DS2 racines carrées 2010-2011 sujet 1 1

3ème A
DS2 racines carrées
NOM :
2010-2011 sujet 1
Note :
Prénom :
Acquis
Compétence
Savoir que, si a désigne un nombre positif,
En cours
d’acquisition
___
20
Non
Acquis
a est le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités :
( a)² = a et
a² = a
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a désigne un
nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
ab =
a× b et
a
=
b
a
b
Exercice 1 : (4,5 points)
On note E = 2 5 + 3 et F = 2 5 – 1.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) E + F
b) E – F
c) E×F
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire
8,
50 et
128 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 3 8 + 2 50 -
128.
Exercice 3 : (7,5 points)
ABC est un triangle rectangle en A.
On appelle H le pied de la hauteur issue de A et on a BH = 5 cm
et CH = 2 cm.
On pose AH = x.
a) Exprimer AB² et AC² en fonction de x.
b) Calculer BC² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 10.
d) Montrer que le périmètre de ABC est :
p=
7( 2 +
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
7
4 2
b)
a)
2 5
3
5+
7)
c)
4– 7
-3 2
1
3ème A
DS2 racines carrées
NOM :
2010-2011 sujet 2
Note :
Prénom :
Acquis
Compétence
Savoir que, si a désigne un nombre positif,
En cours
d’acquisition
___
20
Non
Acquis
a est le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités :
( a)² = a et
a² = a
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a désigne un
nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
ab =
a× b et
a
=
b
a
b
Exercice 1 : (4,5 points)
On note A = 5 2 + 1 et B = 5 2 – 3.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) A + B
b) A – B
c) A×B
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 18,
32 et
98 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 2 18 + 3 32 - 98.
Exercice 3 : (7,5 points)
MNP est un triangle rectangle en M.
On appelle K le pied de la hauteur issue de M et on a PK = 3 cm
et NK = 7 cm.
On pose MK = x.
a) Exprimer MP² et MN² en fonction de x.
b) Calculer PN² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 21.
d) Montrer que le périmètre de MNP est :
p=
10( 3 +
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
3
2 3
b)
a)
2
5
7 + 10)
c)
-3 +
2
2 5
2
3ème A
DS2 racines carrées
CORRECTION
2009-2010 sujet 1
Exercice 1 : (4,5 points)
On note E = 2 5 + 3 et F = 2 5 – 1.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) E + F
b) E – F
c) E×F
a) E + F = 2 5 + 3 + 2 5 – 1 = 4 5 + 2
b) E - F = 2 5 + 3 – (2 5 – 1) = 4
a) E×F = (2 5 + 3)×(2 5 – 1) = (2 5)² - 2 5 + 3×2 5 – 3 = 20 + 4 5 – 3 = 17 + 4 5
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire
8,
50 et
128 sous la forme a 3, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 3 8 + 2 50 a)
8=
50 =
128 =
4×2 =
4× 2 = 2 2
25×2 =
25× 2 + 5 2
64×2 =
b) 3 8 + 2 50 -
128.
64× 2 = 8 2
128 = 3×2 2 + 2×5 2 - 8 2 = (6 + 10 – 8) 2 = 8 2
Exercice 3 : (7,5 points)
ABC est un triangle rectangle en A.
On appelle H le pied de la hauteur issue de A et on a BH = 2
cm et CH = 5 cm.
On pose AH = x.
a) Exprimer AB² et AC² en fonction de x.
b) Calculer BC² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 10.
d) Montrer que le périmètre de ABC est :
p=
7( 2 +
5+
7)
a) Le triangle ABH étant rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans
ce triangle :
AB² = BH² + AH²
AB² = 25 + x²
Le triangle ACH étant rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
AC² = CH² + AH²
AC² = 4 + x²
b) BC = CH + HB = 5 + 2 = 7
BC² = 7² = 49
D’autre part, le triangle ABC étant rectangle en A, on peut appliquer le théorème de
Pythagore dans ce triangle :
BC² = AB² + AC²
BC² = 25 + x² + 4 + x² = 2x² + 29
3
3ème A
DS3 racines carrées
c) On a donc 2x² + 29 = 49
Soit 2x² = 20
Puis : x² = 10
Cette équation a une seule solution positive
d) AB² = x² + 25 = 10 + 25 = 35
AB =
35 =
2010-2011 sujet 1
10.
7× 5
BC = 7 = 7× 7
AC² = x² + 4 = 10 + 4 = 14
AC =
14 =
7× 2
Périmètre (ABC) = AB + BC + AC =
7× 5 +
7× 7 +
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
7
4 2
b)
a)
2 5
3
a)
b)
c)
4 2
3
7
2 5
=
=
4– 7
-3 2
4 2× 3
3 3
7× 5
2 5 5
=
7– 4
3 2
=
=
=
7× 2 =
7( 2 +
c)
5+
7)
4– 7
-3 2
4 6
3
7 5
10
( 7 – 4)× 2
3 2 2
=
( 7 – 4)× 2
6
4
3ème A
DS2 racines carrées
CORRECTION
2010-2011 sujet 2
Exercice 1 : (4,5 points)
On note A = 5 2 + 1 et B = 5 2 – 3.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) A + B
b) A – B
c) A×B
a) A + B = 5 2 + 1 + 5 2 – 3 = 10 2 - 2
b) A - B = 5 2 + 1 – (5 2 – 3) = 4
c) A×B = (5 2 + 1)× (5 2 – 3) = (5 2)² - 3×5 2 + 5 2 – 3 = 50 - 10 2 – 3 = 47 - 10 2
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 18,
32 et
98 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 2 18 + 3 32 - 98.
a)
18 =
9×2 =
9× 2 = 3 2
32 =
16×2 =
16× 2 = 4 2
98 =
49×2 =
49× 2 = 7 2
b) 2 18 + 3 32 - 98 = 2×3 2 + 3×4 2 - 7 2 = (6 + 12 – 7) 2 = 11 2
Exercice 3 : (7,5 points)
MNP est un triangle rectangle en M.
On appelle K le pied de la hauteur issue de M et on a PK = 3 cm
et NK = 7 cm.
On pose MK = x.
a) Exprimer MP² et MN² en fonction de x.
b) Calculer PN² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 21.
d) Montrer que le périmètre de MNP est :
p=
10( 3 +
7 + 10)
a) Le triangle MKP étant rectangle en K, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
MP² = MK² + KP²
MP² = 9 + x²
Le triangle MNK étant rectangle en K, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
MN² = MK² + NK²
MN² = 49 + x²
b) PN = PK + KN = 3 +7 = 10
PN² = 10² = 100
D’autre part, le triangle MNP étant rectangle en M, on peut appliquer le théorème de
Pythagore dans ce triangle :
PN² = MP² + MN²
PN² = 9 + x² + 49 + x² = 2x² + 58
5
3ème A
DS3 racines carrées
c) On a donc 2x² + 58 = 100
Soit 2x² = 100 – 58 = 42
Puis : x² = 21
Cette équation a une seule solution positive
d) MP² = x² + 9 = 21 + 9 = 30
2010-2011 sujet 2
21.
MP = 30 = 10× 3
MN² = x² + 49 = 21 + 49 = 70
MN =
70 =
10× 7
PN² = 100 =
10× 10
Périmètre (MNP) = MP + MN + PN =
10× 3 +
10× 7 +
10× 10 =
10( 3 +
7
+ 10)
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
3
2 3
b)
a)
2
5
a)
b)
c)
2 3
5
3
2
=
=
-3 +
2 5
2 3 5
5 5
3 2
2 2
2
=
=
=
c)
-3 +
2
2 5
2 15
5
3 2
2
(-3 +
2)× 5
2 5 5
=
(-3 + 2) 5 -3 5 +
=
10
10
10
6