Fonctions automorphes: quelques majorations dans le

Séminaire Henri Cartan
J-P. S ERRE
Fonctions automorphes : quelques majorations dans
le cas où X/G est compact
Séminaire Henri Cartan, tome 6 (1953-1954), exp. no 2, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1953-1954__6__A2_0>
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1953-54
Séminaire E.N.S.,
FONCTIONS AUTOMORPHES: QUELQUES MAJORATIONS DANS
OÙ X/G
LE CAS
(Exposé
de J-P.
J -P. Serre
Serre,
Soit
le polydisque de C ~ défini parz.
30-11-53)
Préliminaires
§1.
(Schwarz)
LEMME 1.
V
(3t. soit
U
polydisque homothétique,
un
=
fonction
une
holomorphe
En
droite
une
holomorphe
principe
U, et
sur
du maximum
La démonstration
à
on
(Cousin)
U.
Dire que
D
est
ainsi que
f
est
ses
dé-
ci-dessus
en
on
est ramené
f(z) = zP.g(z), où g(z)
résulte
appliquant
en
g(z).
montre évidemment que le Lemme 1 est
précédente
U
U.
un polydisque de
f, méromorphe
fonction
une
Si
l.
l’origine
peut alors écrire
l’inégalité
Soient
Il existe alors
issue de
complexe
valable pour tout domaine cerclé
LEMME 2.
1’origine
~ ~ R_ ~
on a:
p~
d’une seule variable;
au cas
est
coupant par
x.
o
avec
qui s’annule à
U
sur
rivées partielles d* ordre
le
EST COMPACT
un
diviseur
sur
U
en et
un
diviseur
U, telle que
sur
signifie
d’un voisinage ouvert (non précisé) du compact
D
D
que
Or
U.
U
est
sur
(f).
D =
un
possède
diviseur
un
sys-
tème fondamental de voisinages isomorphes à des cubes (il suffit de le voir
pour une variable, auquel
cas
on
utilise la
suffit donc de démontrer le Lemme 2
un
cube
que
D
remplaçant
le
polydisque
U
Il
par
X.
Par
fonction
en
représentation conforme).
définition,
méromorphe;
soit,
tout revient à
sur
peut s’écrire localement
D
on
peut
chacun
donc
d’eux,
"regrouper"
ces
partager
X
en
le diviseur d’une
cubes,
vant :
2-1
ce
qui
se
comme
cubes
diviseur
assez
d’une
petits pour
fonc tion méromorphe~
fait
au
et
moyen du Lemme sui-
LEMME 3.
Soit
0 ~ z1
R, par
un cube de
X
diviseur
sur
I) =
Cn 1.
de
Soit
.
Y.
l
formée des points
et
Z
cube
un
du_ carré
( resp . y )
direct
produit
sur
tels que
zl
X, et soient
fl
R’
Rz1 l
sur
R,
la
Y
R’).
>
partie de
Soit
D
un
1
et
deux fonctions
f2
Y2x Z respectivement, telles que D =
Y~x z. Il existe alors une fonction
(f)
Y: 0 ~ Rz1
méromorphes
Z
Ylx
sur
méromorphe
f
et que
X
sur
D ==
telle que
X.
Démonstration du Lemme
est
méromorphe
La fonction
2:
Y2) x
W =
sur
C~l( f 2) = D - D =
et
simplement
eg,
ou
alors
y
=
g est
W est
g
x
Z.
~r
et
Y1 (resp. Y2~,
rencontre pas
Les fonctions
respectivement,
en
sur
me
sur
tire
X
1’on
et
a
en
posant
g~
sur
f =
sur
Y~x
cf.
sont
sur
Z
et
soit
ce
voisin de
segment pour
y -.
r
en
morceaux
rl (resp.
de telle sorte que
et
segment
deux
r2)
Posons :
d’après
Z
ce
Soit
W.
sur
de
dans
Y~x
et
Z
la formule de
qui permet de définir
Yix
(f) =
holomorphe
holomorphe à l’intérieur
Coupons
figure.
g,
W,
assez
holomorphes
g~-
-
(f) X
et
g~
Y2
peut écrire
on
contour entourant le
un
et
que
connexe,
f sur
Y~x
on a
Y~x
Cauchy.
une
sur
Z,
Z,
est
0, donc
holomorphe inversible, et, puisque
ne
Z
Ylx
sur
Z
On
fonction f
Y~x
bien
Z;
com-
(f) -
D
tout entier.
C.Q. F.D.
On trouvera des
Le théorème
§2.
Soit
et soit
exposé
G
nous
principal
une
un
groupe
ferons
un
l’espace
X/G
dire que
d’automorphismes
l’hypothèse
n,
Dans toute la suite de cet
X.
dans
qui rencontre toute classe
X
de
g.K
forment
K
un
mod G.
recouvrement de
X
G.)
X/G
quotient
est
de
complexe
suivante:
K
compact
parcourt
g
de dimension
analytique complexe
les translatés
(Autrement dit,
Si
variété
X
Il existe
lorsque
51 -52,
Exposé 20, §4.
et
Exposé 17,
du Lemme 2 dans le Séminaire
généralisations
compact,
du fait que la relation
est
comme
on
séparé,
cette
le voit immédiatement
d’équivalence définie
par
à
hypothèse équivant
G
en
tenant
est ouverte
compte
(cf.
BOURBAKI, Top. Gén., Chap I, 2ème éd., §10, Exer. 17).
est
K
Puisque
fini de cartes locales de la variété
un
nombre réel
1, et
de
de
le nombre des
m
précédemment;
U.,
intérieurs recouvrent
et
désignerons
nous
entendu, les notions de
U. Dl.;
M
est
translatés des
H
posé,
K, les
de
G
telle que
U.,
les
P.
recouvre
nombre fini de
K; si B
est
K;
nous
le centre
note-
commun
"polydisque homothétique,"
aux
cartes locales choi-
intrinsèque).
les intérieurs des
V. 1
Soit
recouvrent
M; il existe donc
une
Dans toute la suite de
M
Vi,
encore
par
de caractère
compact, et, puisque
nombre fini de
finie
n’ont pas
elles
un
nombre
polydisques homothétiques
"centre d’un polydisque," etc., sont relatives
sies
un
Ui (bien
et de
Vi
Il existe donc
voisin de 1, les
assez
sont tels que leurs
rons
X.
dont les intérieurs recouvrent
U. (compacts)
polydisques
réunion d’un
K est contenu dans la
compact,
les
P.,
À, m, H, seront fixés
une
M =
K,
partie
l’ex-
fois pour
toutes.
Soit maintenant
tel que
tions
g’D =
f.,
D
D
un
pour tout
méromorphes
sur
diviseur de
g
E
G.
X, invariant par
D’après
U., telles que
G, c’est-à-dire
le Lemme 2 il existe des foncD =
(f.)
sur
U..
Pour tout
couple d’indices
définie
fi(g.x)/fj(x) ,
ce
i, j, et tout
sur
k? .
qui signifie que
On
Ujn
est
kg .(x) =
1,J
g ~ H, considérons la fonction
holomorphe
a:
inversible.
Posons:
où
le
V. n
premier
sup
ne
que
sur
les
triplets
i, j, g
D) dépend
des
fi
choisis.
En
(f.)
U..
porte
H
E
tels que
g-1.Ui ~
b(fi;
Le nombre
conséquence,
nous
poserons:
systèmes
pour tous les
vectoriel
complexe
h(g.x) = h(x)
dimension
B
et
ne
sur
E
g
L(D),
dépendent
G
on
+
h
B)n,
X
X, telles que
sur
et que (h) > a l’inégalité:
que de
n
D.
=
désigne la
Si
dim X,
G, mais pas de
et
L(D) l’espace
X, et soit
D.
précise, on peut prendre:
De fa on
Démonstration.
Choisissons des fonctions
évidemment
Il suffit
=
méromorphes
des fonctions
de
D
diviseur invariant de
.~(D) A(log.b(D)
où A
de démontrer
f.
telles que
l’inégalité (I)
avec
I)
b(f.~
=
(f.)
D)
sur
a la
U_.
place
b (I)) .
h
Soit
a:
phe
un
pour tout
complexe
(I)
de
D
Soit
THEOREME l.
tels que
f.
=
sur
(h)
U..
L(D).
~
+
(f~)
Sur chaque
=
(li)
+
I)
~ o~
on
ce
peut écrire
h
qui signifie que
=
h./f.~
h.
et
l’on
est. holomor-
Posons alors:
Nous allons maintenant démontrer que
où
p
est
un
entier, entraîne
L’inégalité (I)
m. (p
l’inégalité
l’inégalité:
suivante:
résultera immédiatement de
+
avec
p =
ce
qui est bien équivalent à
(I),
B
indiquées
là, puisqu’on
D) /( -log ~.)
]
+
aura
1, d’ ou
a
fortiori:
Il
on
Je dis
tions
a,
qu’il
existe alors
aux
une
points
soit pas identiquement nulle.
on
L(D)
E
la valeur
obtient ainsi
une
en un
L(D)
En
Lemme l,
sur
obtient:
on
x
E
En
Si
(II)
est
aux
Pi
L(D)
centres des
telle que les fonc-
polydisques
et
V.
p, et telle que
U.,
h
ne
d’une des dérivées partielles de
sur
L(D).
l(D),
Le nombre de
il existe
un
ces
hl,
formes
élément
o
formes linéaires sont nulles.
ces
fonctions
h. l
associées à cette fonction
le
h
~- & .
s.
M, il existe
E
effet, si l’on fait correspondre à
m.( p+n-l )
D’autre part, soit
Puisque
P.,
h
partielles d’ordre
point
lequel toutes
appliquant
fonction
forme linéaire
linéaires étant égal à
dans
et
fortiori,
a
ainsi que toutes leurs dérivées
h
(II) entraîne (III).
reste donc à montrer que
soient nulles
h.
A
dans le théorème 1.
nous
vérifiée,
les valeurs des constantes
avec
.
i
indice, et
un
g
E
H
et
y
E
x
V. J
E
Ui
avec
1
tels que
g, y =
x.
D’où :
=
S~.
d’où,
comparant
en
galité
D),
1
achevée, compte
est donc
§3.
Application
Nous
LEMME 4.
aux
s
et
visiblement
équivalente à (III) ;
tenu de
fonctions
fi
des fonctions
f2
l’on
de suite que
méromorphes
des fonctions
données
Etant
(n
il existe
dim
X),
Toute fonction
non
-A
somme
pour
un
On
telles que
U.
sur
analogues pour
13? = (fi)
a
l’iné-
sur
D =
(f:)
les fonctions
D2;
fi =
U. , et l’on vérifie tout
l
hi
sont
d
entier
diviseur
un
i
n;
automorphes
fonctions
jouissant
h
positif
un
dont le
o
automorphes.
des
propriété
une
degré
en
h.,
Nous
G,
h
X
sur
suivante:
relation
X, invariant par
de
tel diviseur
pôles
h ~...~ h
de la
vérifie
X
sur
hl,..., hn) -
des diviseurs des
puisque les
n
automorphe
P(h,
triviale
Soit A
fiant :
X.
de
a:
THEOREME 2.
la
démonstration
résulte immédiatement de là.
Le lemme 4
>
la
automorphes.
sont alors telles que
(hl)
o l’iné-
sh
été dit plus haut.
a
deux diviseurs invariants
Dl et D2
soient
U.;
miale
compte de
b(Dl+ D2) 2
Soient
=
qui
ce
tenant
en
besoin du Lemme suivant:
aurons
Soient
galité:
sur
avec
polyno-
est
d.
et tel que
existe; il suffit de prendre
diviseurs qui sont invariants
prendrons
pour
d
un
entier véri-
h
Soit maintenant
où
est
N
diviseur > -
(d.D
quantité qui
est
D’après
(d+l)
COROLLAIRE 1.
morphes
Le
degré
Si le
effet, soient
rationnelles à
E
E
ment
E =
est
h0
E
degré
F
de
degré
au
qui démontrera le Corollaire.
F(h,
ho)/F;
E
F(h’) = F(h,
est de
ho);:;
degré
1
Théorème
algébriques,
F(ho),
F(ho).
i.e.
de
d’où
égal
à
n,
E
si le
est
E
est
corps de fractions
un
soit
h
E
un
élé-
Je dis que
do.
Or, soit
h’
F(h,
d; choisissons
E,
considérons
et
l’élément primitif (appli-
est
il existe
do,
il
h’ ~ E tel
s’ensuit
ho) = F(h’) = F(h~),
ce
que
qui
C.Q.F.D.
degré
permet pas d’affirmer
que
est
°
Par contre,
2 ne
plus
soit maximum,
degré
le
X.
algébriquement indépendants
caractéristique nulle),
comme
de
qui est
le théorème de
sur
bien que h E
1.
F
d’après
est de
n
Le Théorème 2 montre que tout élément
et de
sur
des fonctions auto-
E
E
E
ce
Remarques.
le
F,
sur
Les
variables.
n
dont le
cable parce que
signifie
sous-corps
on a:
2.
E
l’extension
F(h’)
un
a un
sont donc pas linéairement in-
des éléments
indéterminées.
n
ne
4,
l’inégalité (V).
vu
de transcendance de
hl,..., hn
algébrique
F(ho),
que
grand,
la dimension
algébriques à
E; ils engendrent
de
N
d’eux
et chacun
le Théorème 1 et le Lemme
03B1i ~ N,
plus égal à
au
corps de fonctions
En
d,
a
(d+l)(N+l)n,
de transcendance du corps
degré
est
X
sur
pour
à
qui démontre le Théorème
COROLLAIRE 2.
un
(N+l)n
h n,
ce
égal
nombre
en
+
monômes
dépendants,
Considérons les monômes:
D ~ o.
D,
entier > o.
un
Ces monômes sont
h
~h) > -
diviseur invariant tel que
un
D
fonction automorphe arbitraire, et soit
une
engendré
de transcendance de
que
par
E
est
n,
corps de fonctions
E
est
un
nombre fini de fonctions.
un
cas
où
Théorème
Le
2.
X
est
l’identité.
tions
phie,
variété
une
Dans
ce
méromorphes
et
2
ses
corollaires
analytique
compacte
où
et
particulier
en
G
au
réduit à
est
n’est autre que le corps des fonc-
E
le corps
cas
s’appliquent
X.
sur
3.
Le Théorème 2 était
cf.
[2] et [4].
lorsque
X
général,
il
connu
Dans le
cas
est
domaine d’holomor-
un
été annoncé
a
sans
démon-
stration par Chow.
§4.
Application
formes
aux
Soit maintenant
J g (x)
Dm l’espace
Soit
tivement à
{J ),
THEOREME 3 .
d
automorphes.
un
d’automorphie
facteur
vectoriel des formes
et soit
dm
+
ce
bien il existe
une
le diviseur de
~;
un
forme
B)n.
à montrer
que
b(D)
tout
on a
bien
U.1 ;
automorphe 03C8
D1
sur
L{D),
c(J), à
non
m
=
l,
car
l’application
.~{D).
(f 1. ) - D, et,
Théorème
du
démontré,
identiquement nulle.
donc que
cause
h -~
Or, soit
1.
ou
Soit
h%~
D
est
Tout revient donc
~’i
l’ on calcule les fonctions
si
rela-
m
alors:
a
o, et le Théorème 3 est
d -
poids
,
voit immédiatement que
on
de
isomorphisme
bien
ou
cas,
On
Dm.
Il suffit de faire la démonstration lorsque
Dans
de
automorphes
la dimension de
X, et posons:
sur
= ~
sur
k
l,~
trouve:
correspondantes,
on
d’où évidemment
b { fl; D)
c (J) ,
et
a
f ortiori
b (D) c ( J) .
C . Q.F.D.
COROLLAIRE.
(Ce
un
dm = o(mn)
lorsque
m ~ + ~
Corollaire est dû à Hervé
domaine borné et où
Jg(x)
est le
[3 ]
dans le
jacobien
de
cas
particulier où
x -g.x).
X est
2-9
Complément
§5.
s’applique à
La démonstration du th. 1
(cf . ~ 1 j ) .
raux
En voici
G
Supposons
des
cas
un:
réduit à
l’identité,
X
donc
l’espace
vectoriel des sections
sion de
L(Y).
un
holomorphes
théorème de H. Cartan
est trivial au-dessus de chaque
Y
matrices
M..,
supérieure
un
b(M..;
lJ
Nous
nous
Y)
et
Ui
pour tous les
M
est
produit
par
r
de la borne
coefficients.
On
le
de
"trop grand,"
pas la démonstration de
nulle
en
élevé";
les
il existerait
chaque point
P1
une
ainsi que
de cartes
On
théorème:
holomorphe
non
inférieure
a
alors :
elle est
si
£(Y)
nulle de
Y,
dérivées partielles d’ordre "très
le lemme de Schwarz donne alors
changements
ce
Y.
On remarque que,
section
ses
la borne
définissant
M..
lJ
ma-
une
peut donc définir
b(Y)
Soit
tout à fait semblable à celle du théorème l.
était
fibré
le
Si
.
systèmes
L(Y)
peut donc être défini par des
|Mij(x)|
sup
sup
n’expliciterons
ses
un
la dimen-
et soit
Y,
sur
M
noterons
des valeurs absolues de
b(M..; Y) =
nombre
des
r,
Soit
r.
(cf. Sém. 51-52, Exp. 17 )
holomorphes inversibles,
carrée d’ordre
trice
de
Y
et soit
compacte,
espace fibré analytique, à fibres vectorielles de dimension
D’après
plus géné-
sensiblement
une
contradiction si
l’on
a
majoré
M...
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BOCHNER, Algebraic and linear dependence of automorphic functions
in several variables, J. Ind. Math. Soc., 16, 1952, p. 1-6.
[2]
A.
[3]
M. HERVE.
S.
BOREL, Les fonctions automorphes de plusieurs variables complexes,
Bull. Soc. Math. Fr., 80, 1952, p. 167-182.
Sur les fonctions
automorphes
de
n
variables
complexes,
C-R, 226, 1948, p. 462-464.
[4]
C-L. SIEGEL.
Analytic
ton, 1948-1949.
Notes
Functions of Several
polycopiées.
Complex Variables, Prince-