11 Cours - Nombres entiers . Arithmétique

 . Arithmétique. Dénombrements
I) L’ensemble  des entiers naturels
 = {0,1,2,...} est l’ensemble des entiers naturels.
1) Récurrence simple
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n. Alors:
:
P
H
0
L
"nœ, P
H
n
L
flP
H
n+1
L
fl " n œ , P(n)
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence la propriété P
H
n
L
.
Initialisation : P(0) est vraie car ...
Transmission : Soit n œ  . On suppose que P(n) est vraie . Montrons que P(n+1) est vraie. ...
(Ou encore: “ On suppose que P(n) est vraie pour un entier n et on montre que P(n+1) est vraie ”)
(Mais surtout pas “ On suppose que P(n) est vraie pour tout entier n et on montre P(n+1) ”)
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
2) Récurrence double
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n. Alors:
:
P
H
0
L
et
P
H
1
L
"nœ,
H
P
H
n
L
et P
H
n+1
L
L
flP
H
n+2
L
fl " n œ , P(n)
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence double la propriété P
H
n
L
.
Initialisation : P(0) est vraie car ... et P(1) est vraie car...
Transmission : Soit n œ  . On suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies . Montrons que P(n+2) est vraie. ...
(Ou encore: “ On suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies pour un entier n et on montre que P(n+2) est vraie ”)
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
3) Récurrence forte
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n.
Alors:
:
P
H
0
L
"nœ,
H
P
H
0
L
et P
H
1
L
et ... et P
H
n
L
L
flP
H
n+1
L
fl " n œ , P(n)
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence forte la propriété P
H
n
L
.
Initialisation : P(0) est vraie car ...
Transmission : Soit n œ  . On suppose que P(0 et P(1) et... et P(n) sont vraies . Montrons que P(n+1) est vraie. ...
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
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4) Exemples
a) Montrer que " n œ 
*
, S(n) = S
k=1
n
käk! = (k+1)! - 1
b) Soit
H
u
n
L
la suite définie par u
0
=2 , u
1
=1 et " n œ , u
n+2
=u
n+1
+6 u
n
. Prouver que " n œ , u
n
=3
n
+
H
-2
L
n
.
c) Prouver que " n œ , $ (p,q) œ 
2
/ n =2
p
H
2 q +1
L
5) Propriétés liées à l’ordre
Toute partie non vide de  admet un minimum.
Toute partie non vide et majorée de  admet un maximum.
Admis Ces propriétés sont fausses dans . Par exemple avec A = ]0,1[ , min A et max A n’existent pas .
6) Division euclidienne
a) Théorème et définition
Etant donné a œ  et b œ 
*
, il existe un unique couple (q,r) d’entiers naturels tel que
;
a
=
b
q
+
r
0br<b .
L’égalité a = bq + r avec 0 b r < b est l’égalité de la division euclidienne de a par b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Preuve
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b) Proposition
Dans l’égalité de la division euclidienne de a par b: a = bq + r avec 0 b r < b alors q =E
K
b
a
O
et r = a -b E
K
b
a
O
.
Car
c) Exercice
Ecrire un algorithme qui uniquement avec des additions ou des soustractions calcule le quotient et le reste de la division de a
par b.
II) Arithmétique
1) Diviseur, multiple
a) Définition
Soient a et b deux entiers. Alors: a divise b ñ a est un diviseur de b ñ b est multiple de a ñ $ k œ  / b = k a .
b) Exemples
7 divise 35 , 3 est un diviseur de 0 , 1 est un diviseur de tous les entiers, 0 est un multiple de tous les entiers.
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2) Congruences
a) Définition et notation
Soient a,b œ  et n œ 
*
. Alors: a est congru à b modulo n ñ n divise b-a . On note alors a ª b [n] .
b) Exemples
• 17 ª 9 [4] et également 17 ª 1 [4] .
• a divise n ñ n ª 0 [a] .
• r est le reste de la division euclidienne de a par b ñ a ª r [b] et 0 b r < b .
c) Propriétés
" a,b,c,d œ , " k,n œ 
*
:
1) a ª b [n] et c ª d [n] fl
;
a
+
c
ª
b
+
d
@
n
D
aäcªbäd
@
n
D
. (On peut additionner ou multiplier les congruences)
2) a ª b [n] fl
;
a
k
ªb
k
@
n
D
käaªkäb
@
k n
D
.
Preuve partielle:
d) Exemples
a) Calculer le reste de la division de 31
2013
par 7
b) Soit n r 5 non vivisible par 2 ou par 3. Prouver que n
2
-1 est divisible par 24 .
e) Exercice
Soit N œ , que l’on écrit N = a
n
a
n-1
... a
0
en base 10 . On note S(N) = a
0
+a
1
+... +a
n
la somme des chiffres de N.
a) Prouver que N est divisible par 9 ñ S(N) est divisible par 9 .
b) Trouver un critère analogue de divisibilité par 11.
3) pgcd, ppcm
a) Définitions
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Alors:
• Le plus grand diviseur commun de a et b est noté pgcd(a,b). (Pour le pgcd, l’un des deux entiers peut être nul)
• Le plus petit multiple commun strictement positif de a et b est noté ppcm(a,b).
Par exemple, pgcd(35,14) = 7 , pgcd(100,0) = 100 et ppcm(35,14) = 70
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b) Calcul de d = pgcd(a,b)
On peut calculer d = pgcd(a,b) en:
a) Ecrivant la liste des diviseurs de a et de b, d est le plus grand diviseur commun.
b) A partir de la décomposition en facteurs premiers (voir plus loin)
g) Utilisant l’algorithme d’Euclide.
c) Algorithme d’Euclide (Euclide , mathématicien de la Grèce antique, environ - 300 )
a) Principe
Il repose sur la remarque suivante: si a = bq + r est l’égalité de la divison euclidienne de a par b, alors pgcd(a,b) = pgcd(b,r) .
En effet:
Si l’on fait les divisions euclidiennes successives: a =bq
1
+r
1
; b = r
1
q
2
+r
2
; r
1
=r
2
q
3
+r
3
, etc, alors:
pgcd(a,b) = pgcd(b, r
1
) = pgcd
H
r
1
, r
2
L
= pgcd
H
r
2
, r
3
L
=...
Mais b >r
1
>r
2
>r
3
>... r 0. La suite des restes successifs
H
r
n
L
est une suite strictement décroissante d’entiers. Donc il existe
un plus petit entier n tel que r
n
=0. Alors pgcd(a,b) = pgcd
H
r
n
-
1
, 0
L
= r
n
-
1
.
Le pgcd de a et b est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes.
Exemple: calculer pgcd(637,490) et pgcd (12345,54321)
b) Algorithmes itératif ou récursif
def pgcdI(a,b):
“““Pgcd des deux nombres a et b de manière itérative”””
while b > 0:
a, b = b, a % b
return a
def pgcdR(a, b):
“““Pgcd de deux nombres a et b de manière récursive”””
if b == 0:
return a
else:
return pgcdR(b, a % b)
d) pgcd de plusieurs entiers: définition et calcul
On définit de même pgcd
H
a
1
, a
2
, ... a
n
L
pour des entiers a
1
, ..., a
n
. On peut calculer pgcd
H
a
1
, a
2
, ... a
n
L
en utilisant la
propriété:
pgcd
H
a
1
, a
2
, ... a
n
L
=pgcd
H
pgcd
H
a
1
, a
2
, ... a
n-1
L
, a
n
L
qui ramène le calcul de pgcd
H
a
1
, a
2
, ... a
n
L
à des pgcd de deux entiers.
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