Constructibilité à la règle et au compas 1 Constructions à la règle et au compas 1.1 Définitions Définition (point constructible) : Soit E un ensemble de points du plan, D E l'ensemble des droites du plan passant par deux points distincts de E et C E l'ensemble des cercles de centre un point de E et de rayon la distance entre deux points de E. Un point du plan est dit constructible en une étape à partir de E s'il est à l'intersection : de deux droites de D E de deux cercles de D E d'une droite de D E et d'un cercle de C E Définition (point constructible en n étapes) : un point P est dit constructible en n étapes à partir de E, s'il existe une suite de points P 1, , P n=P tels que pour tout 1≤i ≤n , P i soit constructible en une étape à partir de E union P j , ji . Définition (réel constructible) : avec E contenant deux points d'abscisse (0, 0) et (1, 0), un réel est constructible ssi le point de coordonnées (x, 0) est constructible. 1.2 Ensemble de nombres constructibles O, I => repère O, I, J a+b a-b a*b a/b a : les deux triangles rectangles (le petit et le grand dans le cercle) sont semblables (voir les angles), on a donc a/x = x/1 => a = x2. Théorème 1 : L'ensemble C des nombres constructibles est un sous-corps de carrée. ℝ stable par racine En effet, C contient 0 et 1, est stable par addition, soustraction, multiplication et division, C est donc un sous-corps de ℝ . Par ailleurs, ∀ x ∈C , x ∈C . 2 Conditions de constructibilité 2.1 Extension de corps * soit IK un sous-corps de ℝ , un nombre est algébrique sur IK s'il est racine d'un polynôme à coefficients dans IK, il est transcendant sinon. * ex : nombres algébriques dans ℚ i est racine de x2 + 1 = 0, 3 2 est racine de x 3−2=0 * intérêt d'avoir un corps : division euclidienne de polynômes * si est algébrique sur IK, il est racine d'un polynôme (irréductible) non nul sur IK de degré minimum , unique à un facteur multiplicatif près. Démo unicité : Soit P( ) ce polynôme et soit P'( ) un autre polynôme ayant pour racine avec deg(P) <= deg(P'). Alors il existe deux polynômes Q et R vérifiant : P' = QP + R, on a P( ) = P'( ) = 0. Donc R( ) = 0 avec deg(R) < deg(P) => contradiction R entre en concurrence avec P pour le degré minimum donc R = 0. (si deg(P) = deg(P'), Q est un facteur multiplicatif). * Le degré de ce polynôme est le degré de sur IK. * Exemples : IK = ℚ et est solution de x 2−2=0 , on a = 2 Si on ajoute à ℚ tous les éléments de la forme ab× 2 , le nouvel ensemble reste un corps : 2 2 =2 , 1/ 2= 2/2 , plus généralement 1/ ab 2=a−b 2/a2 – 2 b2 * on note IK[ ] le IK-espace vectoriel engendré par les puissances de : q IK [ x ]={x∣x=∑ p=0 x p p , q∈ℕ , x p∈ IK } * Si le degré de sur IK est d, alors le degré de l'extension se note [IK[ ]:IK] = d. * Propriétés : si [E:F] = n et [F:G] = m alors [E:G] = [E:F].[F:G] = n*m exemple [ℚ 2 :ℚ]=2 ; // ab× 2 : base (1, 2 ) [ℚ 2 3:ℚ 2]=2 // ab× 2a ' b ' × 2× 3 => [ℚ 2, 3:ℚ]=4 // solution de x2 – 2 x 2−3=x 4−5x26 engendré par ab× 2a ' × 3b ' × 6 base (1, 2 , 3 , 6 ) Théorème : 1. IK [] possède une structure d'anneau 2. si est algébrique sur IK de degré d , alors IK [] est de dimension finie et est engendré par la famille {1, , 2 , ..., d −1 } 3. si est transcendant sur IK, alors IK [] est de dimension infinie 4. si est algébrique, alors IK [] est un corps Démonstration : 1. immédiat ( a 0a1 1 ... admet un opposé, un élément neutre, est stable par addition, multiplication + distibutivité) 2. soit P( ) = 0, deg(P) = d et x∈IK [] , M ∈IK [ X ] | x=M x=M =Q PR P=0 ⇒ x=M =R or deg(R) < d exemple : = 2 prenons x = 23 24 2 2 23 (on voit que x=105 2 ) x∈IK [] M : 23 x4 x 21 x 3 M x = x4 x 2 – 25 x10 donc x=5 210 (autre exemple, pour alterner : 52 23 2 24 23 M x = 4x3 x 2−210x11 => x=10 211 ) de plus la famille 1, , 2, , d−1 est libre sinon on aurait une combinaison linéaire nulle des éléments, or a1 a2∗a3∗2 …=0 signifie qu'il existe un polynôme P( ) = a1 a2∗a3∗2 …=0 de degré d-1, ce qui contredit l'hypothèse. 3. Si la dimension était finie alors , il existerait un polynôme qui annulerait . Il faut montrer que x ∈ IK [] admet un inverse. Soit P le polynôme irréductible minimal de . x=M P et M sont premiers (deg(M) = d-1, deg(P) = d donc deg(M) < deg(P) or P est irréductible donc M ne divise pas P). d'après Bézout, il existe deux polynômes U et V avec MU + PV = 1 (pgcd de P et M). donc M U P V =1 M U =1 x U =1 => U est le polynôme cherché 4. ex : x=12 2 (autre exemple : dans IK [ 2] x=53 2 et 1 2 U x =− 2 7 7 5 3 U x = − 2 ) 7 7 2.2 Extension quadratique et constructibilité Lorsque d = 2, on parle d'extension quadratique. Théorème : si IK []= IK [ k ] est algébrique de degré 2, alors il existe un entier k tel que ex : IK [1 5/2 ]=IK [ 5] si extension de degré 2, alors =1 5/2 => ∈ IK [ 5] racine d'un polynôme de degré 2, ex : x 2 x−1=0 , et inversement, 5=2 – 1 donc 5∈IK [] Donc extension de degré 2 implique ajout de la racine d'un nombre. Théorème : Un réel est constructible ssi il existe une suite ℝ tels que K 0=ℚ , [ K i : K i −1 ]=2 et ∈ K n K 0, K 1, , K n de sous-corps de Démonstration : sens si (condition suffisante : si existe emboitement de sous-corps alors ...) : stabilité des nombres constructibles par racine carré rem perso : on passe d'un sous-corps à un autre en ajoutant la racine d'une nombre, on a vu que celle-ci est constructible sens seulement si (condition nécessaire) : à partir de IK i , on passe à l'étape suivante en résolvant des équations à coefficients dans IK i , équation droite passant par A( a 1 , b1 ) et B( a 2 , b 2 ) : x −a 1 x −a 2 =0 y−b 1 y−b 2 équation cercle de centre C(a, b) et de rayon la distance entre les points A(a_1, b_1) et B(a_2, b_2) : x−a 2 y – b2= a1 – a 22b1−b2 2 3 cas : intersection de droites : solution de degré 1, on reste dans IK i intersection cercle-droite : résolution d'une équation de degré 2 à coeff. dans IK i => extension de degré 2. intersection cercle-cercle : revient à intersection droite – cercle : DESSIN A FAIRE ∣ ∣ Théorème (Wantzel, 1837) : Tout réel constructible est algébrique sur ℚ de degré 2n. Découle du théorème précédent car, [ K n :ℚ]=[ K n : K n−1 ]××[K 1 : K 0 ]=2n Ainsi, tout nombre constructible est racine d'un polynôme de degré une puissance de 2. Attention, la réciproque de ce théorème est fausse, le polynôme x 4 – x3 /4 par exemple est irréductible, une racine de ce polynôme permet une extension de degré 4 mais cette racine n'est pas constructible. 3 Constructions impossibles • duplication du cube : construire un cube de volume 2x un cube donné, si coté du cube c => c 3=2 donc c=3 2 ne correspond pas à une extension quadratique • trisection de l'angle : (facile si angle plat car angle de 60° facile à construire (cos 60 = 0,5)), impossible dans le cas général car cos 3 =4cos 3 −3cos pour 3 =/3 on cherche x=cos /9 , il faut résoudre l'équation 4x 3 – 3x−1/2=0 qui est irréductible, x est algébrique sur ℚ de degré 3 donc non constructible à la règle et au compas d'après Wantzel. Rem : si 3 = alors on doit résoudre 4x 3 – 3x1=0 qui est réductible en 2 x−1/22x 2 x−1 donc ½ est une solution. • quadrature du cercle : cercle d'aire est transcendant sur ℚ . r 2 trouver un carré de même aire => coté r or