CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 4 SECONDE 7 EXERCICE 1 : On considère le triangle ABC et les hauteurs (AA'), (BB') et (CC'), où les points A', B' et C' sont respectivement sur les côtés [BC], [AC] et [AB]. 1. Les droites (BB') et (AC) sont perpendiculaires, donc le triangle BB'C est rectangle en B', donc le cercle circonscrit à BB'C est le cercle de diamètre [BC]. De même, les droites (CC') et (AB) sont perpendiculaires, donc le triangle CC'B est rectangle en C', donc le cercle circonscrit à CC'B est le cercle de diamètre [BC]. Donc les points B, C, B' et C' sont sur le cercle de diamètre [BC]. 2. Les angles B ' CC ' et B ' BC ' sont de même mesure car ils interceptent le même arc de cercle B ' C' . 3. Les triangles ACC' et ABB' sont rectangles respectivement en C' et B'; de plus ACC ' = B ' CC ' = B ' BC ' = B ' BA ; donc les triangles ACC' et ABB' ont deux angles de même mesure, ils sont semblables. 4. On utilise la propriété : si deux triangles sont semblables, les longueurs des côtés sont proportionnelles. Ainsi, AC ' CC ' AC les longueurs des côtés de ACC' et ABB' vérifient = = . En faisant le produit en croix sur les AB ' BB' AB premiers et troisième rapport, on trouve AB' × AC = AC' × AB. AB AC = ; donc dans les triangles ABC et AB'C', deux côtés ont des 5. D'après la question précédente, AB ' AC ' longueurs proportionnelles; de plus ces triangles ont un angle en commun : BAC = B ' AC ' . Donc les triangles ABC et AB'C' sont semblables. 6. Deux autres triangles semblables : ABC et BA'C', il y a aussi ABC et CA'B'. EXERCICE 2 : Le triangle ABC est rectangle en A et AB = 6, AC = 4. Le point E est sur [AC] tel que AE = 3 et le point D est sur [AB] tel que AD = 2. 1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 36 + 16 = 52, donc BC = 52 = 2 13 . D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ADE rectangle en A : DE² = AD² + AE² = AB AC BC 4 + 9 = 13, donc DE = 13 . Ainsi = = = 2. Donc les triangles ADE et ABC ont des côtés de AE AD DE longueurs proportionnelles, donc ils sont semblables. 2. Le rapport de similitude est égal à 2. 3. Le rapport de leurs aires est 2² = 4. EXERCICE 3 : On considère la fonction f définie sur l'intervalle [– 4; 5] et sa représentation graphique donnée ci-contre. 1. L' image par f de – 4 est 3; l'image par f de – 1 est 0; l'image par f de 3 est 2. 2.L'antécédent de – 1 par f est – 2 . 3. Les antécédents de 3 par f sont – 4, 0, 2 et 5. 4. Le tableau de variations de f sur l'intervalle [– 4; 5] : x –4 –2 3 1 3 5 2 3 5. Graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = 0 sont : – 3, – 1. 6. Graphiquement, la solution de l'inéquation f(x) 0 est l'intervalle [– 3; – 1]. 5 f(x) –1 7. Les extremums de f sur [– 4; 5] : La fonction f admet 5 comme maximum atteint en x = 1. La fonction f admet – 1 comme minimum atteint en x = – 2. EXERCICE 4 : a) L'ensemble de définition de la fonction carrée est . b) L'ensemble de définition de la fonction inverse est \{0} = *. c) Si une fonction f est croissante sur un intervalle I, alors pour tous réels a et b de I tels que a < b , f(a) f(b). 1 est 2. Bonus : Le minimum de la fonction f définie sur ]0; + [ par f(x) = x + x 2 2 1 1 x 1 2 x x1 En effet, x + –2= = 0 sur ]0; + [ ; donc pour tout réel x de ]0; + [ , x + 2. x x x x Ce minimum est atteint en x = 1.