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MrHAMADA‐ProfPrincipalhttp://tunimath.clanfree.net
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Chapitre6Trigonométrieetmesuredegrandeurs
I–Définitions:
1‐CosinusetSinus
Soit,,
unrepèreorthonorméduplan.Soitunréelappartenantà0,etM
l’uniquepointdudemicercletrigonométrique(C)telque
Onappellecosinusduréel,l’abscissedupointMetonlenote 
Onappellesinusduréel,l’ordonnédupointMetonlenote 
2‐TangenteetCotangente
*Soitunréelappartenantà0,ettelque
Onappelletangenteduréelleréelnoté etdéfinipar   
*Soitunréelappartenantà0,
Onappellecotangenteduréelleréelnoté etdéfinipar   
II – Angles supplémentaires
Pourtoutappartenantà0,ona 
et 
Pourtoutappartenantà0,telque
 ona 
Pourtoutappartenantà0, ona 
O
A'
B
A
M
α
cos
α
sin
α

MrHAMADA‐ProfPrincipalhttp://tunimath.clanfree.net
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Explications:
OnaMetM’sontsymétriquesparrapportà(OB)donc
d’où
Ordanslerepèreorthonormé,,
MetM’ontdesabscissesopposéesetune
mêmeordonnéecequientraine 
et 
 avec0,     car 0
 avec0,  0  0    0
Exemples:
Calculersansutiliserlacalculatrice
a)  
b)  
Réponse:
Ona
 donclesanglessontsupplémentairesalorsona:
a) 
et d’oùonobtient
12 5
12 7 12 11 12  12 5 12 5 12   12 0
a) 
et d’oùonobtient
12 5
12 7 12  11 12  12 5 12   12  5 12 0
O
A'
B
A
M'
α
cos α
sin α
M
Π
-α

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III–Anglescomplémentaires
Pourtoutappartenantà0,
ona   et 
Pourtoutappartenantà0,
ona 
Pourtoutappartenantà0,
 ona 
Explications:
OnconsidèreladroiteΔlabissectricede
etlesangles
etonales
pointsAetBsontsymétriquesparrapportàΔdoncontireque
 et que Met
M’sontsymétriquesparrapportàΔ
Soit P le projeté orthogonal de M sur (OA) et Q le projeté orthogonal de M sur (OB)
Soit P’ le projeté orthogonal de M sur (OB) et Q’ le projeté orthogonal de M sur (OA)
Donc P’ et Q’ sont respectivement les symétriques de P et Q par rapport à Δ
On obtient 
et  or   ; 
 ; 
  et
Donc on obtient :  
 et  
 ;avec0car 0
  ; 0
Exemples:
Sansutiliserlacalculatricecalculer
OA
B
M
P
M'
Q'
P'
Q
α(π
/2)‐α
Δ

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Ona:
donclesanglessontcomplémentairesalors
 donc
 0
IV–Relationsfondamentales
Pourtoutappartenantà0,onasin
1
Pourtoutappartenantà0,telque
 ona1
Pourtoutappartenantà0,ona1 
Explications:
•  ,,
 lerepèreorthonorméduplan,ona  1etlepointPétantleprojeté
orthogonaldeMsur(OA)etQleprojetéorthogonaldeMsur(OB),onconsidèrele
triangleOMPrectangleenPd’aprèslethéorèmedePythagoreona
or
etona
 et    , donc on obtient sin
1 avec 0,
• 1
1
 0,et car 0
• 11
0,et car0 
0    0
V–LaloidusinusetL’aired’untriangle
1‐Laloidusinus
SoitABCuntriangleonpose,
Ona
Démonstration:
C
AB
H
K
b
c
a

MrHAMADA‐ProfPrincipalhttp://tunimath.clanfree.net
[email protected]/Tel:23356901
5
• OnconsidèreletriangleACHrectangleenH,d’aprèslethéorèmedePythagoreona:
sin
 onobtient   . sin
(1)
• OnconsidèreletriangleBCHrectangleenH,d’aprèslethéorèmedePythagoreona:
sin
 onobtient   . sin
(2)
• D’après(1)et(2)onobtient . sin
  . sin
soitdonc
• ParuntravailanaloguequeprécédemmentdanslestringlesAKCetABKontireque
d’où
EtudierlecasoùlahauteurCHestextérieureautriangleABC(voirfigureci‐dessus)
2–Aired’untriangle
SoitABCuntriangleonpose,
Sdésignel’airedutriangleABCetRlerayonducerclecirconscritàABC.
Ona:
2
Démonstration:
C
AB
b
c
a
H
O
A
C
B
Z
b
c
a
2R
H