Constructibilité à la règle et au compas 1 Constructions à la règle et

Constructibilité à la règle et au compas
1 Constructions à la règle et au compas
1.1 Définitions
Définition (point constructible) : Soit E un ensemble de points du plan,
DE
l'ensemble des
droites du plan passant par deux points distincts de E et
CE
l'ensemble des cercles de centre un
point de E et de rayon la distance entre deux points de E. Un point du plan est dit constructible en
une étape à partir de E s'il est à l'intersection :
de deux droites de
DE
de deux cercles de
DE
d'une droite de
DE
et d'un cercle de
CE
Définition (point constructible en n étapes) : un point P est dit constructible en n étapes à partir de
E, s'il existe une suite de points
P1,, Pn=P
tels que pour tout
1≤i≤n
,
Pi
soit
constructible en une étape à partir de E union
Pj
,
ji
.
Définition (réel constructible) : avec E contenant deux points d'abscisse (0, 0) et (1, 0), un réel est
constructible ssi le point de coordonnées (x, 0) est constructible.
1.2 Ensemble de nombres constructibles
O, I => repère O, I, J
a+b
a-b
a*b
a/b
a
: les deux triangles rectangles (le petit et le grand dans le cercle) sont semblables (voir les
angles), on a donc a/x = x/1 => a = x2.
Théorème 1 : L'ensemble C des nombres constructibles est un sous-corps de
ℝ
stable par racine
carrée.

En effet, C contient 0 et 1, est stable par addition, soustraction, multiplication et division, C est donc
un sous-corps de
ℝ
. Par ailleurs,
∀x∈C , x∈C
.
2 Conditions de constructibilité
2.1 Extension de corps
* soit IK un sous-corps de
ℝ
, un nombre
est algébrique sur IK s'il est racine d'un
polynôme à coefficients dans IK, il est transcendant sinon.
* ex : nombres algébriques dans
ℚ
i est racine de x2 + 1 = 0,
3
2
est racine de
x3−2=0
* intérêt d'avoir un corps : division euclidienne de polynômes
* si
est algébrique sur IK, il est racine d'un polynôme (irréductible) non nul sur IK de degré
minimum , unique à un facteur multiplicatif près.
Démo unicité : Soit P(
) ce polynôme et soit P'(
) un autre polynôme ayant
pour
racine avec deg(P) <= deg(P'). Alors il existe deux polynômes Q et R vérifiant : P' = QP + R, on a
P(
) = P'(
) = 0. Donc R(
) = 0 avec deg(R) < deg(P) => contradiction R entre en
concurrence avec P pour le degré minimum donc R = 0. (si deg(P) = deg(P'), Q est un facteur
multiplicatif).
* Le degré de ce polynôme est le degré de
sur IK.
* Exemples : IK =
ℚ
et
est solution de
x2−2=0
, on a
= 2
Si on ajoute à
ℚ
tous les éléments de la forme
ab× 2
, le nouvel ensemble reste un corps :
22=2
,
1/ 2= 2/2
,
plus généralement
1/ ab 2=a−b 2/a2–2b2
* on note IK[
] le IK-espace vectoriel engendré par les puissances de
:
IK [x]={x∣x=∑p=0
qxpp, q∈ℕ , x p∈IK }
* Si le degré de
sur IK est d, alors le degré de l'extension se note [IK[
]:IK] = d.
* Propriétés : si [E:F] = n et [F:G] = m alors [E:G] = [E:F].[F:G] = n*m
exemple
[ℚ 2:ℚ]=2
; //
ab× 2
: base (1,
2
)
[ℚ  2 3:ℚ 2]=2
//
ab× 2a ' b '× 2× 3
=>
[ℚ  2, 3:ℚ]=4
// solution de
x2–2 x2−3=x4−5x26
engendré par
ab× 2a '× 3b '× 6
base (1,
2
,
3
,
6
)
Théorème :
1.
IK []
possède une structure d'anneau
2. si
est algébrique sur IK de degré d , alors
IK []
est de dimension finie et est
engendré par la famille {1,
,
2
, ...,
d−1
}
3. si
est transcendant sur IK, alors
IK []
est de dimension infinie
4. si
est algébrique, alors
IK []
est un corps
Démonstration :

1. immédiat (
a0a11
... admet un opposé, un élément neutre, est stable par
addition, multiplication + distibutivité)
2.
soit P(
) = 0, deg(P) = d et
x∈IK []
,
M∈IK [X]
|
x=M
x=M=Q PR
P=0⇒x=M=R
or deg(R) < d
exemple :
= 2
prenons x =
23 24 22 23
(on voit que
x=105 2
)
x∈IK []
M :
23x4x21x3
Mx=x4 x2–25x10
donc
x=5 210
(autre exemple, pour alterner :
52 23 224 23
Mx=4x3 x2−210x11
=>
x=10 211
)
de plus la famille
1, ,2,,d−1
est libre sinon on aurait une combinaison linéaire
nulle des éléments, or
a1a2∗a3∗2…=0
signifie qu'il existe un polynôme P(
) =
a1a2∗a3∗2…=0
de degré d-1, ce qui contredit l'hypothèse.
3. Si la dimension était finie alors , il existerait un polynôme qui annulerait
.
4. Il faut montrer que
x∈IK []
admet un inverse. Soit P le polynôme irréductible
minimal de
.
x=M
P et M sont premiers (deg(M) = d-1, deg(P) = d donc deg(M) < deg(P) or P est irréductible
donc M ne divise pas P).
d'après Bézout, il existe deux polynômes U et V avec MU + PV = 1 (pgcd de P et M).
donc
MUP V=1
MU=1
x U =1
=> U est le polynôme cherché
ex :
x=12 2
dans
IK [ 2]
et
Ux=−1
72 7
2
(autre exemple :
x=53 2
Ux= 5
7−3 7
2
)
2.2 Extension quadratique et constructibilité
Lorsque d = 2, on parle d'extension quadratique.
Théorème : si
est algébrique de degré 2, alors il existe un entier k tel que
IK []= IK [ k]
ex :
IK [1 5/2]=IK [ 5]
si extension de degré 2, alors
racine d'un polynôme de degré 2, ex :
x2x−1=0
,
=1 5/2
=>
∈IK [ 5]
et inversement,
5=2–1
donc
5∈IK []
Donc extension de degré 2 implique ajout de la racine d'un nombre.

Théorème : Un réel
est constructible ssi il existe une suite
K0, K1,, K n
de sous-corps de
ℝ
tels que
K0=ℚ
,
[Ki:Ki−1]=2
et
∈Kn
Démonstration :
sens si (condition suffisante : si existe emboitement de sous-corps alors ...) : stabilité des
nombres constructibles par racine carré
rem perso : on passe d'un sous-corps à un autre en ajoutant la racine d'une nombre, on a vu que
celle-ci est constructible
sens seulement si (condition nécessaire) : à partir de
IK i
, on passe à l'étape suivante en
résolvant des équations à coefficients dans
IK i
,
équation droite passant par A(
a1
,
b1
) et B(
a2
,
b2
) :
∣
x−a1x−a2
y−b1y−b2
∣
=0
équation cercle de centre C(a, b) et de rayon la distance entre les points A(a_1, b_1) et
B(a_2, b_2) :
x−a2 y – b2= a1– a22b1−b22
3 cas :
intersection de droites : solution de degré 1, on reste dans
IK i
intersection cercle-droite : résolution d'une équation de degré 2 à coeff. dans
IK i
=>
extension de degré 2.
intersection cercle-cercle : revient à intersection droite – cercle :
DESSIN A FAIRE
Théorème (Wantzel, 1837) : Tout réel constructible est algébrique sur
ℚ
de degré 2n.
Découle du théorème précédent car,
[Kn:ℚ]=[ Kn:Kn−1]××[K1:K0]=2n
Ainsi, tout nombre constructible est racine d'un polynôme de degré une puissance de 2.
Attention, la réciproque de ce théorème est fausse, le polynôme
x4– x3/4
par exemple est
irréductible, une racine de ce polynôme permet une extension de degré 4 mais cette racine n'est pas
constructible.
3 Constructions impossibles
•duplication du cube : construire un cube de volume 2x un cube donné, si coté du cube c =>
c3=2
donc
c=3 2
ne correspond pas à une extension quadratique
•trisection de l'angle : (facile si angle plat car angle de 60° facile à construire (cos 60 = 0,5)),
impossible dans le cas général car
cos 3 =4cos3−3cos 
pour
3=/3
on cherche
x=cos /9
, il faut résoudre l'équation
4x3–3x−1/2=0
qui est irréductible, x est algébrique sur
ℚ
de degré 3 donc non constructible à la règle et
au compas d'après Wantzel.
Rem : si
3=
alors on doit résoudre
4x3–3x1=0
qui est réductible en
2x−1/22x2x−1
donc ½ est une solution.
•quadrature du cercle : cercle d'aire
r2
trouver un carré de même aire => coté
r
or
est transcendant sur
ℚ
.