Profil de vitesse d`une couche limite laminaire

Turbulence - 3A ` A rendre pour le 8 novembre 2015
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Exerciceno3
Profil de vitesse d’une couche limite laminaire
On se propose de d´eterminer le profil de vitesse d’une couche limite laminaire bidimensionnelle se d´eveloppant
sur une plaque plane plac´ee dans un ´ecoulement ext´erieur `a la vitesse Ue1. On se place dans le cas d’un
´ecoulement de couche limite stationnaire, incompressible et sans gradient de pression longitudinal.
✻
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✻
✛ ✲
laminaire ✛ ✲ transition ✛turbulent
x1
x2
O
Ue1
δU1(x2)
D´eveloppement d’une couche limite sur une plaque plane sans gradient ext´erieur de pression. La transition
se produit pour Rex1=x1Ue1/ν ≃ 3.2×105, soit encore pour Reδ=δUe1/ν ≃ 2800.
1. Rappeler les ´equations de la couche limite laminaire, et les hypoth`eses associ´ees.
2. En introduisant la fonction de courant ψd´efinie par U1=∂ψ/∂x2et U2=−∂ψ/∂x1, montrer que le
probl`eme se r´eduit `a r´esoudre l’´equation :
∂ψ
∂x2
∂2ψ
∂x1∂x2−∂ψ ∂x1
∂2ψ
∂x2
2
=ν∂3ψ
∂x3
2
associ´ee aux conditions aux limites suivantes :
∂ψ
∂x2x2=0
= 0 ∂ψ
∂x1x2=0
= 0 et ∂ψ
∂x2x2→∞
=Ue1
1

3. Rappeler bri`evement le raisonnement permettant d’aboutir `a δ ∼ √νx1/Ue1. On pose alors comme va-
riables de similitude :
η=x2sUe1
νx1
et ψ(x1,x2)=pUe1νx1f(η)
Montrer que l’´equation v´erifi´ee par f, appel´ee ´equation de Blasius (1908), s’´ecrit :
2f′′′ +ff′′ = 0
et pr´eciser les conditions aux limites.
4. R´esoudre num´eriquement cette ´equation. On pourra pour cela prendre comme intervalle de r´esolution
0≤ η ≤ 10 et int´egrer le syst`eme du premier ordre (sous Matlab avec ode45.m par exemple) :
f′=g
g′=h
h′=−1
2fh
(1)
avec comme conditions initiales en η= 0 : f(0)= 0,g(0)= 0 et h(0)=α. On cherche alors `a d´eterminer
la valeur de αpour satisfaire la condition aux limites en η= 10, `a savoir N(α)≡g−1 = 0. Une des
m´ethodes les plus simples consiste pour cela `a utiliser un algorithme de Newton :
αn+1 =αn−N(αn)/∂N
∂α αn
Un moyen astucieux pour ´evaluer la d´eriv´ee ∂N/∂α est de r´esoudre en parall`ele du syst`eme (1), le
syst`eme variationnel suivant :
F′=G
G′=H
H′=−1
2(Fh +fH)
avec 
F=∂f/∂α
G=∂g/∂α
H=∂h/∂α
auquel on associe les conditions aux limites : F(0) = 0,G(0) = 0 et H(0) = 1.
5. A partir du calcul de la fonction f, en d´eduire alors que pour une couche laminaire se d´eveloppant sur
une plaque plane sans gradient de pression, on a :
δ≃4.92 rνx1
Ue1δ⋆≃1.72 rνx1 Ue1δθ≃0.664 rνx1 Ue1cf=τw
1
2ρU2
e1
=0.664
Re1/2
x1
On rappelle la d´efinition de l’´epaisseur de d´eplacement δ⋆et de l’´epaisseur de quantit´e de mouvement
δθde la couche limite :
δ⋆=Z∞
01−U1
Ue1dx2δθ=Z∞
0
U1
Ue11−U1 Ue1dx2
6. Reconstruire l’expression de la composante transversale U2de la vitesse. Que dire de sa limite lorsque
η→ ∞ ?
7. Tracer les deux profils suivants permettent d’approcher la solution de Blasius, et commenter.
U
Ue1
(˜
η)= 2˜ η−˜ η2et U
Ue1
(˜
η)= 2˜ η−2˜ η3+˜ η4avec 0 ≤˜ η=x2
δ≤1
2

8. On s’int´eresse `a l’´ecoulement se d´eveloppant par exemple sur une plaque plane embarqu´ee par un TGV,
et plus particuli`erement `a l’´etat de la couche limite `a une distance de 1 m`etre `a partir du point d’arrˆet.
Estimer la vitesse maximale `a partir de laquelle la couche limite devient turbulente et son ´epaisseur ?
Estimer ensuite le point de transition lorsque le TGV atteint sa vitesse de croisi`ere et estimer de nouveau
l’´epaisseur de la couche limite en ce point.
9. Reprendre l’application avec un avion de transport, par exemple un moyen courrier de type Airbus A320,
dont les caract´eristiques du vol de croisi`ere ´economique sont :
M = 0.76 altitude de 10000 m T=−50oCP= 26500 Pa
L’´evolution de la viscosit´e dynamique µest uniquement une fonction de la temp´erature :
µ(T)
µ(T0)=T T03/2T0+S T+Sloi de Sutherland
avec µ(T0) = 1.716 kg.m−1s−1,T0= 273.15 K et S= 111 K.
10. On a utilis´e l’approximation suivante dans l’´etude de la couche limite turbulente :
Zx2
0U1∂U1
∂x1
+U2∂U1
∂x2dx2≃ − x2 δu2
τ
V´erifier cette estimation avec la solution laminaire de Blasius.
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