1 i

555
Un raisonnement analogue à ce1ui de M. VINOGRADOW, utilisant ]'iné~
galité (24) nous permettra d'améliorer (23) et de montrer sous les
hypothèses (22)
Mathematics. - Sur la discrépance modulo uno (Deuxième commu~
nication.) Par J. G. VAN DER CORPUT et Cl-i. PISOT.
(Communicated at the meeting of June 24, 1939.)
Dans cette communication, nous nous proposons de démontrer avec
la théorie de la discrépance les résultats que l' on obtient pour la répartition
modulo un des polyn6mes avec la méthode de WEYL.
Soit
qJ
(y)
y'C
= a l~! +
al
y'c-I + ... + a'e
(20)
un polyn6me de degré k =- 1 en y à coefficients réels. N ous étudierons
la discrépance du système Y formé par les nombres qJ (1), qJ (2), ... , qJ (X),
ou X est un entier supérieur à 2.
Soit U un système quelconque de n nombres réels u" ('I' =-:-c: 1, ... , n)
et U* Ie système formé par les n 2 nombres U
UI} ('I' = 1, ... , n; e= 1, ... , n);
nous désignons par D (U) et D (U*) les discrépances des suites U et U*.
L'inégalité
y -
D (U)
< C lYD (lI*)
.
Nous démontrerons ici un résultat encore plus généraL Les hypothèses
(22) seront remplacées par la seule condition moins exigeante
(25)
a
ou - est encore une fraction irréductible à dénominateur positif et ou
r :?:
q
1. Dans ces conditions on a:
(26)
ou !; = (r + q X-I) (q-I + XI-k).
Nous démontrerons même un résultat un peu meilleur, à savoir Ie suivant:
Théorème I: Soit
k
qJ
(y) =
a
~! +
de M. VINOGRADOW indiquée dans la première communication lui a
permis de démontrer 4) que si
q - q2
I -al-==r
a
X=- q'e-I .
(22)
. a
a
ou --- désigne une fraction irréductible à dénominateur positif, il cor
q
respond à tout nombre positif 8 une constante Cl telle que
r
(23) 5)
Dans la première note nous avons amélioré l'inégalité (21) de M.
VINOGRADOW et avons démontré qu' à tout nombre positif 8 correspond
une constante ?'I telle que
(24)
4) VINOGRADOW, Ueber die Bruchteile eines ganzen Polynoms. Bull. Acad. Sci. U.R.S.S.
(6) T. 20, 585-600 (1926).
5} Dans cette communication les leUres C désignent toujours des constantes convenables
dépendant uniquement de k et de [; edes constantes dépendant uniquement de Ic; enfin
y des constantes dépendant uniquement de f,
yk-I + ... + a k
un polyn6me de degré k =- 1 en y à coefflcients réels et supposons que
1
et
al
(21)
---
t:
ou - est une I raction irréductible à dénominateur positif et od r =- 1.
q
La discrépance D (Y) du système qJ (1), qJ (2), ... , qJ (X) vérifie, paur
tout entier X =- 3 et pour tout nombre positif 8, r inégalité :
D (Y)
<C
4
XO J !;(!-e)2l-k
•
(27)
ad x=logXet !;=(r+qX-I)(q-I+XI-'c); l'exposant w dépend uni~
quement de k et de 8.
L'inégalité (26) résulte toujours de (27), mais il peut se faire que (27)
soit meilleur que (26).
Déjà I'inégalité (23) fournit une démonstratian élémentaire du théorème
de WEYL qu'un polyn6me, dont Ie coefficient du terme de plus haut
degré est irrationnel, est uniformément réparti modulo un. En effet Ie
110mbre a est alors irrationne1 et si X augmente indéfiniment on peu t
trouver des entiers q augmentant indéfiniment et vérifiant les conditions
(22). L'inégalité (23) montre alors que D (Y) tend vers 0 si X augdtente
556
557
indéfiniment, ce qui constitue précisément la définition du fait que Ie
polyn6me cp (y) est uniformément réparti modulo un.
N ous montrerons encore que les résultats trouvés permettent aussi
d' obtenir des bornes supérieures non triviales pour les sommes de WEYL.
Nous démontrerons que pour tout système U formé par n nombres
réels u" (Y
L ... ,n) on a
Ze système des no = nj + n2
+ nrn nombres obtenu en réunissant
les systèmes UI' U 2, .... Urn. Pour tout couple de nombres réels a et (J
soit (a -(J - [a-(J]
DI' ((J, a)) nl' Ze nombte des éZéments u de Za suite
(~= 0, 1, ... ,m) véri[iant les inégalités
+ ...
+
cru
O-=':u-(J-[u-(J] <a-(J-[a-(J].
=
\
~ 1:
n
AZors on a:
e2niuY\==2nD(U).
(28)
,'=1
d' ou résulte en particulier:
Il en résulte en particulier Ie théorème suivant:
Théorème II: Sous les hypothèses et avec Zes notations du théorème I
on a pour tout nombre positif ë r inégalité:
X-I
\
1: e2ni
?(Y) \
< Cs
X0l
~(I-e)2j-k.
La démonstration de ce lemme se déduit immédiatement de la définition
des Di' ((J, a).
Lemme 3: Soit a un nombre del véri[iant la condition (25); soit L
un nombre naturel ~.c:: X; enfin soient (J et a des nombres réels avec
y=1
Nous décomposerons les démonstrations en plusieurs lemmes. Les
lemmes 1 et 2 sont cl'un intérêt plus général.
Lemme 1: Inégalité de CAUCHY généralisée: Soient a v , by(Y= L .. ., n)
un système de n couples de nombres l'éels positifs. Pour tout nombre
Je avec 0
1 on a r inégaiité:
a:=-
O.
Dans ces conditions Ze nombre l'L d es sys t''emes d' en t'letS hI ' .•• ' JIk-I, I
véri[iant les relations
o-== a hl '"
< }, <
h k1 Z-(J - [a hl ... h k - 1 i-(J]
1 ~ I hx I - X
(x =--= 1, ... , k-l);
satisfait po ut' tout nombt'e positif
<1à
ë
1 -=.:
<a?
[-==
L~ .
(30)
l'inégalité
(31 )
n
Démonstration:
Posons JE" a v = A et JE b" = B. En vertu de la
~'=1
concavité de la fonction log on a pour chaque
Y
= 1, ... ,n
l' inégalité :
ou x:= log X et ou ['exposant
Démonstration:
ne dépend que de k et de e.
WI
Nous pouvons écrire
a
Eh:
q
q2
a= "-Olt fJ est un nombre rée1 avec
I u I-=': Xk-l L.
I fJ I ::::: 1. Soit u un entier non nul avee
On peut poser
b
fJl
ua=-+--···
q
2q
- p 0 ur ')l =1, ... , n , on obtl'ent au second
' - l't
1 es
E n somman t ces mega
membre la valeur 1 et Ie lemme est démontré.
Lemme 2: Soit UI' (~= L ... ,m) un système formé par nl" nombres
ou best entier et ou fJl est rée1 avee
Soit v un entier avee -
i
-=.:
v
<
I fJl 1-== 1.
-i-,
v peut done prendre q" valeurs
entières eonsécutives. Alors
réels et soit
(u
av+b+fJl! r
+ v) a = --q
q
ou
I
fJ
I fJl! I = ~
q
fJl I
+ -::::: 1.,
2r
558
559
Si v parcourt les q valeurs entières considérées, av + b parcourt un
système complet de rest es modulo q car a est premier avec q. Le nombre
des entiers v avec
OU G I et
w2
ne dépendent que de k et de g. D'autre part comme t (w)
L
ne prend que les valeurs 0 ou 1 on a (t (w) )g-l
g
2: (t (w) )g-I
= .J: t (w) -= 2 Xk-I (3, + a q) (q-I L + Xt-k).
IV
est donc au plus égal au nombre d' en tiers r avec
q
+
+
TL
q
+
au plus à 2,
aq
1 -= 3, aq.
Posons alors hl'" hk- l 1= w et désignons par 'k (w) Ie nombre de
systèmes hl>"" hk--l' I vérifiant cette relation. La suite
c'est~à~dire
IV
On obtient donc
, ~ r
+ ---,
'
---=--e<a
q
= t (w) et en vertu de (33)
< G 2 Xk-l Lx''',
I
1(3]; + aq) (q-I + L-I Xt-k) II-iJ
ou G 2 ne dépend que de k et de g. Soit alors E un nombre positif
arbitraire
L rinégalité (31) est triviale si (3,+aq) (q-I+L-I Xl-kj
1. Si
==
<
au contraire (3 ,+aq) (q-I+L-l XI-kj
< L il suffira de prendre g=1
+ [
+J
pour que l'inégalité (31) soit vérif1ée. Le lemme 3 est donc démontré.
+ <
+
parcourue par les entiers w contient q-l (2 Xlc-l L q)
2 q-l (Xk-l L
q)
suites partielles, de q entiers w au plus, telles que I' on puisse poser
w
= a + v avec -
au plus 3,
+ aq
i -= < i .
v
Dans une telle suite partielIe on a donc
entiers w avec
véri{iant les relations (30) satisfait paar tout nombre positif E<l à l'inégalité
o-= aw-e-[aw-e] < a.
(32)
Désignons alors par t (w) une fonction prenant la valeur
si w vérifie
la relation (32) et la valeur 0 pour les autres valeurs de w. On aura ainsi:
.J: t (w)
-= 2 X"-l (3, + a q) (q-I L
+ Xt-k)
IV
-=::
ou ['exposant
W3
ne dépend qae de k et de
Démonstration : Pour une valeur donnée de I, Ie nombre des systèmes
hl • ...• hk_l' I considérés est T l - Tl-I, ou Tl est Ie nombre déf1ni dans
Ie lemme 3 et ou ron a posé Ta = O. Par suite
2' 'Ic (w) t (w)
IV
ou la som me .J: est étendue aux valeurs entières non nulles de w avec
[w
[-= Xlc-l L. Soit
1
L T l -- T l .J: I -1- =--= .J:
I
g un nombre naturel, I'inégalité de CAUCHY généra~
lisée (Iemme 1) appliquée avec Je
1
= -g
donne:
<G
Xlc-1 LX
1=1
et en utilisant la sommation par parties
Le lemme 3 avec I à la place de L donne
On a 6)
.J: ('k (W))fl
1
E.
(33)
et
TL
Lem me 4: Soit a an nombre réel véri{iant la condition (25) et soit
L un nombre naturel -= X. Qaels qae soient les nombres réels e et a,
-- 0
1
avec a ~-~ , la som me .J: I I étendae aax systèmes d'entiers hl> ... ,hlc - I , I
g
("2
IV
6) Vair par exemple VAN DER CORPUT, "Une inégalité relative aux sommes de WEYL".
Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetenseh., Amsterdam, 42, 461-467 (1939): et Indagationes
Mathematicae 1, fasciculus 3 (1939).
c'est~à~dire comme I =- 1
1
560
561
Par conséquent
+
Or 1
+
1
L-I
+ 1 < 1 + iog L
z --
1=1
i
-=::
2 x et Ie lemme est démontré.
Lemme 5: Soit a un nombre réei tei que
Ia - -~q 1-==;
q
~
est
q
nombre =- 1.
ou
une fraction irréductible à dénominateur positif et T un
Désignons par Yh .. .h-I un système formé par les nombres ah l .·· h k - I y f$
"
avec 1hx 1-== X (u
1, ... , k-1). y parcourant une suite d'entiers consécutifs
XI, XI
1, ... , X"-1 ou XI, X" et f$ sont des constantes dépendant
-=::'XI
X" =
-== X·
d e h I •... ' h ',-I. avec O=
. posons XI' - X I -_- N h" ... ,hk_l·
Pour tout nombre positif ë on a alors
+
+
est donc inférieur à a 11
3 et par conséquent pour la suite totale
XI. XI
1, ...• XI
nl ll-1 inférieur à
+
=
+
Nous recommençons cette opération avec la suite restante. Soit de façon
générale pourfk==21asuite restante XI+nlll+ ... +nl'-l[f'-I •.... X"-l
et soit X,u
X" - XI - (nI [I
nf<-I [1'-.1) Ie nombre d' entiers de
cette suite.
+ ... +
=
n
existe un entier i fM avec 1 -== i f< -=: 2~"
dépendant de hl'" hk -
I•
tel que
•
<
_ al'
a h I ' " h k-I - lil
21'·-1
+ ---z;
gLl
UI'
(36)
ou? est une fraction irréductible et &1' un nombre réel avec --1 -== &1'
,u
< 1.
Divisons XI'. par ZI" il vient:
ou texposant w 4 ne dépend que de k et de ë et ou ~=(i+qX-I) (q--I +XI-k).
Démonstration: Considérons d' abord la contribution des term es pour
Iesquels Ie produit hl ... h"_1 n'est pas nul.
11 existe un entier ll' avec 1 === II -=: X, dépendant de hl," .• h'c-I>
tel que
Le raisonnement précédent montre qu'il y a moins de aZ n
I'
I'
+ 3X,,-,
ZI'.
entiers y vérif1ant (35) dans la suite
(34)
La suite totale XI • ... , X" -1 sera ainsi épuisé au bout de m opérations •
OU ~I est une fraction irréductible et
&1
un nombre réel avec -1 ~&I
< 1.
Divisons X"_XI par ll' il vient:
-== - xZ2" +1 .
ou. m =
og
En euet
Ir
comme l-==Z-==X
= I' = - ' I ' lI' ne peut p Ius exister
21'-
pour des valeurs de p. dépassant -~--1. Le nombre d'entiers y de la
log 2
suite Xl .... , X" - 1 avee (35) ne dépasse done pas la valeur
+
Partageons alors la suite XI. XI + 1, ... , XI
nl i l -1 en nl suites
partielles de I1 entiers consécutifs chacune. Quand l'entier y parcourt
une telle suite partielIe on a
a hl ... hk--I Y
= -Z--Y + Ifl XY =l
al
I
I
('I
TI
ou l' on a posé XI = X.
de m opérations on a
+ T&; (modI)
I
La suite XI, ... , X" - 1 étant épuisée au bout
m
ou 0
-=: rl -=: 11-1
et ou
1
&;
1
=
I fJ;tl-== 1. L'entier
rl
parcourtunsystème
complet de restes modulo i l , car al est premier avec i l • Le nombre
d' entiers y de cette suite partielle avec
o-== a hl'"
h k-
1
y-e- [a hl'" hk- I y-e]
<a
(35)
Z i,u n l , = X" -- XI = N h, ... hk _ l .
/,=1
D'autre part pour fk
== 2
on a
563
562
En remplaçant eneore e par e - fJ dans la relation (35) on voit que Ie
nombre des éléments du système Y h1 ,.. .h-I tels que y vérifie la relation
(35) ainsi modifiée est au plus
Considérons maintenant Ie polynöme
k
rp (y)
= a ~! + al yk-I + ... + a
k
de degré k =- 1 en y, à eoefficients réeJs. Supposons que a vérifie Ja
condition (25). Oésignons, pour tout nombre natureJ X=- 3, par Y Je
système formé par les nombres rp(I), rp(2), ... ,rp(X). Oésignons par
Ce résultat vaut pour ehaque 0:': O. Par suite
Yhl, ... ,h x' ou 1 -=:
u
-== k-l
et
I hl I-== x, ... ,I hx 1-= X,
Je système formé par Jes nombres
et
~2
N hl, ... ,hk_1 D(Yh '''',k_1
h
)<6X
1
m
~
f,=1
rp (y
1
2' 3 ---1'.-lz
2
1<
(37)
ou ~ 2 est étendu aux systèmes hl, ... , h k - I tels que Ie produit hl ... hk =f 0
et ou ~ 3 est étendu aux systèmes hl, ... , h,,_I, Z,u eorrespondants. Or
d'après les relations (34) et (36) on a
(p,= 1, ... , m).
On peut done appliquer Ie lemme 4 avee
et on obtient
e= -
2,u-1
X-I et
0=21'-
+ h~ + ... + h x)- ~4 rp (y + hl + ....+ hYx-l) +?
+ 2 s rp (y + hl + .. . hX-2) ... + (-1) rp (y) ~
ou les sommes ~ 4' ~ s etc. sont étendues aux eombinaisons différentes
des som mes d'entiers h; y parcourt une suite de N h" ... ,hx entiers eonsé~
+
eutifs tels que ehaque argument y
hl
entières positives ne dépassant pas X.
X-I
~
N hll ... , hl'. D (Yhl' ...
'Z~
= (r + q X-I) (q-I + Xl-kl
+
1. l'inégalité (37) montre alors que la contribution
og2
des termes avee hl'" h k - I =fO à ~ N h1 ,... ,hk _ 1 D (Yhl, ... ,hk-l) est moindre
hu·· .,hk_1
que C IO Xk X"'4 ~I-e.
O'autre part Ie nombre des systèmes hl, ... ,h',-I avee hl···h"_I=O
est inférieur à Cl X k - 2 C ll Xk-l XO'4 ~l-'. En effet
Comme m
-=:
<
~l-e
> (q X-I. q-l)1-e =
hx
~
1 et pout' tout
) < C 12 X X +I X 0',. çé(l-e)2x+l-k
est étendu aux systèmes hl" .. , hx avec
(39)
I hl 1-= X, ... , Ihx I::=: X
et ad l'exposant Ws ne dépend que de k, de u et de E. Pout' u = 0, Ze
membt'e de gauche de (39) désigne pat' convention Ze nombre X D (Y).
=
=
Remarque: Le théorème I s' obtient en faisant u 0 dans Ie Iemme 6.
Démonstt'ation: Le lemme 6 est démontré pour u k -I, ear l' expression
(38) peut aJors être mise sous Ja forme a hl ., . h k - I Y
fJ et Ie Jemme 6
se réduit aJors au Iemme 5. Noussupposerons done l'inégaJité (39) déjà
démontrée pour u 1 ::=: k - 1 au Jieu de u et nous Ja démontrerons
pour u.
+
+
Y:
Oésignons par
des éléments de Y h"
de Yhu ... ,hx +1
1 , • ..
,hx
... ,h x
Ie système formé par les N~" ... ,hx différenees
deux à deux. On a en vertu de la définition
X-I +e.
Le nombre de termes N hl ... hk-I d' un tel système étant -== X, la eontri~
bution des term es avee hl'" h k - l
0 à ~ Nh" ... ,hk_l D (Yh" ... ,hk-l)
hu·· .,hk-l
est moindre que C ll X" x"', ~l-e et Ie Iemme est démontré.
=
J
O::=: u -= k -
hiJ ••• ,hx
hl,.. 0' hl'.
~
... ne prenne que des valeurs
Lemme 6: Pout' chaque entier u avec
nombt'e positif ê on a
ad
11 vi ent done en posant
(38)
ou , 2' est étendu aux suites Yhl, ... ,hx,hz+1 pour 1esque IJ es h 1' ... ' hx sont
"z+1
fixes et ou hX+I parcourt les vaJeurs possibJes pour les différenees des
entiers y eorrespondant aux éléments de Y h " ... ,hx'
564
565
Pour 0 -=:: h
L'inégalité (29) du lemme 2 donne alors:
NL .. ,hz D (Y:" .. .,hJ -=:: Z N h" ... ,hz,hz + 1 D (Yh" ... ,h z,hz + 1)"
hz
Z
h11
•••
,h z
N h""', hz D(Yh"
...
,hJ<Y2
... ,h z
h-=:
= u,,-[u,,]
m
U et e'
-
< .~
est alors
Z
hll
à la plaee de
•••
,h";.
m -- I, Ie nombre des
(40)
+1
En appliquant l'inégalité (24) avee Y h"
à la plaee de e il vient
-=::
Nh" ... ,h z lD(Yh:, ... ,hJP-<'
(~- + ê:.,(h+ 1)- ê:.,(h)) n.
u" avee
h+l
< ._m
.
Pour un nombre
U
"
.
(41)
vérifiant (41),
l' erreur faite en remplaçant e (u,,) par e ( ; ) est en module inférieure à
~m;rz:.
En effet:
-=:: Yz
=
XZe'
t N h"
S
Z
h 11
••
Z
.,hx.
... ,hz D (y*h" ... ,h z) l!-e' .
L' inégalité de CAUCHY généralisée (lemme 1) appliquée avee 1 =
donne alors:
.:E Nh" .... hz D (Yh" ... ,h z )
t
+
10'
' t,SIon
' l'
Par eonsequen
remp Iace Iasomme -1 .:En e (u ,,) par
n
(h) (
1 m-I
1
-Z e-n h=O
m
m
hü ... ,hi(
< Cl} X
zel
Xx(He')
Nl~"
1 Z
hll
•• .
,hx
... ,h z
D (Y:" ... ,h) lI-;I.
O'après l'inégalité (40) et l'inégalité (39) avee u
au lieu de 8 on obtient:
2
~S
h ll
~' N h1J ••• ,h x
•••
D(Y*h11 ••• ,hx)\t-el:::=::s
~
,hx
Z
hl1
••
+ 1 au
Iieu de u et
10'
ê:., (h) ) n,
on eommet une erreur ne dépassant pas en module - . n. -2n
n
m
(h)
m
2n
m
Comme d'autre part m-·I
Z e .- = 0, on a
h=O
e'
N hl1 ... ,hx+l D(Yhv ,··, h 1.+1 )tt5
.,h z + 1
+ ê:., (h + 1) -
1'=1
1
~. .
h:'O e
m-I
(h) (
m'
1
m
+ ê:., (h + 1)-ê:., (h) ) n = h:O e (h)
m (ê:., (h+ 1)-ê:., (h)).
m·-I
La sommation par parties, eompte tenu de ce que ê:., (0) = ê:., (m) = 0,
transforme la dernière somme en
Or (1-8')(1-28')=1-3I::'+2I::,z=-1-38', i! sumt done de prendre
-=: i 10 pour que Ie Iemme 6 et par eonséquent aussi Ie théorème I
soient démontrés.
Pour démontrer Ie théorème II nous avons vu plus haut qu'il suffit
de démontrer Ie lemme suivant:
8'
Lemme 7: Soit U un système quelconque de n nombres réels
UI' U2' ••• ,u n , alors
[~
n
i
e2niuy
I-=:: 2n D
(U).
,,=1
+ ê:., (h)) n
Ie nombre des u" avee
o-=:: Uv-
= 1. ... ,m-l,
par suite
11: ~e(h:l) -e(,~); 6(h)j
-=
D(U) ~: ~ je (h m 1) jj1-e (!)
1
~
-=:
D(U). m. 2mn.
IJ en résulte done que
=
Démonstration: Posons e 2nil•
e (1) pour tout nombre 1. Soit m un
nombre naturel arbitraire; pour tout entier h avee 0 ~ h -=: m nous
désignons par ( ;
Or I ê:., (h) I -=: D (U) pour h
[uv]
< !2_.
m
~ .2~
1n
,'=1
e (uv)
I-=:: 2 n
(-~
+ D (U)) ,
m
quel que soit Ie nombre naturel m. IJ suffit de faire augmenter indéfiniment
m pour que Ie lemme 7 soit démontré.