Fonction sinus et fonction cosinus

Fonction sinus et fonction cosinus
Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé direct
O; ,
i j
1. Repérer un point M sur le cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique
O
A
B
i
j
Le cercle trigonométrique est le
cercle de centre O, de rayon 1
orienté positivement dans le sens
inverse des aiguilles d’une
montre.
(la flèche représente ce sens
appelé sens direct ou sens positif
ou sens trigonométrique)
 La méthode de l'enroulement de la droite
autour du cercle permet d'associer à chaque
nombre réel t un unique point M du cercle.
 La donnée du nombre t permet donc de
repérer le point M.
 En revanche, chaque point M du cercle est
l’image de plusieurs nombres réels t.
La différence entre deux de ces réels est un
multiple de
2
.
Donc les réels t associés au point M sont les
nombres de la forme t + k2 où k  .
2. radian et degré :
Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que
l’angle plat (180°) mesure radians.
La mesure en radians est proportionnelle à la mesure en degrés.
Par exemple un angle qui mesure 60° mesure
3
radians car 60 représente le tiers de 180.
3. fonction sinus et cosinus :
Pour tout réel x , il existe un point M unique du cercle trigonométrique
tel que x soit une mesure de
(OA , OM)
.
• l'abscisse du point M est appelé le cosinus de x ( noté
cos
x
)
• l'ordonnée du point M est appelé le sinus de x ( noté
sin
x
)
Autrement dit Le point M a pour couple de coordonnées (cos x ; sin x)
c'est-à-dire OM cos sin
x i x j
+
M
2
t
O
i
j
t
A
1
0
i
j
O
M
cos
x
sin
x
x
A

On a ainsi définies de fonctions sur telles que :
pour tout réel x , –1  cos x  1 et –1  sin x  1 cos² x + sin² x = 1
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.
sin(x + 2k) = sin x et cos(x + 2k) = cos x
Valeurs particulières
Il faut savoir donner, sans hésitation, les valeurs particulières suivantes, et savoir les faire apparaître sur un
cercle trigonométrique.
x 0 
6  4  3  2
cos x 1 3
2
2
2
1
2 0
sin x 0 1
2 2
2
3
2
1
Propriétés
La fonction sinus est impaire : pour tout réel x, on a sin (– x) = – sin x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).
La fonction cosinus est paire : pour tout réel x, on a cos (– x) = cos x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées).
Courbes
Courbe de la fonction sinus :
Courbe de la fonction cosinus :
3/2 25/2 3
-/2- -3/2-2 -5/2-3
2
-1
-2
0/2
1
x
y
3/2 25/2 3
-/2- -3/2-2 -5/2-3
2
-1
-2
0/2
1
x
y
0
2 
3 
4
6
3
2