TD15 mouvement de particules chargées

MPSI4
TD n°15 : Mouvements de particules charg´ees
1 D´eflexion d’´electrons
Des ´electrons de masse met de charge q, ayant une vitesse horizontale ~v0=v0~ux, arrivent au point O
dans une r´egion de longueur `o`u r`egne un champ ´electrostatique uniforme vertical −→ E=E~uy.
P1
P2
Ox
`
y
U=V(P2)−V(P1)
−→
E=E~uy
~v0
~v(x=`)
α
1. On ´etudie les ´electrons dans le r´ef´erentiel terrestre galil´een. On n´eglige leur poids. Le bilan des forces
se r´esume `a la force de Lorentz :
−→
F=q−→ E=qE~uydirig´e selon −~uycar q < 0. Les ´electrons sont donc d´evi´es vers le bas.
Le PFD s’´ecrit : m~a =−→ Fce qui donne en projection sur les axes Ox et Oy du plan et en tenant
compte des CI :
~a (¨x= 0
¨y=qE
m
~v (˙x=v0
˙y=qEt
m
~
OM 
x=v0t
y=qEt2
2m
`
A la sortie de cette zone, les ´electrons ont une vitesse d´evi´ee d’un angle αpar rapport `a la vitesse
d’entr´ee donn´e par :
tan α=dy
dxx=`
=
dy
dt
dx
dt
t=`/v0
=vy
vxt=`/v0
=qE`
mv2
0⇒α= arctan qE`
mv2
0<0
2. On a vu en cours la relation entre la distance entre les plaques, le champ ´electrique et la tension aux
bornes d’un condensateur plan infini : E=U
d.
On a donc la relation : tan α=qU`
mdv2
0
soit :
U=mdv2
0tan α
q`
On obtient num´eriquement : |α|10°20°30°
U(V) 1 2,1 3,3
1

3. Si on veut r´ealiser la mˆeme d´eflexion grˆace `a un champ magn´etique uniforme r´egnant dans le mˆeme
volume de longueur `que pr´ec´edemment, il faut −→ Borthogonal au plan de la trajectoire circulaire et
rentrant, c’est `a dire −→ B=−B~uzavec Bpositif. En effet, la force de Lorentz magn´etique s’´ecrit `a
t= 0 :
−→
F=q~v0∧−→ B=qv0~ux∧(−B~uz) = qv0B~uy
q´etant n´egatif, les ´electrons sont bien d´evi´es selon −~uy. Si on avait pris −→ Bselon +~uz, ils auraient ´et´e
d´evi´es dans l’autre sens.
On a donc le sch´ema suivant :
Ozx
y
R
`
−→
B
⊗
~v0
C
R
S
α
α
D’apr`es le cours, le rayon de la trajectoire est R=mv0
|q|Bet on voit que `=R|sin α|, ce qui donne
B=mv0sin α
q` (attention qet αsont n´egatifs).
On obtient num´eriquement : |α|10°20°30°
B(T) 1,98.10−53,89.10−55,69.10−5
2 Trajectoire d’une particule
On cherche la trajectoire d´ecrite par une particule de masse met de charge q > 0 plong´ee dans un champ
´electromagn´etique stationnaire et uniforme :
−→
E=E ~uxet −→ B=B~ux
sachant qu’`a t= 0, elle se trouve `a l’origine O du rep`ere avec la vitesse initiale ~v0=v0~uy.
1. On ´etudie une particule de masse met de charge q > 0 plong´ee dans un champ ´electromagn´etique
stationnaire et uniforme dans le r´ef´erentiel terrestre galil´een.
Le bilan des forces se r´esume `a la force de Lorentz, le poids ´etant n´egligeable :
−→
F=q−→ E+q~v ∧−→ B=qE~ux+q(vx~ux+vy~uy+vz~uz)∧B~ux
−→
F=qE~ux−qBvy~uz+qBvz~uy
Le PFD en projection sur les vecteurs de la base cart´esienne donne :
2

~a
˙vx=qE
m(1)
˙vy=qBvz
m(2)
˙vz=−qBvy
m(3)
2. Selon Ox, on obtient successivement en integrant (1) :
vx=qEt
met x(t) = qEt2 2m
Le mouvement est uniform´ement acc´el´er´e dans la direction Ox.
3. On pose α=vy+jvzo`u j2=−1. On a donc en d´erivant ˙α= ˙vy+j˙vz
(a) On calcule : (2) + j(3) :
˙vy+j˙vz=qBvz
m−jqBvy m=−jqB m(vy+jvz)
˙α=−jqB
mα
On reconnait une ´equation diff´erentielle du premier ordre `a coefficients constants dans C. On pose
ωc=qB
m>0 la pulsation cyclotron :
˙α+jωcα= 0
(b) La condition initiale pour αest α(0) = vy(0) + jvz(0) = v0car ~v(0) = v0~uy
On en d´eduit α=Ae−jωctavec A=α(0) = v0. Donc :
α=v0e−jωct=v0cos(ωct)−jv0sin(ωct)
(c) Comme α=vy+jvz,vy=Re(α) et vz=Im(α).
vy(t) = v0cos(ωct) et vz(t) = −v0sin(ωct)
En integrant par rapport au temps et avec les C.I. pour y(t) et z(t) telles que y(0) = 0 et z(0) = 0,
on obtient les ´equations horaires :
y(t) = v0
ωc
sin(ωct) et z(t) = v0
ωc
(cos(ωct)−1)
4. Trajectoire :
Ox
y
z
~v0
3

Il s’agit d’une h´elice d´ecrite dans le sens des xcroissants, dont le pas (distance entre deux points de
la trajectoires apr`es une p´eriode de rotation Tc=2π
ωc
) augmente dans le temps. Vue de dessus, dans
le plan (yOz), la trajectoire est un cercle dont les coordonn´ees du centre Csont : (yC= 0, zC=−v0
ω0
)
et le rayon est R=mv0
qB . Le champ ´electrique acc´el`ere la particule dans le sens des xcroissants tandis
que le champ magn´etique la fait tourner autour de la direction (Ox).
Vue de dessus :
y
O
x
z•
C
~v0
3 Trajectoire d’une particule (bis)
Dans le r´ef´erentiel Rde rep`ere (Oxyz), on consid`ere une particule de masse met de charge q > 0, ayant
une vitesse nulle et se trouvant au point O `a l’instant t= 0. On ´etablit `a cet instant deux champs uniformes
et ind´ependants du temps : −→ B=B ~ezet −→ E=E~ey(avec Bet E > 0).
On pose : ω=qB
met A=E Bω
1. On ´etudie la particule de masse met de charge q > 0 plong´ee dans un champ ´electromagn´etique
stationnaire et uniforme dans le r´ef´erentiel terrestre galil´een.
Seule la force de Lorentz s’applique, le poids ´etant n´egligeable :
−→
F=q−→ E+q~v ∧−→ B=qE~ey+q(vx~ex+vy~ey+vz~ez)∧B~ez
−→
F=qE~ey−qBvx~ey+qBvy~ex
Le PFD en projection sur les vecteurs de la base cart´esienne donne :
~a
˙vx=qBvy
m(1)
˙vy=qE
m−qBvx m(2)
˙vz= 0 (3)
L’integration de l’´equation (3), en tenant compte du fait que la vitesse initiale est nulle donne z=Cste :
le mouvement est plan. Il se fait dans le plan (xOy).
2. On peut r´esoudre le syst`eme d’´equations coupl´ees soit par la m´ethode complexe vue `a l’exercice 2 soit
en utilisant la m´ethode vue en cours :
4

On d´erive (2) puis on y injecte (1) et inversement. On deux ´equations diff´erentielles d´ecoupl´ees d’os-
cillateur harmonique :
¨vy=−qB
m˙vx⇒¨vy=−q2B2 m2vy⇒¨vy+ω2vy= 0
¨vx=qB
m˙vy⇒¨vx=qB m×qE m−q2B2 m2vx⇒¨vx+ω2vx=qEω m=Aω3
La condition initiale sur la vitesse est ~v(0) = −→ 0 , c’est `a dire (vx(0) = 0 et vy(0) = 0) ce qui donne en
utilisant le syst`eme d’´equation coupl´ees :
˙vx(0) = qBvy(0)
m= 0 et ˙vy(0) = qE m−qBvx(0) m=qE m
En integrant et en tenant compte des CI pr´ec´edentes pour d´eterminer les constantes d’integration C,
D,Fet G:
vy=Ccos(ωt) + Dsin(ωt) = qE
mω sin(ωt) = Aω sin(ωt)
vx=Fcos(ωt) + Gsin(ωt) + qE
mω =qE mω (1 −cos(ωt)) = Aω(1 −cos(ωt))
On int`egre `a nouveau en tenant compte de la position initiale de la particule x(0) = 0 et y(0) = 0 :
x(t) = qE
mω t−qE mω2sin(ωt) ; y(t) = qE mω2(1 −cos(ωt))
x(t) = Aωt −Asin(ωt) ; y(t) = A(1 −cos(ωt))
3. Avec un tableau de valeurs, on obtient diff´erents points de la trajectoire :
ωt 0π/2π3π/2 2π
x(t) 0 A(π/2−1) Aπ A(3π/2 + 1) 2πA
y(t) 0 A2A A 0
On obtient la trajectoire suivante qui est une cyclo¨ıde. Si l’on imagine un v´elo roulant `a vitesse
constante dans la direction de l’axe Ox, un point de la roue qui serait en contact avec le sol `a t= 0
aurait exactement la mˆeme trajectoire au cours du temps.
x
y
A
2A
O
−→
B−→
E
4. (a) La norme de la vitesse est donn´ee par
v(t) = qv2
x+v2 y=qA2ω2sin2(ωt) + A2ω2(1 −2 cos(ωt) + cos2(ωt))
v(t) = p2A2ω2(1 −cos(ωt))
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