Cours de mathématiques, Damien Dobler

Porrentruy
Cours de math´ematiques
y
y=f(x)
y=g(x)
x0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10
x∗
1x∗ 2x∗ 3x∗ 4x∗ 5x∗ 6x∗ 7x∗ 8x∗ 9x∗ 10
x=ax=b
x
b
Z
a
f(x)dx = lim
n→+∞ n
X
i=1
f(x∗
i)·∆x!
Discipline fondamentale
3`eme ann´ee
Cours MAP
Damien Dobler
Juillet 2014

Table des mati`eres
I Analyse 1
1 Primitives et int´egrales 3
1.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Primitives de fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Int´egrales d´efinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Introduction.............................. 6
1.2.2 Int´egrale d´efinie d’une fonction en escalier sur I= [a;b]...... 7
1.2.3 Int´egrale d´efinie d’une fonction continue sur I= [a;b]....... 8
1.2.4 Quelques propri´et´es de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Th´eor`eme de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Th´eor`eme fondamental du calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 M´ethodes d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Int´egration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Int´egration par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Int´egration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Int´egrales g´en´eralis´ees ou impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Int´egrales avec bornes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Int´egrale d’une fonction discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Exercices.................................... 31
1.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Applications des int´egrales d´efinies 33
2.1 Calcul de l’aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Aire sous la courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Calcul du volume d’un solide de r´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Autour du premier axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Autour du deuxi`eme axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Calcul de la longueur d’une courbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Calcul de l’aire d’une surface de r´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Exercices.................................... 42
2.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Equations diff´erentielles 44
3.1 Introduction.................................. 44
3.1.1 Croissance d’une population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Mouvement d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i

Math´ematiques, MAP 3`eme ann´ee TABLE DES MATI` ERES
3.1.3 D´esint´egration radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 D´efinitions................................... 46
3.3 Diff´erentielle.................................. 47
3.3.1 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Equations diff´erentielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1 Equations diff´erentielles ”´el´ementaires” . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.2 Equations diff´erentielles `a variables s´eparables . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Equations diff´erentielles homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.4 Equations diff´erentielles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Equations diff´erentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Equations diff´erentielles ”´el´ementaires” . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 Equations diff´erentielles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Exercices.................................... 65
3.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II Probabilit´es 73
4 D´enombrement 75
4.1 ´ El´ements fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Fonction factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Principe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Arbre ................................. 77
4.2 Arrangements................................. 77
4.2.1 Arrangement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Arrangement avec r´ep´etitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Permutations ................................. 80
4.3.1 Permutation simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.2 Permutation avec r´ep´etitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Combinaisons ................................. 82
4.4.1 Combinaison simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Combinaison avec r´ep´etitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Triangle de Pascal et binˆome de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.1 Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.2 Binˆome de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Exercices.................................... 87
4.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III Alg`ebre lin´eaire 95
5 Alg`ebre lin´eaire - compl´ements 97
5.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 Image et noyau d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Endomorphisme................................ 99
5.2.1 Catalogue de quelques endomorphismes importants . . . . . . . . 99
5.3 Exercices.................................... 101
5.4 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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Math´ematiques, MAP 3`eme ann´ee TABLE DES MATI` ERES
Index 103
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