DS2 racines carrées 2010-2011 sujet 1 1

3
ème
A DS2 racines carrées 2010-2011 sujet 1
1
NOM : Prénom :
Compétence
Acquis En cours
d’acquisition
Non
Acquis
Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités :
( a)² = a et a² = a
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a désigne un
nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
ab = a× b et a
b = a
b
Exercice 1 : (4,5 points)
On note E = 2 5 + 3 et F = 2 5 – 1.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) E + F b) E – F c) E×F
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 8, 50 et 128 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 3 8 + 2 50 - 128.
Exercice 3 : (7,5 points)
ABC est un triangle rectangle en A.
On appelle H le pied de la hauteur issue de A et on a BH = 5 cm
et CH = 2 cm.
On pose AH = x.
a) Exprimer AB² et AC² en fonction de x.
b) Calculer BC² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 10.
d) Montrer que le périmètre de ABC est :
p = 7( 2 + 5 + 7)
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
a) 4 2
3 b) 7
2 5 c) 4 – 7
-3 2
Note :
___
20

3
ème
A DS2 racines carrées 2010-2011 sujet 2
2
NOM : Prénom :
Compétence
Acquis En cours
d’acquisition
Non
Acquis
Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités :
( a)² = a et a² = a
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a désigne un
nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
ab = a× b et a
b = a
b
Exercice 1 : (4,5 points)
On note A = 5 2 + 1 et B = 5 2 – 3.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) A + B b) A – B c) A×B
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 18, 32 et 98 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 2 18 + 3 32 - 98.
Exercice 3 : (7,5 points)
MNP est un triangle rectangle en M.
On appelle K le pied de la hauteur issue de M et on a PK = 3 cm
et NK = 7 cm.
On pose MK = x.
a) Exprimer MP² et MN² en fonction de x.
b) Calculer PN² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 21.
d) Montrer que le périmètre de MNP est :
p = 10( 3 + 7 + 10)
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
a) 2 3
5 b) 3
2 c) -3 + 2
2 5
Note :
___
20

3
ème
A DS2 racines carrées 2009-2010 sujet 1
CORRECTION
3
Exercice 1 : (4,5 points)
On note E = 2 5 + 3 et F = 2 5 – 1.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) E + F b) E – F c) E×F
a) E + F = 2 5 + 3 + 2 5 – 1 = 4 5 + 2
b) E - F = 2 5 + 3 – (2 5 – 1) = 4
a) E×F = (2 5 + 3)×(2 5 – 1) = (2 5)² - 2 5 + 3×2 5 – 3 = 20 + 4 5 – 3 = 17 + 4 5
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 8, 50 et 128 sous la forme a 3, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 3 8 + 2 50 - 128.
a) 8 = 4×2 = 4×2 = 2 2
50 = 25×2 = 25×2 + 5 2
128 = 64×2 = 64×2 = 8 2
b) 3 8 + 2 50 - 128 = 3×2 2 + 2×5 2 - 8 2 = (6 + 10 – 8) 2 = 8 2
Exercice 3 : (7,5 points)
ABC est un triangle rectangle en A.
On appelle H le pied de la hauteur issue de A et on a BH = 2
cm et CH = 5 cm.
On pose AH = x.
a) Exprimer AB² et AC² en fonction de x.
b) Calculer BC² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 10.
d) Montrer que le périmètre de ABC est :
p = 7( 2 + 5 + 7)
a) Le triangle ABH étant rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans
ce triangle :
AB² = BH² + AH²
AB² = 25 + x²
Le triangle ACH étant rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
AC² = CH² + AH²
AC² = 4 + x²
b) BC = CH + HB = 5 + 2 = 7
BC² = 7² = 49
D’autre part, le triangle ABC étant rectangle en A, on peut appliquer le théorème de
Pythagore dans ce triangle :
BC² = AB² + AC²
BC² = 25 + x² + 4 + x² = 2x² + 29

3
ème
A DS3 racines carrées 2010-2011 sujet 1
4
c) On a donc 2x² + 29 = 49
Soit 2x² = 20
Puis : x² = 10
Cette équation a une seule solution positive 10.
d) AB² = x² + 25 = 10 + 25 = 35
AB = 35 = 7×5
BC = 7 = 7×7
AC² = x² + 4 = 10 + 4 = 14
AC = 14 = 7×2
Périmètre (ABC) = AB + BC + AC = 7×5 + 7×7 + 7×2 = 7( 2 + 5 + 7)
Exercice 4 : (3 points)
Ecrire les quotients donnés sans radical au dénominateur.
a) 4 2
3 b) 7
2 5 c) 4 – 7
-3 2
a) 4 2
3 = 4 2×3 3 3 = 4 6
3
b) 7
2 5 = 7×5 2 5 5 = 7 5
10
c) 4 – 7
-3 2 = 7– 4 3 2 = ( 7 – 4)×2 3 2 2 = ( 7 – 4)×2
6

3
ème
A DS2 racines carrées 2010-2011 sujet 2
CORRECTION
5
Exercice 1 : (4,5 points)
On note A = 5 2 + 1 et B = 5 2 – 3.
Calculer sous la forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
a) A + B b) A – B c) A×B
a) A + B = 5 2 + 1 + 5 2 – 3 = 10 2 - 2
b) A - B = 5 2 + 1 – (5 2 – 3) = 4
c) A×B = (5 2 + 1)× (5 2 – 3) = (5 2)² - 3×5 2 + 5 2 – 3 = 50 - 10 2 – 3 = 47 - 10 2
Exercice 2 : (5 points)
a) Ecrire 18, 32 et 98 sous la forme a 2, avec a nombre entier.
b) En déduire une écriture simplifiée de 2 18 + 3 32 - 98.
a) 18 = 9×2 = 9×2 = 3 2
32 = 16×2 = 16×2 = 4 2
98 = 49×2 = 49×2 = 7 2
b) 2 18 + 3 32 - 98 = 2×3 2 + 3×4 2 - 7 2 = (6 + 12 – 7) 2 = 11 2
Exercice 3 : (7,5 points)
MNP est un triangle rectangle en M.
On appelle K le pied de la hauteur issue de M et on a PK = 3 cm
et NK = 7 cm.
On pose MK = x.
a) Exprimer MP² et MN² en fonction de x.
b) Calculer PN² de deux manières différentes.
c) Montrer que la valeur exacte de x est 21.
d) Montrer que le périmètre de MNP est :
p = 10( 3 + 7 + 10)
a) Le triangle MKP étant rectangle en K, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
MP² = MK² + KP²
MP² = 9 + x²
Le triangle MNK étant rectangle en K, on peut appliquer le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
MN² = MK² + NK²
MN² = 49 + x²
b) PN = PK + KN = 3 +7 = 10
PN² = 10² = 100
D’autre part, le triangle MNP étant rectangle en M, on peut appliquer le théorème de
Pythagore dans ce triangle :
PN² = MP² + MN²
PN² = 9 + x² + 49 + x² = 2x² + 58