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Corrigé TD : principes et lois fondamentales 7. Observation de la quille d’un bateau La figure est la suivante : Si un rayon issu du point le plus bas (point P) de la quille est en réflexion totale alors tous les rayons issus des autres points le sont aussi, l’angle d’incidence étant plus grand pour des points de la quille proches de la surface. La position de l’œil est importante, lorsque l’œil est le plus proche du bateau il intercepte les rayons qui atteignent la surface sous l’incidence la plus faible, c’est la position extrême qu’il faut envisager. Dans ce cas, si un rayon issu du point P est en réflexion totale, ils le sont tous (quelle que soit la position de l’œil), c’est le cas qu’il faut envisager. Le rayon qui est tangent à la surface de la quille atteint la surface sous l’incidence i . L’angle i est tel 1 d que tan i = . Il y a réflexion totale si n sin i = 1, soit encore si sin i = . Le sinus peut encore n 2h −1/ 2 2 d d 2 s’écrire sous la forme = sin i + h , la condition attendue se traduit finalement par 2 2 h = d h n2 − 1 . L’application numérique conduit à = 0, 44 . d 2 8. Lame à faces parallèles La représentation graphique de la marche d’un rayon est la suivante : Les lois de Descartes de la réfraction en I et en K se traduisent par sin i = n sin r et n sin r = sin i ′ . Les angles i et i ′ sont égaux. Dans le triangle rectangle IJK, le sinus de l’angle i − r en K est donné par la IJ ∆ relation sin ( i − r ) = . = IK δ δ représente la longueur de l’hypoténuse IK de ce triangle. D’autre part, dans le triangle ILK, le d cosinus de l’angle r en I est donné par cos r = . De ces deux relations nous déduisons δ ∆ sin( i − r ) sin r cos i sin i cos i sin ( i − r ) =cos r , ce qui s’écrit encore= ∆ d = d (sin i − = ) d (sin i − ), d cos r cos r n cos r 1 − sin2 i soit = ∆ d sin i 1 − 2 . Il encore possible de calculer la distance ∆′ qui se déduit de la n − sin2 i 1 − sin2 i distance ∆ par ∆ = ∆′ sin i , d’où ∆=′ d 1 − 2 . Sous incidence normale, ∆ =0 le rayon n − sin2 i émergent n’est pas décalé mais un point source situé très loin apparaît plus proche d’une distance n −1 . L’application numérique conduit à ∆′ =1,3 mm pour une lame de 4 mm d’épaisseur (ce n qui correspond à une vitre ordinaire). ∆′ =d 9. Réflexion totale Il faut éclairer le prisme par l’une de ses faces « droites ». L’incidence étant normale, il n’y a aucune déviation lorsque les rayons pénètrent à l’intérieur du prisme. Il s’agit d’exploiter le phénomène de réflexion totale sur l’hypoténuse du prisme. Dans ce cas, celle-ci se comporte comme un miroir, l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence. Le faisceau tombe sur cette face avec une incidence de 45°, la déviation du faisceau est alors de 2 × 45° soit 90°. Il faut vérifier numériquement la validité de la réflexion totale, l’angle d’incidence limite correspondant à une réflexion totale est 1 imax = arcsin = 41,8° < 45° . Il y a réflexion 1,5 totale. Un miroir demande à être régulièrement métallisé ce qui n’est pas le cas pour un prisme de verre. 10. Prisme à réflexion totale Comme l’analyse le suggère, il faut dessiner la marche d’un rayon lumineux et dégager les propriétés de symétrie du système. Le plan bissecteur du prisme ( A / 2 ), est le plan de symétrie. Le rayon incident vertical et le rayon émergent horizontal se croisent en un point de cet axe. La symétrie du système impose r = r ′ . La somme des angles dans le triangle OJK vaut π , l’angle en O vaut π − A , la relation suivante s’en déduit A = 2r . Dans le triangle O′JK , la somme des angles conduit à 2r + 2r + π π . = π , soit 2r= A= 2 4 11. Principe d’un réfractomètre Le faisceau de lumière parallèle qui tombe sur la face d’entrée du cube sous l’incidence i est réfracté à l’intérieur de celui-ci sous l’angle r , avec sin i = N sin r . Certains rayons de ce faisceau atteignent la base de la goutte, leur incidence est notée β . Pour des valeurs de cet angle supérieures à la valeur de l’angle correspondant à la réflexion totale, β > β , toute la lumière est réfléchie et la goutte apparaît particulièrement lumineuse. Lorsque l’incidence diminue, l’angle β augmente, donc la goutte apparaît bien lumineuse en dessous d’un angle i correspondant à la valeur limite β = β , les rayons n’étant alors plus réfractés à travers la goutte. L’angle limite β se déduit de la n loi de la réfraction par sin β = . N π Cet angle est relié à l’angle de réfraction par β + r = . Finalement l’angle limite lu permet de 2 trouver n grâce à la relation= sin i N= sin r N cos arcsin ( n N ) . 12. Dièdre réfléchissant 1. L’image du point source A est notée A1 , celle-ci est le symétrique de A par rapport au plan du miroir = θ vaut α + α = α = π . Le point M. L’angle AOA 1 1 2 2 6 A1 est l’objet pour le miroir M′ , son image est le point A 2 , symétrique du point A1 par rapport au point au plan du miroir M′ . L’angle A OA vaut 1 2 α = θ s’en déduit 2 −α − = −3α , l’angle AOA 2 2 2 = θ = −3α + α = −2α . AOA 2 2 = θ s’en 2. L’analyse faite dans la question précédente se généralise aux autres images, l’angle AOA n n n + 1 déduit, AOA n = ( −1) nα . Pour qu’un point Ai soit réfléchi par un miroir il faut qu’il soit situé « devant » celui-ci. Cela signifie que les points d’indice impair doivent être situés au-dessus du plan M′M′ , et les points d’indice pair doivent être situés en dessous du plan MM . Pour l’exercice considéré, le point A6 ne peut plus avoir d’image par le miroir M car il est situé au dessus du plan MM, donc derrière ce miroir. Cette analyse graphique se traduit par la condition θn ≤ π . Dans le cas de l’exercice le point A présente six images par le miroir M. Il faut suivre la même démarche pour établir le nombre d’images du point A par le miroir M′ . Celles-ci sont symétriques des précédentes par le plan AA 6 . Six images sont alors visibles. Le nombre total d’images visibles est de douze, nombre que l’on peut ramener à onze en considérant que les points A ′6 et A 6 sont confondus. Le faisceau de lumière réfléchie par un miroir provenant d’un point Ai s’obtient à partir de la source virtuelle correspondante. Les faisceaux produits par les sources A1′ et A ′6 sont représentées sur les figures suivantes : Le faisceau le plus étroit est celui produit par la source A 6 ou A ′6 , il faut placer l’œil entre le point A et le bord du miroir M, dans la zone commune aux deux faisceaux. Les photos suivantes représentent la situation pour un angle de 90° (photo de gauche) et pour un angle de 60° (photo de droite).
