corrigé devoir surveillé n° 4 seconde 7

CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 4 SECONDE 7
EXERCICE 1 : On considère le triangle ABC et les hauteurs (AA'), (BB') et (CC'), où les points A', B' et C' sont
respectivement sur les côtés [BC], [AC] et [AB].
1. Les droites (BB') et (AC) sont perpendiculaires, donc le triangle BB'C est rectangle en B', donc le cercle
circonscrit à BB'C est le cercle de diamètre [BC]. De même, les droites (CC') et (AB) sont perpendiculaires, donc
le triangle CC'B est rectangle en C', donc le cercle circonscrit à CC'B est le cercle de diamètre [BC]. Donc les
points B, C, B' et C' sont sur le cercle de diamètre [BC].
2. Les angles
B 'CC'
et
B 'BC'
sont de même mesure car ils interceptent le même arc de cercle
B 'C'
.
3. Les triangles ACC' et ABB' sont rectangles respectivement en C' et B'; de plus
ACC '
=
B 'CC'
=
B ' BC'
=
B 'BA
; donc les triangles ACC' et ABB' ont deux angles de même mesure, ils sont semblables.
4. On utilise la propriété : si deux triangles sont semblables, les longueurs des côtés sont proportionnelles. Ainsi,
les longueurs des côtés de ACC' et ABB' vérifient
AC'
AB'
=
CC '
BB'
=
AC
AB
. En faisant le produit en croix sur les
premiers et troisième rapport, on trouve AB' × AC = AC' × AB.
5. D'après la question précédente,
AB
AB'
=
AC
AC'
; donc dans les triangles ABC et AB'C', deux côtés ont des
longueurs proportionnelles; de plus ces triangles ont un angle en commun :
BAC
=
B ' AC '
. Donc les triangles
ABC et AB'C' sont semblables.
6. Deux autres triangles semblables : ABC et BA'C', il y a aussi ABC et CA'B'.
EXERCICE 2 : Le triangle ABC est rectangle en A et AB = 6, AC = 4. Le point E est sur [AC] tel que AE = 3 et
le point D est sur [AB] tel que AD = 2.
1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 36 + 16 = 52, donc
BC =
52
= 2
13
. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ADE rectangle en A : DE² = AD² + AE² =
4 + 9 = 13, donc DE =
13
. Ainsi
AB
AE
=
AC
AD
=
BC
DE
= 2. Donc les triangles ADE et ABC ont des côtés de
longueurs proportionnelles, donc ils sont semblables.
2. Le rapport de similitude est égal à 2.
3. Le rapport de leurs aires est 2² = 4.
EXERCICE 3 : On considère la fonction f définie sur l'intervalle
[– 4; 5] et sa représentation graphique donnée ci-contre.
1. L' image par f de – 4 est 3; l'image par f de – 1 est 0;
l'image par f de 3 est 2.
2.L'antécédent de – 1 par f est – 2 .
3. Les antécédents de 3 par f sont – 4, 0, 2 et 5.
4. Le tableau de variations de f sur l'intervalle [– 4; 5] :
5. Graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = 0
sont : – 3, – 1.
6. Graphiquement, la solution de l'inéquation f(x)  0
est l'intervalle [– 3; – 1].
7. Les extremums de f sur [– 4; 5] : La fonction f admet 5
comme maximum atteint en x = 1. La fonction f admet – 1 comme minimum atteint en x = – 2.
EXERCICE 4 : a) L'ensemble de définition de la fonction carrée est .
b) L'ensemble de définition de la fonction inverse est  \{0} = *.
c) Si une fonction f est croissante sur un intervalle I, alors pour tous réels a et b de I tels que a < b , f(a)  f(b).
Bonus : Le minimum de la fonction f définie sur ]0; + [ par f(x) = x +
1
x
est 2.
En effet, x +
1
x
– 2 =
x212x
x
=
x12
x
 0 sur ]0; + [ ; donc pour tout réel x de ]0; + [ , x +
1
x
 2.
Ce minimum est atteint en x = 1.
x– 4 – 2 1 3 5
f(x)
3
– 1
5 3
2