Classes d`isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J OHN TATE
Classes d’isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini
Séminaire N. Bourbaki, 1968-1969, exp. no 352, p. 95-110
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Séminaire BOURBAn
1968/69,
année,
21e
Novembre 1968
352
n°
D’ISOGÉNIE
CLASSES
VARIÉTÉS ABÉLIENNES
DES
(d’après
catégorie
La
1. Enoncé du résultat
libres de type fini. On obtient
désignerons par
nous
principal.
des variétés abéliennes
tive dans laquelle les groupes de
M(k) ,
en
HONDA)
T.
John TATE
par
§
sur un
si et seulement si
sont des
liennes à
une
f : A -~
On sait que
la
catégorie
M(k)
est
des
"
peut
se
faire lorsque le corps de base
Soit
une
k
un
corps fini de
variété abélienne
morphisme
tel que, pour tout
k
est
caractéristique
k-simple définie
de Frobenius relatif à
des variétés abé-
k .
M(k) ,
sur
une
1
objets
ses
déterminer pour
Nous allons voir comment
gauche
trouvent dans
se
catégorie
pour connaître
et
est un isomor-
canoniquement équivalente,
chacun de
semi-simple :
objets simples à isomorphisme près,
corps
est
mf , qui
est la
M(k)
dans
B
sur
comme
k
".
un
doit classifier
objet
A
description
de
un
dirait
isomorphe à
est
on
telle
que
posant
en
motifs effectifs de poids
produit fini d’objets simples. Donc,
ses
nuls
M(k)
Donc
k ; elle
sur
non
Q-linéaire),
objets, mais
addi-
Z-modules
sont des
les mêmes
gardant
catégorie
est une
catégorie abélienne (même
multiples
isogénies.
isogénie près
Grothendieck, à
ses
k
corps
morphismes
Une flèche
phisme
SUR UN CORPS FINI
tel
le
M(k~
fini.
p , à
k ,
et soit
D’après Weil,
plongement. ~ : Q(rt ~ -~ ~ ,
q
on
ttA
ait
=
pa
nA
éléments. Soit
c
Endk(A)
est un entier
I
=
qt .
son
A
endo-
algébrique
Appelons
96
telle
une
et
(dans
quantité
disons que deux tels
nombres,
c’est-à-dire, s’il existe
en
corps de
un
caractéristique
Q(tt~) -~
isomorphisme
un
q-nombre
un
conjugués s’ils
sont
n9 , n2
0)
qui
de
le sont
Weil,
sur Q,
transforme
n~
"2
.
THÉORÈME
(i)
1.-
A ~
La flèche
M(k)-isomorphisme
des
donne
nA
objets simples
une
M(k)
de
bijection
entre les classes de
et les classes de
conjugaison
des
q-nombres de Weil.
(ii)
A
Soit
Alors
E
de
F’,
une
place
M(k) ,
simple dans
F =
C
est un corps
gauche de
qui splitte
en
EndM(k)(A) .
E =
F
centre
qui
ne
splitte
chaque place finie première à
au-dessus de
v
et soit
est donné par la
p
en
aucune
place réelle
p , et dont l’invariant
en
règle
(1)
où
F
désigne
absolu de
v ,
(2)
On
de
F
en
v , et où
f
désigne
le
degré résiduel
a
2 dim A =
Remarques.par les
2)
De
est la
en
complété
le
1)
Noter que
E
propriétés indiquées
(2)
dans
résulte que, pour
puissance
termes de
est défini à
nA
A
isomorphisme près,
termes de
nA ,
,
(ii).
simple,
le
polynôme caractéristique
m-ième du polynôme minimal de
par la règle
en
m =
nA sur ,où
m
fA
se
de
calcule
rrA
nombre de Weil donné
a)
Le
quelques précisions
Donnons ici
Exemples.-
cas
où
n
=
conjugué réel : Alors,
a un
rt
,
E
pour
un
donc
ce cas
q-
quelques exemples particuliers.
et
nA ,
la structure de
sur
n2 =
on a
q
pa ,
=
est
très spécial :
Si
elliptique d’invariant
définis
sur
sur
une
b)
une
a
extension
elliptiques
est
extension
F
en
p . On
est le corps
0 , dont
gauche de degré
dim A =
a
A
1;
est
4
une
k-endomorphismes
tous les
sont
v au-dessus de
P(p-)
=
A
k ,
du corps
a
H
la
devient
on
inv (E)
+
Fo
E
est le corps
isogène
au
On
gauche de degré
dim A
a
produit
=
2
;
sur
de deux courbes
F
(cas général). Alors,
imaginaire
qui, lui,
+
=
conjugaison
de
v
p ,
et
places à l’infini.
deux
est totalement
=
a
aux
F
vient de décrire.
qu’on
chaque place
(3)
de
quadratique
réel. Notons par
en
alors
impair,
quadratique
du type
Le cas où
splitte
E
.
ramifié seulement
F
de Hasse
et
k .
Si
4
F = Q
alors
pair,
ramifié seulement à l’infini et
sur Q
courbe
est
a
de
F
sur
qui n’est pas
F .
Le
F
est totalement
E
corps,gauche
au-dessus de
est
p . Pour
une
place
a
inv-(E) =
(mod 1) ,
0
et même
(4)
(mod 1),
0
(1)
parce que
v
v .
Ces faits résultent de
[F v :Q p ]
Si
est
k
pair si
est le corps
=
premier
(ou
rm
si
=
q
v
=
v .
implique
plus généralement si
+
le
degré
v(q) ,
absolu
a
et
de
fv v(n)
divise
k
donc
E
F ,
=
(Problème
exemple spécial
Un
diviseur commun,
n2
est
et
+
pnn
pa =
+
avec
riants de
nia
sont
k
algébrique
que le groupe formel
au
et
de
Serre, il
a
y
§
une
n’ . Alors
n
est un
deux places
en
n’la.
On
a
(-p)’’
Pour
rie
soit
(i)
du §
a
A
ce
schémas
2. L’unicité de
A
qui dit
que
nA
été trouvée
est
sur une
montrent
isogène
k
sur
dernier est donc
algé-
indépendamment
un
par Honda
End A .
et la structure de
de la démonstration de
détermine
chaque nombre premier t
lim (A ) ,
en
simple
ceci résout affirmativement
,
A
à
(y compris t
groupes
A
sur
k
son
groupe
où
A
désigne
=
p ),
sur
k
.) Pour l ~
t-divisible
le noyau
p ,
(ii)
et de la
k-isogénie près.
Ql-linéaire des groupes t-divisibles (voir [8]) à
Ve M(k~ -~ M(k,e) le foncteur déduit de celui
=
où les inva-
2, ci-dessous,
associé à
1 ,1
reste
quadra-
deux ans.
variété abélienne
A(e)
G
A
a ;
=
de Weil
~(rr) ,
dans
sans
l’équation
pa-nombre
Dieudonné ;
donne
Une telle solution
v
v ,
dim A
de la théorie de
=
splitte partout,
deux entiers
racine de
n
k . Les considérations
n
E
n’
et
n
et soit
Rappelons ici brièvement le principe
moitié de
Soient
(ou p-divisible) A(p)
[5].
de Manin
Manin).
de
n +
et
l’exemple
Comme
problème
=
G n,n, x G , n n
groupe
brique.
a
alors
commutatif,
n’ ,
splitte
p
clôture
n
0 , où
tique imaginaire ;
E
0 S
p ),
v au-dessus de
pour toute
de ln
Vl(A)
est
catégo-
soit
la
isogénie près
sur
qui
attache à
A(t) . (On
dans
A ,
étale,
k ,
chaque
a
au sens
des
donc peut être
et
identifié
k
de
au
module galoisien de
(c’est-à-dire
k
son
module de
sur
ceux-ci à l’aide
Dieudonné ;
Soit
tique
de
A
M(k)
on
on
est
ce cas
clôture
une
de
Weil,
là, tout
[5]
compléter
Soit
fA
[6]
ou
nA agisse
à
Ve(A)
un
lequel
sur
ce
qu’on
les sorites
[12],
sans
polynôme
le
de manière
caractéris-
l’endomorphisme
semi-simple
M(k,e)-isomorphisme
dimension ; il
en
(La
dans
l’algèbre
démonstration
degré
de
polarisation
on
est donnée dans
fixés.)
l’algèbre semi-simple
de
on
en
on
trouve
localisations,
structure,
On trouve
aussi,
à
A
déduit
A
pour
En prenant
conjugué
près,
De
est évidemment de même de leurs sources. Pour
Comme la structure de
tant cette
dans
flèches injectives
=
qu’elle
(ii)
pour
quelconque,
A’
implique
x
A"
avec
bien
A’
Donc
a~
est
[11J,
p.
137 ;
bijective
est
que
A’
sur
elle
k
de
pour tout ~ .
déterminée par celle
est déterminée par
A
flé-
montre que la
utilise essentiellement la finitude des classes de variétés abéliennes
ses
doute.
Q~ ~Q
surjective.
dimension et de
va
les détails de la démons-
attendant
qu’en
algébrique
peut être identifié à
(A)
; c’est aussi celui de
détermine
fA
V
simple).
Du fait que
qui splitte complètement
p
a~o
moins de temps
de Frobenius
montre que les buts des
ont tous la même
D’autre part,
nécessairement
nA.
déduit que
«~ :"
che
(non
dans
le lecteur pourra
en
p ,
=
défini par
V~(A) ,
k/k ) ;
t-adique
trouvera, par exemple, dans
on
l’endomorphisme
de
là,
E
[11].
desquels
tration dans le cas l
valeurs dans
l’espace vectoriel
avec
trouve dans
se
points à
de Frobenius de
opère l’automorphisme
esquisser ici
ses
f.;
en
explici-
simple.
est le centre de
l’algèbre
et
isomorphe
A"
à
simples,
A" .
on
en
déduit que
§
Soit m
au
A
d’un
rrA
LEMME 1.- Soit
k’
N
une
simple
sur
k’
lienne
sur
k
(c’est
ce
un
pour
simple
donné.
tr
un
entier ~ 1
extension de
k
s’il est
effectif
ri
est
effectif,
N . Soit
de.degré
A’
une
Soit
A
variété abélienne
ri
soit
déduite de
A’
par "restriction des scalaires"
A
est
à
conjugué
Ii
=
rr , .
A’ ).
Alors
l’est.
alors n
telle que
que Grothendieck note
conjugué
[2].
Si
.
est
k . Notre but est de montrer que n
sur
résultat est dû à Honda
ce
Soit
A
q-nombre de Weil. Disons que rr
un
Frobenius
effectif ;
3. L’existence de
la variété abéau
de Weil
sens
on a
k’/k
fA,(T) .
(5)
est une racine de
Donc n
d’un des facteurs
ple
du fait que le
Vf A’)
module
r
qui implique que n
ce
k-simples
de
A1
Gal(k/k)-module
A .
Vt(A)
(La
conjugué
est
formule
(5)
au
Frobenius
résulte par
est le module induit du
exem-
Gal(k/k’)-
.)
Soit maintenant
de
f ,
et soit
F =
de la manière
indiquée dans
extension
de type
CM
une
nombres
L
totalement réel.
la
E
un
partie
quadratique
L
corps
(ii)
gauche
du théorème 1.
totalement
déduit
F
de centre
Appelons
corps
corps de
imaginaire d’un
o
LEMME 2.- Il existe
un
corps
L
de type
CM
qui
ont
contenant
F
tel que
L
splitte
a
E
et que
[L:F] =
On utilise les
propriétés
de
E
été
explicitées
dans les
exemples
a)
1
et
b) du §
1. Dans le
b) (n
Dans le cas
a)
cas
réel),
réel),
non
naire du corps totalement réel
une
est une extension
Fo
=
extension totalement réelle de
place
de
v
au-dessus de
F
est
Si
Donc
m .
de
A
splitte
est de
L
un
Alors, il existe
type
A
conjugué à
une
ce
A
(L)
([2],
p.
on aura
92).
en
où
Q
toute
en
est une
chaque place
irréductible dans le complété
est assez
Alors
L
v -
proche d’un polynôme réel
est
évidemment de type
pas sont celles au-dessus de
Le
F .
degré
de
L
en une
telle
une
variété abélienne
sur un
corps
K ,
si elle est munie d’un plongement
2 dim A .
=
CM
ait bonne
contenant
A
réduction,
de
au § 4.Après
achevée, parce que les lemmes 1, 2
En même temps,
(~) ,
Lo
E .
puissance 1
lemme
degré local
proche
imagi-
soit
et
’
F
F((-p~~~ .
=
totalement
tE:Fl~ , )- ~
=
dont le
splitte
ne
variété abélienne
une
m
est assez
celui de
avec
corps de type
telle que
de Q
Nous prouverons
Honda
E
Soit
F ,
m
FL .
=
où
F
et si
LEMME 3.- Soit
qui
degré
L
coïncide
F
i : L -~
tion soit
Posons
v
L
de
quadratique
(Prendre L -
m .
Fo
sur
est un corps de nombres et
L
dirons que
finie
m
de
m
chaque place réelle,
en
places
où le complété de
place
nous
qui,
degré
polynôme
simples.)
à racines réelles
CM . Les seules
degré
p d’un
v au-dessus de
adique de F , et
p
de
polynôme
qrr ~~ ,
+
p est
o
o
racine d’un
E .
F
Q(n
L
peut prendre par exemple
on
F
tel que
=
de type
(L)
sur une
L
splitte
extension
et que le Frobenius de sa réduc-
rr .
ça, la démonstration du théorème1
et 3 entraînent évidemment que
démontré le théorème suivant, qui résout
un
rr
sera
est effectif.
problème
de
THÉORÈME
A
2.- Soit
extension finie de
lienne
en
variété abélienne
une
A
k ,
de
tel que
CM
type
de
0
caractéristique
quel corps
devient
k-simple définie
(L)
~(rr*)
ci
une
la réduction d’une variété abé-
isogène à
type
k . Sur
sur
peut prendre pour
on
;
et tel que
L C:
n’importe
L
L
splitte
°
On
applique les lemmes
pour établir
l’isogénie
§
Soit
qui
C
un
corps
(6)
qu’un
(L,~~
algébriquement
clos de
un
A
(L)
l’origine
LEMME 4.- Il existe
pour tout
a
t
et
défini
sur un
et si la
d’abord
un
tore
structure de
0 ,
k .
d’ordre
plongement
2
de
L
L -~ ~ . Soit
.
et soit t
un
sous-
de
de
L
complexe
12.4)
dans le cas où
donnée
C
est de
sur
type
l’espace
tA
caractère.
comme
6.2 et
Hom(L,C).
sous-anneau
(L,03A6)
schéma abélien de type
([10], §§
C-algèbre
U $p =
représentation
entiers d’un corps de nombres contenu dans
Ceci résulte de
de
du lemme 3.
l’automorphisme
p
caractéristique
,
schéma abélien
A à
N
tel que
s’il est de type
tangent à
utilise le théorème 1
on
extension de degré
conjugaison complexe
t
On dit
sur une
CM . Soit
corps de type
Hom(L,C)
ensemble de
voulue
puis
et
Multiplication complexe ; démonstration
induit par la
est
un
L
4.
2 et 3 ~ tt ~
C
par
défini
sur
l’anneau des
C .
et de
=
C ,
un
([9],
en
th.
7) :On
divisant
réseau contenu dans
construit
(avec
L . On
la
cons-
ta te que
tore
ce
porte
forme de Riemann
une
non-dégénérée,
algébrique.
donc est
,
Puis,
montre
on
trouver une telle variété abélienne définie
qu’on peut
corps de nombres.
Finalement,
on
dont la démonstration est basée
ment bonne réduction"
place
de
w
Hw ,
et les
on
$
pose
une
p,
à
l’anneau des
a
la
w
w
algébrique de 0 .
le
L
w
complété
Hom(L,C) ,
image dans
son
$ fi H . On
=
clôture
désigne par
on
A
un
entiers,
Pour toute
qu’on
de
note
L
en
w.
simplement
décomposition
Soit
p
Card(k o) ,
Il existe alors
benius
03C0A ~
(L,§)
schéma abélien de type
entiers d’une extension finie de Q .
=
"potentielle-
a
partitions
LEMME 5.- Soit
o
sur
pour
P
HomQ~p(L~,C)
et
soit
C
que
au-dessus de
L
On identifie
q
corps de nombres
sur un
partout, donc provient d’un schéma
Supposons désormais
"
(L)
Néron,
extension finie du corps de base.
après
par
Ogg-Néron-Shafaryevitch",
la théorie des modèles minimaux de
sur
abélienne de type
qu’une variété
voir
le "critère de
applique
sur un
et soit
A
-
la réduction de
élément
e
~
)(Ao) ,
03C0o
et
e
L
l’on
tel qçe
a
sur
l’anneau
le corps résiduel de
k
o
des
Q , soit
-
A
o
un
défini
1(fi )
modulo l’ idéal maximal de
e
& .
induise le Fro-
chaque place
pour
de
w
au-dessus de
L
Ce lemme n’est autre que la
Shimura-Taniyama, exprimée
de
une
"décomposition
sous
la forme
On
va
au §
donner
5 ci-dessous
une
en
qui
idéaux premiers du Frobenius"
nous
convient ici. On trouvera
89) ;
([9], § 7)
([2],
p.
autre
démonstration, utilisant
démonstration par voie globale dans
[~1].
p .
voir aussi
et
les groupes
p-divisibles.
Prouvons maintenant le lemme 3. Soient
satisfasse à
L
supposons que
l’hypothèse
trer
qu’on peut choisir l’ensemble t
pour
chaque place
la
v
Le fait que
(l)).
F
place de
D’autre part,
~
n
’
w
et de
(13)
03C0 3C0 3C1
=
n
’
on
E
a
U H
+
de telle
w
et
du lemme 3. Nous allons d’abord
mon-
p . Soient
w
une
telle
et
place,
montre que
est
n
un
w
entier pour chaque
w
(voir
0 ,
n
=
pw
w
permutation
3,
évidemment
d’ordre
façon
Card H .
w
Etant donnés des entiers
une
au §
comme
tire :
on
q
E
de telle sorte que l’on ait
au-dessus de
L
et
en-dessous. Posons :
.splitte
L
(12)
de
w
tt , q , F
n
2
satisfaisant
agissant
que l’on ait
sans
H
=
pw
aux
conditions
point fixe
(H ) w P ) ,
on
sur
(12)
et
(13) (où
la réunion
p
est
disjointe
voit facilement
qu’on peut
choisir des sous-ensembles
réunion $
satisfasse
=
(6). bn
conditions
aux
w
w
$ .)
A
individuellement,
pw
=
Pour
YI q
est un
no
réduction
=
(qui
par
d’après
de
Weil dans
telles que
w
choisissant les
en
construction ; donc,
place
qui
L
regarde les
le lemme
, pour toute
n , et tels que leur
=
(w, pw)
paires
(11)
on aura
existe
Wq0
qo-nombre
A
et les autres en
de $ ,
dans le lemme 5
comme
(14)
où
tel choix
un
Card($ )
tels que
03A6w ci H
est
4),
on
de
L
w
conjugué
pour
un
aura :
au-dessus de
au
p ,
Frobenius de la
A .
de
o
Si
degré
remplace l’anneau
on
N ,
terminée
remplace
on
du lemme 5 par une extension non ramifiée de
N
Donc la démonstration du lemme 3 sera
par
TT
no
.
avec :
LEMME 6.- Soient
q-nombre de Weil
un
n
(14). Alors,
n _no .
qui satisfassent à
l’on ait
Quitte à remplacer n
=
q ,
puissance
de
à savoir
q~ .
et
w(ïr )
donc
les autres places
implique
q -nombre
un
fi
il existe des entiers
Weil dans
N
et
finies,
n
Donc
o
est
pour toute
et
puissances,
place
sont des
no
places à l’infini,
p . En les
que
par des
tro
on
peut supposer que
L
au-dessus de
N
> 0
L
tels que
et
n
n
1
l’unité ; d’où
racine de
algébrique
termes de classes
du corps
de
premier
d’équivalence
de
"
en
ont la même valeur
chaque place de
une
absolue,
L ,
ce
qui
le lemme.
caractéristique
q-idéaux
p . En
unités, parce qu’ils divisent
est de valeur absolue
une
de
w
Remarque.- Vu le lemme 6, l’analogue du théorème 1, pour
clôture
de
.
201420142014201420142014
q
et
le corps de base
p ),
peut
de Weil " au lieu de
k
s’exprimer
q-nombres
(une
en
de
Weil ;
point de
ce
§
C
Soient
DÉFINITION.divisible
à
comme
et
[L*:p ]
P)(V*)
la
représentation
K . Soient
E
caractére
L*
L*
une
extension finie
désigne
que
con-
de QP
la caté-
.
sur
sur
est
un
groupe
p-
0’ , muni d’un plongement p-
sur
tel que,
de
extension finie
(L*,03A6*)
de type
défini
i.: L* ~ EndM(,
si
dans
désigne l’espace tangent
t*
déduite de
t* ~ K
à
i* a
q .
ont
été introduits par Lubin
est réduit à un seul
~~
une
03A6* ~ H* . Rappelons
p-divisible
de hauteur
l’origine,
, où
K
de QP ,
p-divisibles à isogénie près
Remarque.- Ces groupes
1
algébrique
l’anneau des entiers de
Un groupe
V*
linéaire
clôture
[2].
dans Honda
p-divisibles "à multiplication complexe".
HomQP (L*,C) ,
des groupes
gorie
V*
une
H* =
,
développé
5. Groupes
C , et
tenue dans
de Q ,
est
vue
élément ; voir
[3],
aussi
dans le
[4]
et
cas
(~~~,
de dimension
Ch. III, Appen-
dice).
Soit
V~
h*
Soit
un
=
groupe
hauteur
p-divisible de type
(V~.)
=
Card(H*)
et
n* =
sur (~ . Posons
dim(V*) = Card(§*).
l’application multiplicative qui attache à
deg :
chaque élément de
End~~V~.~
son
degré.
L*
est
donnée par
normée d’un élément
!~)
Supposons maintenant
Frobenius
(L~,,~,~~
Tt
et c
On montre facilement que la valeur absolue
=
que n o
soit
dans la réduction
un
élément de
V* 0
de
V*
L~
tel que
induise le
modulo l’idéal maximal de
0- .
Alors, si
Si
la valuation de
désigne
w
C’est la version "
THÉORÈME
5,
-~20142014~2014
p-divisible" de
3.-
L , ~ ,
Soient
A
et soient
(15)
vp
=
décomposition
de
V ,
L
déduit
on en
(10).
la formule
(10)
La formule
comme
l’a
comme on
en
A,
Vp
muni de l’action de
expliqué juste
dans le lemme 5. Soit
-
wjpp
au-dessus de
et les ~w
et 0-
~~~20142014~~~2014
p-divisible attaché à
la
L~ ,
ko
résulte,
tenu du
compte
lemme
d’éléments du corps résiduel
est le nombre
qo
Vp
-
=
avant le
V p(A)
le groupe
’
soit
et
Vw
déduite de la
dans
est de
L ,
type
décomposition
pour
(7).
chaque place
Alors
w
de
p .
Soit
la
décomposition
(1 5) .
à
Comme
1’origine
de
est
l’espace
P
complet pour
s’identifie à
gine s’identifie à
t
t
tangent à
la
V
P
p-ad i que , l’espace tangent à
topologie
(en effet,
le
la composante connexe de
à l’origine correspondant à
complété
à
V
P
de
A
le
l’origine).
long
on
en
A
de l’ori-
déduit que
la
de
partition des caractères irréductibles 03C6
sition
(16)
Remarque.- Avec
théorème,
ce
l’a
comme
§
remarqué
(à
l’aide du lemme 4, bien sur;
la
décompo-
montre facilement
(L~,~~~
de type
Serre dans
son cours
donné
(sur
une
base e-
non
de l’an dernier.
6. Compléments.
terminer, signalons
Pour
on
correspondant à
d’où le théorème.
p-divisible
l’existence d’un groupe
précisée),
(9),
est donnée par
L
deux travaux récents
sont étroitement liés au
qui
théorème 1.
1)
Dans la situation de la
isomorphisme prés
L’anneau
mais
par
on
anneaux
sur
non
si
q
b)
si
A
A
Ces
tous les ordres de
si
et
p
=
est
A’
est
questions
sur
un
k
qui
ordre de
E
sont
isogènes
n
E
=
F , qui
contient nA
est
p
ordinaires, même si
en
général,
~13~.
sont des
et
chacun des deux cas suivants :
n’est pas réel ;
égal à
E
A ?
à
quels
=
semblent très difficiles
ordinaire, c’est-à-dire, si le rang
tués par
peut-on classifier à
;
résultats intéressants dans la thèse de Waterhouse
d’endomorphismes dans
a)
A’
d’un tel
possibles ?
trouvera des
exemple,
du théorème 1
les variétés abéliennes
d’endomorphismes
sont les ordres
(ii)
partie
dim A .
(Ce
des
du groupe
points
résultat peut être faux pour les
A
est commutatif et stable par extension du corps de
base.)
2)
une
Soient
A
Z-base pour
et
B
deux variétés abéliennes
Homk(A,B)
(resp.
HDmx(B,A)).
sur
(resp. (03B2j))
k . Soit
Milne
a
démontré
[6]
que le groupe
Ext1(A,B)
cule par
de
une
fini,
est
belle
et que le
formule,
produit de
termes des
en
son
ordre
se
avec
polynômes caractéristiques
de
ttA
calet
t~ .
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