Quelques résultats sur l`arithmétique des groupes algébriques (n

Quelques r´esultats sur l’arithm´etique des
groupes alg´ebriques (n’utilisant pas la th´eorie
des immeubles)
David Harari
GT Introduction `a la th´eorie de Bruhat-Tits, 28 novembre 2014
1. G´en´eralit´es
1.1. Topologie sur les K-points d’une vari´et´e pour K
local
Soit Kun corps p-adique (i.e. une extension finie de Qp). Soit Xune
K-vari´et´e (=K-sch´ema s´epar´e de type fini). La topologie de Kinduit (cf. [8],
§3.1) une topologie (dite p-adique, ou v-adique si vest la valuation de K)
sur l’ensemble X(K) des K-points de X, qui en fait un espace localement
compact, totalement discontinu, et d´enombrable `a l’infini. Si par exemple
X ֒→Pn
Kest projective, l’espace X(K) est compact ; pour X⊂An Kaffine,
la topologie sur X(K) est simplement celle induite par Kn.
Pour Xlisse et Uouvert de Zariski dense (pour la topologie de Zariski)
de X, l’ensemble U(K) est dense dans X(K) pour la topologie p-adique :
c’est une cons´equence du th´eor`eme des fonctions implicites p-adique ([14],
Part II, §III.10). Ceci s’applique en particulier `a tout K-groupe alg´ebrique
affine G, qui est le cas qui va nous int´eresser dans cet expos´e.
Pour K=Rou C, les mˆemes constructions s’appliquent, et donnent une
structure d’espace (resp. groupe) localement compact d´enombrable `a l’infini
sur X(K) (resp. G(K)), ainsi que la mˆeme propri´et´e de densit´e de U(K)
dans X(K) pour la topologie r´eelle ou complexe.
1.2. Topologie faible, topologie ad´elique
Soit kun corps de nombres dont on note Ω l’ensemble de toutes les places
et kvle compl´et´e en la place v. Pour toute place finie v, on note Ovl’anneau
1

des entiers de kv(on convient que Ov=kvsi vest archim´edienne). Pour une
k-vari´et´e X, on pose
X(kΩ) := Y
v∈Ω
X(kv)
et on munit cet ensemble de la topologie, dite faible, produit des topologies
v-adiques. On note X(k) l’adh´erence de l’ensemble X(k) des k-points de X
dans X(kΩ) pour cette topologie. Ainsi une famille (xv) de X(kΩ) appartient
`a X(k) ssi pour tout ensemble fini Sde places de k, il existe x∈X(k)
arbitrairement proche des xvpour vdans S.
D´efinition 1.1 On dit qu’une k-vari´et´e lisse X(avec de plus X(k)6=∅)
v´erifie l’approximation faible (AF en abr´eg´e) si X(k) = X(kΩ).
Par exemple, l’espace affine An
kou projectif Pn kv´erifient AF, cons´equence
du th´eor`eme d’approximation faible sur les valuations ([2], expos´e II, p.
48). C’est aussi plus g´en´eralement le cas de toute vari´et´e k-rationnelle lisse,
comme par exemple SLn, car la propri´et´e d’AF est un invariant k-birationnel
des vari´et´es int`egres lisses (i.e. elle ne d´epend que de leur corps des fonctions),
cons´equence encore du th´eor`eme des fonctions implicites.
Nous allons maintenant d´efinir une notion plus fine, en commen¸cant par
le cas o`u Xest affine, munie d’une immersion ferm´ee X ֒→Ar
k. L’espace
ad´elique X(Ak) := X(kΩ)∩Ar
kpeut alors ˆetre muni de la topologie induite
par celle de Ar
k, o`u Akd´esigne le groupe topologique des ad`eles (cf. [2], expos´e
II, §14) de k. Cette topologie ad´elique sur X(Ak) peut aussi ˆetre d´efinie, pour
toute k-vari´et´e X, de la mani`ere suivante : soit X → Spec (OS) un mod`ele
de X(i.e. un morphisme fid`element plat de fibre g´en´erique X), o`u Sest un
ensemble fini de places de ket OSd´esigne l’anneau des S-entiers (=´el´ements
de kde valuation ≥0 en les places finies hors de S). On voit alors X(Ak)
comme le produit restreint topologique des X(kv), v ∈Ω, relativement aux
X(Ov), v 6∈ S(il n’est pas difficile de voir que cette d´efinition ne d´epend pas
du choix du mod`ele).
Quand Xn’est pas propre, cette topologie “forte” sur X(Ak) est plus fine
que celle induite par X(kΩ). Par exemple pour X=A1
k, on a X(Ak) = Ak
avec la topologie habituelle sur les ad`eles, tandis que pour X=Gm, on
obtient X(Ak) = Ik(id`eles de k, cf. [2], expos´e II, §16) ; on voit au passage
que la topologie ad´elique n’est pas compatible avec la restriction `a un ouvert
(elle l’est avec la restriction `a un sous-sch´ema ferm´e).
Tout ce qui pr´ec`ede s’applique notamment `a un k-groupe alg´ebrique affine
G.
2

D´efinition 1.2 Soit Sun ensemble fini de places de k. Notons X(AS)le
produit restreint des X(kv)pour v6∈ S(espace des S-ad`eles). On dit que X
v´erifie l’approximation forte en dehors de Ssi X(k)est dense dans X(AS)
pour la topologie ad´elique.
De fa¸con explicite, cela signifie que pour tout ensemble fini S′de places
disjoint de S, et toute famille (xv)v∈S′, il existe x∈X(k) proche des xvpour
vdans S′, et de plus entier en dehors de S′∪S.
Par exemple si v0est une place fix´ee de k, l’espace affine Ar
kv´erifie l’ap-
proximation forte en dehors de v0, cons´equence du classique th´eor`eme d’ap-
proximation forte en th´eorie des nombres ([2], expos´e II, §15). Cette notion
n’est pas du tout k-birationnelle mˆeme pour les vari´et´es lisses (`a moins de se
restreindre aux vari´et´e propres, auquel cas il n’y a pas de diff´erence avec l’ap-
proximation faible) : par exemple Gmne v´erifie jamais l’approximation forte
quel que soit l’ensemble fini S. En fait une condition n´ecessaire pour avoir
cette propri´et´e est que la vari´et´e soit g´eom´etriquement simplement connexe
(l’argument, dˆu `a Minchev, est le mˆeme que dans [5], Th. 2.4.5).
2. Anisotropie et compacit´e dans le cas local
Rappelons d’abord la d´efinition suivante :
D´efinition 2.1 Soit Gun groupe alg´ebrique lin´eaire (r´eductif connexe) sur
un corps k. On dit que Gest k-anisotrope si son k-rang (i.e. la dimension des
tores k-d´eploy´es maximaux de G) est 0. Dans le cas contraire, on dit que G
est k-isotrope.
Rappelons que les tores k-d´eploy´es maximaux de Gsont conjugu´es, ce
qui justifie la d´efinition du k-rang. Par ailleurs, un k-tore Test anisotrope si
et seulement si H0(k, b T) = 0, o`u b Td´esigne le module galoisien des caract`eres
de T. C’est par exemple le cas pour le tore R1
k′/kGm, d´efini par l’´equation
x2−ay2= 1, o`u k′:= k(√a) est une extension de degr´e 2 d’un corps kde
caract´eristique 6= 2. En effet son module des caract`eres est Zmuni de l’action
non triviale de Gal (k′/k). Un exemple de groupe semi-simple anisotrope est
donn´e par SO(q), o`u qest une forme quadratique anisotrope de rang au moins
3.
Sur un corps local, anisotropie et compacit´e sont ´etroitement li´ees comme
le montre le th´eor`eme suivant :
Theor`eme 2.2 (Bruhat/Tits, Rousseau) Soit Kun corps p-adique et
soit Gun groupe connexe r´eductif sur K. Alors G(K)est compact si et
seulement si Gest K-anisotrope.
3

Par exemple, pour un tore T, on obtient que T(K) est compact si et
seulement si H0(K, b T) = 0.
Remarques : -Le th´eor`eme est ´egalement valable sur R(et sur C, mais
dans ce cas l’´enonc´e est vide). Il s’´etend aussi `a des corps valu´es plus g´en´eraux
que les corps p-adiques, [10].
-On a aussi une version plus g´en´erale pour un espace homog`ene G/H, o`u
Gest un groupe lin´eaire (pas forc´ement connexe ni r´eductif), [8], Th. 3.1.
D´emonstration : (d’apr`es G. Prasad). On se ram`ene imm´ediatement `a
un sous-groupe alg´ebrique Gde SL(V), o`u Vest un K-ev de dimension finie.
On fixe une clˆoture alg´ebrique Kde K, ce qui permet de regarder les valeurs
propres dans Kdes ´el´ements de G, et leur valuation dans Q∪ {+∞} (la
compl´etude de Kimplique que sa valuation s’´etend de mani`ere unique en
une valuation sur K, laquelle n’est juste plus `a valeurs dans Z∪ {+∞}).
Lemme 2.3 Soit Hun sous-groupe Zariski-dense de G(K). On suppose que
Hest non born´e. Alors il existe un ´el´ement hde Htel que hait une valeur
propre α∈Kde valuation <0.
D´emonstration : On peut trouver sur Kun drapeau G-invariant de
sous-espaces de V, soit
V=V0⊃V1⊂... ⊃Vr+1 ={0}
tel que pour tout i∈0,1, ..., r, la repr´esentation ρide Gsur Wi:= Vi/Vi+1
soit absolument irr´eductible (i.e. irr´eductible sur K). Consid´erons alors la
repr´esentation ρ=Mρide Gsur MWi, laquelle est d´efinie sur une exten-
sion finie galoisienne Lde K. Comme son noyau est un sous-groupe alg´ebrique
normal et unipotent (par construction) de G, il est trivial vu que Gest
suppos´e connexe r´eductif. Alors ρ(H)≃Hest non born´e, d’o`u un entier
a∈0,1, ..., r avec ρa(H) non born´e.
Raisonnons alors par l’absurde en supposant que toutes les valeurs propres
des ´el´ements de Hsont de valuation ≥0, i.e. dans l’anneau des entiers OK.
Alors la trace tr ρaa une restriction `a Hqui reste dans OK. D’autre part, le
fait que ρasoit irr´eductible et HZariski-dense donne que ρa(H) engendre le
K-ev End(Wa). La non d´eg´en´erescence de la trace implique alors que ρa(H)
est born´ee (cf. [15], Lemme 2.2), contradiction.
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On peut maintenant d´emontrer le th´eor`eme 2.2. Si Gest isotrope, alors il
contient un Gm, donc n’est pas born´e puisque G(K) contient K∗. A fortiori
G(K) ne peut pas ˆetre compact.
En sens inverse supposons G(K) non compact, donc non born´e puisque
G(K) est localement compact. On applique alors le lemme `a G(K), qui
est Zariski-dense (fonctions implicites). On obtient un ´el´ement g∈G(K)
poss´edant une valeur propre α∈Kavec v(α)<0. Quitte `a ´ecrire g=u.s
avec uunipotent et ssemi-simple, on peut supposer gsemi-simple. Il appar-
tient alors `a un tore maximal S, d’o`u un caract`ere χ∈HomL(G, Gm), d´efini
sur une extension finie galoisienne Lde K, avec χ(g) = α. Posons alors
χK:= Y
γ∈Gal (L/K)
γ.χ,
on observe que χK∈HomK(G, Gm) et v(χK(g)) = [L:K].v(α)6= 0 car
un ´el´ement de Ka mˆeme valuation que ses conjugu´es ([12], chapitre II, §2,
corollaire 3). Finalement on a bien trouv´e un tore Sde Gavec H0(K, b S)6= 0,
ce qui prouve que Gest K-isotrope.
3. L’approximation faible
Soit Gun groupe alg´ebrique lin´eaire connexe, qu’on supposera toujours
r´eductif, les groupes unipotents v´erifiant de mani`ere ´evidente l’approximation
faible vu qu’ils sont k-isomorphes `a un espace affine en tant que vari´et´e. Bien
que, comme on va le voir, Gne v´erifie pas toujours l’approximation faible,
il n’en est en un certain sens pas loin, et le d´efaut d’approximation faible
disparaˆıt quand Gest semi-simple simplement connexe (ou encore adjoint). Il
existe diverses approches de ce dernier r´esultat, dˆu `a Kneser pour les groupes
classiques ou sans facteur de type E8, et `a Harder pour E8. La preuve de
Platonov ([8], Th. 7.8) repose fortement sur sa d´emonstration de la conjecture
de Kneser-Tits dans le cas d’un corps p-adique (qui dit que pour Gr´eductif
isotrope sur un tel corps K, le groupe G(K) est engendr´e par les ´el´ements
unipotents), et de ce fait elle n’´echappe pas `a une discussion cas par cas
reposant sur la classification des groupes semi-simples simplement connexes.
Une fois connu le r´esultat pour les groupes semi-simples simplement connexes,
Sansuc ([11], Th. 3.3) a calcul´e le d´efaut d’approximation faible pour un
groupe lin´eaire connexe quelconque par des m´ethodes cohomologiques. Nous
allons ici utiliser ces m´ethodes pour traiter d’abord le cas des tores (qui
remonte, avec une autre pr´esentation, `a Voskresenski˘ı). On expliquera ensuite
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