Télécharger
publicité
M2 Dynamique Exercices Schématiser la situation Appliquer le principe fondamental de la dynamique Trouver les équations du mouvement Utiliser les lois de Coulomb Exercice A Différentes forces de frottement − → On considère un petit solide de masse m = 2,0 kg assimilable à un point matériel qui se déplace selon l’axe O, e x à la vitesse constante V0 = 0,50 m · s−1 sans frottement tant que x < 0. À l’instant t = 0, la solide arrive au point O. On étudie son mouvement à partir de cet instant. − → On rappelle les lois de COULOMB pour les frottements solides. Le support exerce sur le solide une force R dont la composante − → − → tangentielle T et reliée à la composante normale N par − → − → T ≤ µ N si le solide est fixe par rapport au support, → → − − T = µ N si le solide glisse sur le support. (1) On suppose qu’à partir du point O, le solide subit une force de frottement solide de coefficient de frottement µ = 2,0 · 10−3 . (a) Déterminer le temps nécessaire pour s’arrêter. (b) Déterminer la position du solide à l’arrêt. (2) On recommence l’expérience, mais cette fois le support ne frotte plus. Par contre l’air environnant exerce une force de − → → frottement fluide f = −λ− v avec λ = 0,25 kg · s−1 , à partir du point O. Le mobile arrive toujours en O avec la vitesse V0 . (a) Déterminer l’équation du mouvement portant sur x puis sur v. Vérifiez que les fonctions suivantes sont solutions et que leur valeur en t = 0 est cohérente avec l’énoncé: λ m −λ v (t) = V0 exp − t x (t) = V0 1 − exp t m λ m (b) À quel instant le mobile s’arrête-t-il? Quelle est la distance parcourue? (c) Exprimer v (x). (d) Reprendre l’équation différentielle de la question (2)(a) pour trouver une expression de l’expression de la question précédente. dv . Retrouver alors dx Choisir un système de coordonnées Choisir un système Appliquer le principe fondamental de la dynamique Exercice B Un système de poulie Deux objets de masse respectives m1 et m2 , pouvant être assimilés à des points matériels, sont accrochés chacun à une extrémité d’un fil inextensible sans masse ni raideur qui passe dans la gorge d’une poulie idéale (sans masse et qui ne frotte pas sur son essieu). La poulie parfaite permet que le fil reste tendu malgré l’arc de cercle. La poulie est accrochée à un point O fixe dans le référentiel d’étude. En utilisant deux caractéristiques d’un fil parfait, déterminer les accélérations de chacune des masses ainsi que la tension du fil en fonction de m1 , m2 et l’accélération de pesanteur g. 1 O − → g m2 m1 M2 Dynamique Exercices Choisir un système Appliquer le principe fondamental de la dynamique Utiliser le principe des actions réciproques Exercice C Pendule simple Un pendule simple de masse m et de longueur l est lâché sans vitesse initiale depuis l’angle θ = θ0 . Le fil est accroché en O, point fixe par rapport au sol, est inextensible, sans masse ni raideur. On supposera valable l’approximation des petits angles. − → On appelle R la force qu’exerce le support sur le fil au point O. (1) Déterminer l’équation du mouvement de M. s g (2) Vérifier que la fonction θ (t) = θ0 cos t est la solution vérifiant l’équation l précédente ainsi que les conditions initiales (valeur initiale de θ et de la vitesse). O l − → g − → − → eθ T M (m) θ − → P (3) Exprimer la tension du fil en fonction de l’angle θ et de constantes. On rappelle θ2 que si θ 1 (approximation des petits angles), cos θ ' 1 − 2 − → (4) En déduire la force R en fonction de θ et de constantes. Pour quelles positions de M, la liaison en O a-t-elle le plus de chances de céder? − → er Exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération Appliquer le principe fondamental de la dynamique Trouver les équations du mouvement Exercice D Rembobiner un fil Un fil inextensible de masse négligeable et sans raideur de longueur L est accroché tangentiellement à une bobine circulaire plate de rayon R (la figure n’est pas à l’échelle). À son extrémité libre est accroché un point matériel M de masse m. On tend le fil et on lance M dans le plan de la bobine, perpendiculairement au fil, avec la vitesse initiale v0 depuis θ = 0, afin de le rembobiner. On néglige la pesanteur et M0 est la position initiale du point M. M (t = 0) − → v0 M (t) −→ → (1) Montrer que OM = R− e r + (L − Rθ ) − e→ θ . En déduire les composantes de la vitesse et de l’accélération de M dans cette base. (2) Écrire le principe fondamental de la dynamique dans cette base et en déduire par primitive d’une des deux − → → composantes que − v (M) · e r = cst. Déterminer alors le lien entre v0 , R, L, θ et θ̇ (3) En déduire grâce à une primitive la relation entre θ et t. Déterminer la durée D du rembobinage. Démontrer à partir de ces deux résultats l’expression s L t θ (t) = 1− 1− R D − → (4) Déterminer l’expression de la tension du fil T en fonc− → tion du temps et vérifier qu’il reste tendu (i.e. T reste toujours non nulle orientée vers le fil). 2/2 A − → eθ − → er O θ I
