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M2 Dynamique
Exercices
Exercice A Différentes forces de frottementExercice A Schématiser la situation
Appliquer le principe fondamental de la dynamique
Trouver les équations du mouvement
Utiliser les lois de Coulomb
On considère un petit solide de masse m=2,0kg assimilable à un point matériel qui se déplace selon l’axe O,−→ exà la vitesse
constante V0=0,50m ·s−1sans frottement tant que x<0.
À l’instant t=0, la solide arrive au point O. On étudie son mouvement à partir de cet instant.
On rappelle les lois de COULOMB pour les frottements solides. Le support exerce sur le solide une force −→ Rdont la composante
tangentielle −→ Tet reliée à la composante normale −→ Npar
−→
T≤µ
−→
Nsi le solide est fixe par rapport au support,
−→
T=µ
−→
Nsi le solide glisse sur le support.
(1) On suppose qu’à partir du point O, le solide subit une force de frottement solide de coefficient de frottement µ=
2,0 ·10−3.
(a) Déterminer le temps nécessaire pour s’arrêter.
(b) Déterminer la position du solide à l’arrêt.
(2) On recommence l’expérience, mais cette fois le support ne frotte plus. Par contre l’air environnant exerce une force de
frottement fluide −→ f=−λ−→ vavec λ=0,25kg ·s−1, à partir du point O. Le mobile arrive toujours en O avec la vitesse
V0.
(a) Déterminer l’équation du mouvement portant sur xpuis sur v. Vérifiez que les fonctions suivantes sont solutions
et que leur valeur en t=0 est cohérente avec l’énoncé:
v(t) = V0exp −λ
mtx(t) = V0
m
λ1−exp−λ mt
(b) À quel instant le mobile s’arrête-t-il? Quelle est la distance parcourue?
(c) Exprimer v(x).
(d) Reprendre l’équation différentielle de la question (2)(a) pour trouver une expression de dv
dx. Retrouver alors
l’expression de la question précédente.
Exercice B Un système de poulieExercice B Choisir un système de coordonnées
Choisir un système
Appliquer le principe fondamental de la dynamique
Deux objets de masse respectives m1et m2, pouvant être assimilés à des points
matériels, sont accrochés chacun à une extrémité d’un fil inextensible sans masse
ni raideur qui passe dans la gorge d’une poulie idéale (sans masse et qui ne frotte
pas sur son essieu). La poulie parfaite permet que le fil reste tendu malgré l’arc de
cercle.
La poulie est accrochée à un point O fixe dans le référentiel d’étude.
En utilisant deux caractéristiques d’un fil parfait, déterminer les accélérations de
chacune des masses ainsi que la tension du fil en fonction de m1,m2et l’accélération
de pesanteur g.
O
−→
g
m1
m2
1

M2 Dynamique Exercices
Exercice C Pendule simpleExercice C Choisir un système
Appliquer le principe fondamental de la dynamique
Utiliser le principe des actions réciproques
Un pendule simple de masse met de longueur lest lâché sans vitesse initiale depuis
l’angle θ=θ0.
Le fil est accroché en O, point fixe par rapport au sol, est inextensible, sans masse ni
raideur. On supposera valable l’approximation des petits angles.
On appelle −→ Rla force qu’exerce le support sur le fil au point O.
(1) Déterminer l’équation du mouvement de M.
(2) Vérifier que la fonction θ(t) = θ0cos sg
ltest la solution vérifiant l’équation
précédente ainsi que les conditions initiales (valeur initiale de θet de la vitesse).
(3) Exprimer la tension du fil en fonction de l’angle θet de constantes. On rappelle
que si θ1 (approximation des petits angles), cosθ'1−θ2
2
(4) En déduire la force −→ Ren fonction de θet de constantes. Pour quelles positions
de M, la liaison en O a-t-elle le plus de chances de céder?
O
l
M(m)
−→
eθ
−→
er
θ
−→
T
−→
P
−→
g
Exercice D Rembobiner un filExercice D Exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération
Appliquer le principe fondamental de la dynamique
Trouver les équations du mouvement
Un fil inextensible de masse négligeable et sans raideur de
longueur Lest accroché tangentiellement à une bobine circu-
laire plate de rayon R(la figure n’est pas à l’échelle).
À son extrémité libre est accroché un point matériel M de
masse m. On tend le fil et on lance M dans le plan de la bobine,
perpendiculairement au fil, avec la vitesse initiale v0depuis
θ=0, afin de le rembobiner.
On néglige la pesanteur et M0est la position initiale du
point M.
(1) Montrer que −→ OM =R−→ er+ (L−Rθ)−→ eθ. En déduire les
composantes de la vitesse et de l’accélération de M dans
cette base.
(2) Écrire le principe fondamental de la dynamique dans
cette base et en déduire par primitive d’une des deux
composantes que −→ v(M)·−→ er=cst. Déterminer alors le
lien entre v0,R,L,θet ˙ θ
(3) En déduire grâce à une primitive la relation entre θet
t. Déterminer la durée Ddu rembobinage. Démontrer
à partir de ces deux résultats l’expression
θ(t) = L
R1−s1−t D
(4) Déterminer l’expression de la tension du fil −→ Ten fonc-
tion du temps et vérifier qu’il reste tendu (i.e. −→ Treste
toujours non nulle orientée vers le fil).
O
−→
er
−→
eθ
A
M(t)
I
M(t=0)
−→
v0
θ
2/2