MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES

MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES
Probabilités
Master Génie des Systèmes Industriels, mentions ACCIE et RIM
Université du Littoral - Côte d’Opale, La Citadelle
Laurent SMOCH
(smoc[email protected])
Septembre 2012
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
Université du Littoral, zone universitaire de la Mi-Voix, bâtiment H. Poincarré
50, rue F. Buisson, BP 699, F-62228 Calais cedex

Table des matières
1 Le dénombrement 1
1.1 Notations ............................................... 1
1.1.1 Préliminaires ......................................... 1
1.1.2 Ensembleproduit....................................... 1
1.1.3 Notationfactorielle...................................... 2
1.2 Ledénombrement........................................... 2
1.2.1 Ensembleproduit....................................... 2
1.2.2 Nombre d’applications d’un ensemble Ede cardinal pdans un ensemble Fde cardinal n2
1.2.3 Parties d’un ensemble et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Arrangements......................................... 5
1.2.5 Permutations ......................................... 5
1.2.6 Combinaisons......................................... 6
1.2.7 Combinaisons avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.8 Modèle fondamental : schéma d’urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices ............................................... 8
2 La probabilité 13
2.1 Levocabulaire ............................................ 13
2.1.1 Expérience aléatoire et univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Evénements.......................................... 13
2.1.3 Propriétés de P(Ω) ...................................... 13
2.1.4 Opérations sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Probabilité .............................................. 14
2.2.1 Axiomedeprobabilité .................................... 14
2.2.2 Conséquences......................................... 15
2.3 Ensemblesprobabilisés........................................ 15
2.3.1 Ensembles finis probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Ensembles infinis dénombrables probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Probabilitéconditionnelle ...................................... 17
2.4.1 Définition ........................................... 17
2.4.2 Exemple............................................ 18
2.4.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.4 LaformuledeBayes ..................................... 19
2.5 Exercices ............................................... 20
3 Les variables aléatoires réelles 23
3.1 Introduction-Exemple........................................ 23
3.2 Définitionsetpropriétés ....................................... 24
3.3 Types de variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Définition ........................................... 26
3.4.2 Représentation graphique - Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II

TABLE DES MATIÈRES III
3.4.3 Représentation graphique - Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue - Densité de probabilité . . . . . . . 29
3.5.1 Définition ........................................... 29
3.5.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.3 Propriétés de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.4 Exemple............................................ 30
3.6 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2 Variablecentrée........................................ 32
3.6.3 Moments d’ordre k...................................... 32
3.6.4 Moments centrés d’ordre k.................................. 32
3.6.5 Varianceetécart-type .................................... 32
3.6.6 Momentsfactoriels...................................... 34
3.7 Exercices ............................................... 34
4 Lois de probabilités discrètes usuelles 41
4.1 LoietvariabledeBernoulli ..................................... 41
4.1.1 Définition ........................................... 41
4.1.2 Moments ........................................... 41
4.2 Loietvariablebinomiales ...................................... 42
4.2.1 Définition ........................................... 42
4.2.2 Moments ........................................... 42
4.2.3 Somme de deux variables binomiales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.4 Loi et variable fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Loi et variable multinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Exemple............................................ 44
4.3.2 Loitrinomiale......................................... 44
4.3.3 Loimultinomiale ....................................... 45
4.4 Loi et variables hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 Définition ........................................... 45
4.4.2 Lesmoments ......................................... 46
4.4.3 Limite d’une variable hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 LoietvariabledePoisson ...................................... 46
4.5.1 Définition ........................................... 47
4.5.2 Lesmoments ......................................... 47
4.5.3 Somme de deux variables de Poisson indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5.4 Limite d’une variable binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Loietvariablegéométriques..................................... 48
4.6.1 Définition ........................................... 48
4.6.2 Moments ........................................... 49
4.7 Exercices ............................................... 49

IV TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 4
Lois de probabilités discrètes usuelles
4.1 Loi et variable de Bernoulli
4.1.1 Définition
Soit une épreuve aléatoire comportant deux issues, deux événements élémentaires appelés souvent succès
et échec dont les probabilités respectives sont pet qavec p+q= 1.
On définit alors Ω = {S, E}
avec p(S) = pet p(E) = q. Soit la variable aléatoire X: Ω 7→ {0,1}telle que
X(S) = 1 ;X(E)=0
La variable Xest appelée variable de Bernoulli dont la loi de probabilité est
xi0 1 Total
piq p 1
pixi0p E(X) = p
pix2
i0p E(X2) = p
On note cette loi
X B(p)
Remarque 4.1.1 Cette loi ne dépend que d’un paramètre p, la probabilité de succès.
4.1.2 Moments
1. Espérance : E(X) = p
2. Variance : V(X) = p−p2=p(1 −p) = pq
3. Écart-type : σ(X) = √pq
Exemple 4.1.1 Un entreprise possède 10 chaînes de fabrication C1,C2,. . . ,C10. Elle sait qu’une chaîne
possède un problème mais elle ignore laquelle, elle choisit alors une chaîne au hasard. On considère la variable
aléatoire Xprenant la valeur 1si la chaîne testée et la chaîne défaillante et 0sinon. Dans ce cas Xest une
variable de Bernoulli de paramètre 1
10. L’espérance et la variance de cette variable valent respectivement
E(X) = 0,1et V(X)=0,09.
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