Formules trigonométriques et calcul de longueurs En 4ème …. En 4ème, tu as découvert un nouvel outil appelé « cosinus ». Cet outil s’utilise uniquement dans …………………………………….. les triangles rectangles. Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport : longueur du côté adjacent à l'angle cosinus d'un angle aigu = longueur de l'hypoténuse Ce rapport ne dépend que de ……………………………………. la mesure de l’angle considéré. La valeur du cosinus d’un angle est toujours comprise entre …… 0 et …… 1 2 Avant de commencer …. Dans chaque cas, repasser en couleur l’hypoténuse du triangle rectangle. Dans chaque cas, repasser en couleur le côté adjacent de l’angle indiqué. 3 J’utilise ma calculatrice …. Avant d’utiliser la calculatrice, il faut vérifier qu’elle est bien en mode ……………. degrés Compléter le tableau suivant. Les mesures d’angles seront arrondis à 1° près et les valeurs de cosinus seront arrondis à 0,01 près. 4 Â 34° 58° 82° 88° 60° 26° cos Aˆ 0,83 0,53 0,14 0,03 0,5 0,9 Activité : préliminaires OAB est un triangle rectangle en A . On place un point C sur le segment [OA], puis on trace la perpendiculaire à (OA) passant par C, elle coupe [OB] en D. 1) Faire une figure à main levée. 5 Activité : préliminaires 2) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier. On sait que : les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à une même droite (OA). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) // (CD). 6 Activité : un nouveau rapport OD DC = 3) Montrer que : OB AB En déduire que : AB = DC OB OD Penser à la propriété de Thalès. On sait que : les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B. (AB) // (CD). D’après la propriété de Thalès, on a : OC OD CD = = OA OB AB d’où OD DC = OB AB On utilise le « produit en croix » : OD AB = OB DC OD×AB OB×DC = On divise les deux membres par OD ×OB : OD×OB OD×OB On simplifie : AB = DC OB OD 7 Activité : sinus La valeur commune des rapports la mesure de l’angle AB DC et OB OD ne dépend que de ˆ AOB On l’appelle le sinus de l’angle ˆ AOB Compléter : ˆ opposé à l'angle AOB longueur du côté ..................... ˆ sin AOB = l’hypoténuse longueur de ........................... 8 Activité : un troisième rapport OC DC = 4) Montrer que : OA AB En déduire que : AB = DC OA OC Penser à la propriété de Thalès. On sait que : les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B. (AB) // (CD). D’après la propriété de Thalès, on a : OC OD CD = = OA OB AB d’où OC DC = OA AB On utilise le « produit en croix » : OC AB = OA DC OC×AB OA×DC = On divise les deux membres par OC × OA : OC×OA OC×OA AB DC On simplifie : = OA OC 9 Activité : tangente La valeur commune des rapports la mesure de l’angle AB DC et OA OC ne dépend que de ˆ AOB On l’appelle la tangente de l’angle ˆ AOB Compléter : ˆ longueur du côté ..................... à l'angle AOB opposé ˆ = tan AOB ˆ longueur du côté ..................... adjacent à l'angle AOB 10 Cours : cosinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport : longueur du côté adjacent à l'angle longueur de l'hypoténuse Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré. Exemple : Exprimer le cosinus de l’angle indiqué : AC ......... ˆ cos ACB = BC ......... 11 Cours : sinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au rapport : longueur du côté opposé à l'angle longueur de l'hypoténuse Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré. Exemple : Exprimer le sinus de l’angle indiqué : DE ......... ˆ sin DFE = EF ......... 12 Cours : tangente d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au rapport : longueur du côté opposé à l'angle longueur du côté adjacent à l'angle Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré. Exemple : Exprimer la tangente de l’angle indiqué : GH ......... ˆ tan GIH = GI ......... 13 En résumé Pour utiliser les formules de trigonométrie, il faut se situer dans un triangle rectangle. ……………………………………. Ces trois rapports ne dépendent que de ………………………………… la mesure de l’angle considéré. Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. A quoi servent ces formules ? Ces formules permettent de calculer des longueurs de côtés et des mesures d’angles dans des triangles rectangles. Remarque : Dans ce module, nous ne traiteront que des exercices dans lesquels les formules seront utilisées pour calculer des longueurs de côtés. 14 En résumé Pour retenir les 3 rapports, on peut utiliser « la formule » : Cos C Adjacent A Hypoténuse H Sin S Opposé O Hypoténuse H Tan T Opposé O Adjacent A 15 Exemple d’application Exemple : ˆ = 34° ABC est un triangle rectangle en B, tel que : BC = 6 cm et BCA Calculer l’arrondi au mm près de la longueur AB. Méthode : On trace une figure à main levée. On repasse en couleur les données connues et celle cherchée. Par rapport à l’angle connu, on connait le côté adjacent et on cherche la longueur du côté opposé. On va utiliser la formule de la tangente. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : ˆ = AB tan BCA BC soit tan 34° = AB = 6 tan 34° 16 AB 6 Sur la calculatrice, on lit : 4,047051101 AB ≈ 4 cm Exercices Entrainons nous …. 17 Exercice 1 : énoncé Exercice n° 1 : 1) Compléter (donner un arrondi à 10-3 ) (a) Sin 45° ≈ ………… (b) Tan 32° ≈ ………. (c) Cos 67° ≈ ………... (d) Sin 30° ≈ ………... 2) Compléter (donner un arrondi au degré près) ˆ = 0,74 donc A ˆ ........ (a) cos A ˆ = 5,2 donc B ˆ ........ (b) tan B ˆ = 0,6 donc C ˆ ........ (c) sin C 18 Exercice 1 : question 1 Un arrondi à 10-3 signifie que l’on va arrondir en conservant 3……… chiffres après la virgule. (a) Sin 45° ≈ ………… 0,707 (b) Tan 32° ≈ ………. 0,625 La calculatrice affiche 0,707106781 Le chiffre des millièmes est 7, le suivant est 1. On donne un arrondi par défaut. La calculatrice affiche 0,624869352 Le chiffre des millièmes est 4, le suivant est 8. On donne un arrondi par excès. (c) Cos 67° ≈ ………. 0,391 La calculatrice affiche 0,390731128 Le chiffre des millièmes est 0, le suivant est 1. On donne un arrondi par excès. (d) sin 30° = ……….. 0,5 La calculatrice affiche 0,5 C’est une valeur exacte. 19 Exercice 1 : aide question 2 Un arrondi au degré signifie que l’on va arrondir en conservant uniquement la partie entière. ˆ = 0,74 donc A ˆ .... (a) cos A .... 42° Il faut utiliser les touches 2nd et cos ou cos-1 ou arccos selon les calculatrices. ˆ = 5,2 donc B ˆ ...79° (b) tan B ..... Il faut utiliser les touches 2nd et tan ou tan-1 ou arctan selon les calculatrices. ˆ = 0,6 donc C ˆ .... (c) sin C .... 37° 20 Il faut utiliser les touches 2nd et sin ou sin-1 ou arcsin selon les calculatrices. Exercice 1 : solution Exercice n° 1 : 1) Compléter (donner un arrondi à 10-3 ) (a) Sin 45° ≈ ………… 0,707 (b) Tan 32° ≈ ………. 0,625 (c) Cos 67° ≈ ………... 0,391 (d) sin 30° ≈=………... 0,5 2) Compléter (donner un arrondi au degré près) ˆ = 0,74 donc A ˆ .... (a) cos A .... 42° ˆ = 5,2 donc B ˆ ...79° (b) tan B ..... ˆ = 0,6 donc C ˆ .... 37° (c) sin C .... 21 Exercice 2 : énoncé Exercice n° 2 : Dans chacun des cas suivants, préciser la formule de trigonométrie qu’il faut utiliser, puis écrire le rapport. 22 Exercice 2 : aide et solution triangle ABC Pour s’aider, nous pouvons repasser en couleur les données connues et celle cherchée. Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur ……………………. de l’hypoténuse et nous cherchons la longueur ………………………. du côté opposé. Nous allons utiliser la formule …………………… du sinus. ˆ = AC sin ABC BC 23 Exercice 2 : aide et solution triangle DEF Pour s’aider, nous pouvons repasser en couleur les données connues et celle cherchée. Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur ……………………. du côté opposé et nous cherchons la longueur ………………………. de l’hypoténuse. Nous allons utiliser la formule …………………… du sinus. ˆ = DE sin DFE EF 24 Exercice 2 : aide et solution triangle GHI Pour s’aider, nous pouvons repasser en couleur les données connues et celle cherchée. Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur ……………………. du côté opposé et nous cherchons la longueur ………………………. du côté adjacent. Nous allons utiliser la formule …………………… de la tangente. ˆ = GI tan GHI GH 25 Exercice 3 : énoncé Exercice n° 3 : CAR est un triangle rectangle en R. On donne : CA = 8 cm et CÂR = 72°. Calculer AR. Donner un arrondi au mm près. 26 Exercice 3 : aide On trace une figure à main levée. Pour s’aider, on peut repasser en couleur les données connues et celle cherchée. Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur ……………………… et nous cherchons de l’hypoténuse la longueur …………………… du côté adjacent. Nous allons utiliser la formule …………………… du cosinus. 27 Exercice 3 : solution Exercice n° 3 : CAR est un triangle rectangle en R. On donne : CA = 8 cm et CÂR = 72°. Calculer AR. Donner un arrondi au mm près. Dans le triangle CAR rectangle en R, on a : AR ˆ cos CAR = AC AR cos 72° = 8 AR = 8 cos 72° AR ≈ 2,5 cm 28 Exercice 4 : énoncé Exercice n° 4 : Quelle est la hauteur de l’arbre ? Arrondir le résultat au dixième près. 29 Exercice 4 : aide CDE est un triangle rectangle en D. On peut utiliser les formules de trigonométrie. On cherche la longueur DE. Par rapport à l’angle connu, on connait la longueur du côté adjacent et on cherche la longueur du côté opposé. On va utiliser la formule de la tangente. 30 Exercice 4 : solution Exercice n° 4 : Dans le triangle CDE rectangle en D, on a : DE ˆ tan DCE = DC DE tan 30° = 15 DE = 15 tan 30° DE ≈ 8,7 m BE = BD + DE ≈ 1,5 + 8,7 = 10,2 m. La hauteur de l’arbre est environ 10,2 mètres. 31