)/2. On obtient donc bien 1+2+…+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2.
• En conclusion, on a donc montré que, quel que soit l’entier n, on a 1+2+…+n=n.(n+1)/2 .