P.Bossuyt Page 1 Correction -EPREUVE N°4 EPREUVE DE

Correction -EPREUVE N°4
EPREUVE DE MATHEMATIQUES ET TRAITEMENT DE DONNEES
(Durée : 2 Heures - Coefficient : 2)
L'utilisation de la calculatrice et du formulaire est autorisée.
Exercice n°1 (4 points) : Dans une ferme, on produit des œufs de tailles différentes :
• des "petits", dans la proportion de 20 %.
• des "moyens", dans la proportion de 50 %.
• des "gros", dans la proportion de 30 %.
Ils sont de deux qualités : "ordinaire" ou "supérieure". On a remarqué que :
♦ 80 % des "petits" œufs sont de qualité ordinaire.
♦ 50 % des œufs "moyens" sont de qualité ordinaire.
♦ 20 % des "gros" œufs sont de qualité ordinaire.
1.
Qualité
"supérieure"
4
Total
"petits"
Qualité
"ordinaire"
16
"moyens"
25
25
50
"gros"
6
24
30
Total
47
53
100 %
20
On place dans la colonne total 20, 50 et 30%.
Puis on calcule 80% de 20% soit 80 × 20 = 16 soit 16% pour des œufs de qualité « ordinaire » et
100 100 100
petit et par différence (20-16), on trouve 4 % pour des œufs petits mais de qualité supérieur. De même
pour les autres cases.
2. On choisit au hasard un œuf sur la chaîne de production. Déduire de ce tableau :
a ) La probabilité pour que cet œuf soit "petit" et de qualité "ordinaire".
16
P(A)=
= 4 =0,16 (lecture directe dans le tableau).
100 25
b ) La probabilité pour que cet œuf soit de qualité "ordinaire".
47 =0,47
P(B)=
100
c ) La probabilité pour que cet œuf soit de qualité "supérieure".
P(C )=1−p(B)=1−0,47=0,53
d ) La probabilité pour que cet œuf soit "gros" et de qualité "supérieure".
24
P(D)=
= 6 =0,24
100 25
Ne pas oublier les conclusions
Exercice N°2 (4 points)
Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme, qui seront appelés par la suite des
originaux.
Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées par la suite des copies. On sait que 0,5 %
des flacons proposés à la vente sont des copies.
P.Bossuyt
Page 1
Pour éliminer ces copies, l’entreprise a mis au point un test optique permettant, sans rompre le ruban
de garantie, de se faire une opinion concernant la conformité du produit.
On sait que :
- La probabilité que le test soit positif (c’est à dire qu’il indique qu’il s’agit d’une copie) sachant que
le produit est une copie est 0,85.
- Le probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est un original est 0,95.
On tire un flacon au hasard et on le soumet au test.
On notera les événements de la façon suivante :
O : « Le flacon tiré est un original »
O : «Le flacon tiré est une copie »
N : « Le test est négatif »
N : « Le test est positif »
1) Construire l’arbre de probabilité correspondant à cette situation.
P(N/O)=0,95
N
P( N /O)=0,05
N
O
P(O)=0,995
P(N/ O )=0,15
P( C )=0,005
N
O
P( N / O )=0,85
N
Attention vous risquez de confondre 0,5 soit 50% et 0,5% soit 0,005=5×10-3
2) Calculer la probabilité que :
a) Le produit soit une copie et que le test soit positif.
Ò
Ò)=p(O
Ò )×p(N
Ò /O
Ò )= 0,005×0,85=4,25×10-3=0,425%
P(O∩N
b) Le produit soit un original et que le test soit positif.
Ò )=p(O)×p(N
Ò /O)=0,995×0,05=0,04975=4,975%
P(O∩N
c) Le test soit positif.
Ò ∩N
Ò)+p(O∩N
Ò )= 4,25×10-3+0,04975=0,054=5,4%
P(Ò
N)=p(O
d) Le produit soit un original sachant que le test est positif.
Ò) 0,04975
p (O∩N
P(O/Ò
N)=
=
=0,921
0,054
Ò)
p (N
e) Le produit soit une copie sachant que le test est positif.
-3
Ò)
Ò ∩N
p (O
Ò /Ò
P(O
N)=
=4,25× 10 ó0,079
0,054
Ò)
p (N
3) Exprimer brièvement votre opinion sur la fiabilité de ce test.
Ò /N
Ò)ó0,079 soit 7,8%
D’après les calculs , on a P(O
P.Bossuyt
Page 2
C'est-à-dire que la probabilité que le produit soit une copie sachant que le test est positif est de 7,8% ce
qui est élevé pour ce test. On peut donc dire que le test est peu fiable.
Exercice n°3 (12 points)
Partie A
1) A l'aide du graphique, et en expliquant la démarche adoptée, répondre aux questions
suivantes :
a) g ( 1 )=1 car la courbe passe par le point de coordonnées (1 ;1)
g' ( 1 )=0 car en x = 1 la courbe admet une tangente qui est horizontale.
2
2
b) Graphiquement , on remarque que le maximum sur ]0;2] est environ 1,8.
Donc pour tout x ☻]0;2] g(x)Â1,8 d’où g ( x )<4
(g(x) est plus petit que 1,8 est aussi plus petit que 4)
g ( x )<4 ñ g ( x )−4<0
2) On admet que la fonction g est définie sur ] 0 ; 2 ] par g ( x ) = a + b ln x - 2 x².
a) g(1)=1
ñ a + b ln(1)−2×12=1
ñ a −2=1
ña=3
1
g′ 1 =0 Calculons g ′( x )=0+ b × x −2×2 x = b −4 x
x
2
d’où g ′ 1 =0 ñ b −4× 1 =0
1
2
2
2
ñ 2 b −2=0
ñ2 b =2
ñ b =1
b) D’où pour tout x de ] 0 ; 2 ], g ( x ) = 3 + 1 × ln x - 2 x 2 = 3 +ln (x) − 2x 2
Dans la suite, on admettra que pour tout x de ] 0 ; 2 ], g ( x ) - 4 < 0.
Partie B
Soit la fonction numérique f définie sur ] 0 ; 2 ] par f ( x ) = ln x + 2 x.
x
1)
a) Pour tout x ☻]0 ;2], f’( x )=
x × 1 −ln( x )
x
x2

(On utilise la formule  u ′= vu′−v′u

 v   v2 
b) Pour tout x de ] 0 ; 2 ], f ' ( x ) =
P.Bossuyt
Page 3
x)
+2= 1−ln(
+2= 1−ln( x2)+2 x
2
x
x
(
4− 3 +ln (x) − 2x 2
4 - g (x)
.=
x²
x2
)
2
2
= 4−3−ln(2x )+2 x
x
1−ln(
x )+2 x 2
=
x2
On retrouve bien la forme calculée à la question 1)a).
c) D’après la partie A, on a la relation
Pour tout x ☻]0 ;2] g ( x )−4<0 ñ 4− g ( x )>0
De plus x 2>0 d’où 4− g2( x ) >0 donc f ’( x )>0
x
d) D’après la question précédente, f ’(x)>0 sur ] 0 ; 2 ] donc f est strictement croissante
sur ]0 ;2].
2) Ln( x ) = 1 ×ln( x )
x
x
lim ln( x )=-õ
x−>0

 d’où

lim
1 ×ln( x )=-õ et lim 2 x =0
x−>0 x
lim 1 =+õ
x−>0 x
Donc lim ln(x) +2 x =-õ
x
x−>0
x−>0
D’où la droite d’équation x =0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale à Cf
3)
x
0,2
0,3
0,4
0,5
1
1,5
2
f(x)
-7,6
-3,4
-1,5
-0,4
2
3,3
4,3
.
P.Bossuyt
Page 4