Corrigé

INTEROGATION DE MATHEMATIQUES- 1ère S
Probabilités – 1 heure - CORRIGE
Exercice 1 : ROC
/2
(à faire sur cette feuille)
Démontrer que pour X variable aléatoire et a et b, E (aX + b ) =aE ( X ) +b
n
Posons E ( X ) = ∑ xi × p i
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
On a E (aX + b ) = ∑ (axi + b ) × p i = ∑ [(axi × pi ) + xi × pi ] = a ∑ ( xi × p i ) + b ∑ ( p i ) = aE ( X ) + b
Exercice 2 :
/4
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant :
xi
0
1
2
3
4
5
6
0,1
0,25
0,15
0,05
0,1
0,2
0,1
P ( X = xi )
1) Déterminer la valeur de a
n
On sait que
∑p
i =1
i
= 1 . Ainsi, a = 1 − (0,1 + 0,25 + 0,15 + 0,05 + 0,1 + 0,2 + 0,1) = 0,05
2) Calculer l’espérance et l’écart type de X
n
E ( X ) = ∑ xi × p i = (0,1 × 0 + 0,25 × 1 + 0,15 × 2 + 0,05 × 3 + 0,1 × 4 + 0,2 × 5 + 0,1 × 6 + 0,05 × 8) = 3,1
i =1
n
V ( X ) = ∑ xi × p i − (E ( X ))
2
2
i =1
(
)
= 0,1 × 0 2 + 0,25 × 12 + 0,15 × 2 2 + 0,05 × 3 2 + 0,1 × 4 2 + 0,2 × 5 2 + 0,1 × 6 2 + 0,05 × 8 2 − 3,12
=5,09
Ainsi σ ( X ) = 5,09
3) Calculer P( X > 3) , puis P( X ≤ 5)
P( X > 3) =0,1+0,2+0,1+0,05=0,45
P( X ≤ 5) =0,1+0,25+0,15+0,05+0,1+0,2=0,85
8
a
Exercice 3 :
1) Loi de probabilité de X
-1
xi
pi
1
2
/6
0
1
2
1
4
1
8
1
8
2) Calculer l’espérance de gain du joueur
n
1
1
1
1
1
E ( X ) = ∑ xi × pi = − 1 × + 0 × + 1 × + 2 × = −
2
4
8
8
8
i =1
3) Elaborer un algorithme relatif à cette expérience aléatoire, donnant en sortie le gain algébrique du
joueur.
Traitement
x prend_la_valeur Alea.entre.Bornes(1,2)
Si x==1 alors
Afficher « X=-1 »
Sinon
x prend_la_valeur Alea.entre.Bornes(1,2)
Si x==1 alors
Afficher « X=0 »
Sinon
x prend_la_valeur Alea.entre.Bornes(1,2)
Si x==1 alors
Afficher « X=1 »
Sinon
Afficher « X=2 »
FinSi
FinSi
FinSi
Exercice 4 :
/3
Evaluation de Compétence
La probabilité pour qu’un forage pétrolier soit productif est de 0,12. Dans tous les forages
pétroliers, on choisit au hasard 10 forages. On suppose que la production est assez grande pour assimiler
ce tirage avec remise.
Pour toutes les questions, on justifiera le raisonnement adopté.
Il s’agit d’une répétition. Le tirage est assimilé avec remise. il y a donc indépendance de chaque
tirage.
1) Quel est la probabilité que parmi dix forages, tous soient productifs ?
la probabilité qu’un forage soit productif est de 0,12.
10
la probabilité pour que les dix forages prélevés soient productifs est p = (0,12 )
2) Quel est la probabilité que parmi dix forages, aucun ne soient productif ?
la probabilité qu’un forage soit productif est de 0,88.
10
la probabilité pour que les dix forages prélevés aucun ne soient productifs est p = (0,88)
3) Quel est la probabilité que parmi dix forages, au moins un soit productif ?
Il suffit de retirer à la probabilité totale la probabilité qu’aucun forage ne soit productif.
10
p = 1 − (0,88)