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Mathematics. - Sur la discrépance modulo uno (Deuxième commu~
nication.) Par J. G. VAN DER CORPUT et Cl-i. PISOT.
(Communicated at the meeting of June 24, 1939.)
Dans cette communication, nous nous proposons de démontrer avec
la théorie de la discrépance les résultats que l' on obtient pour la répartition
modulo un des polyn6mes avec la méthode de WEYL.
Soit
y'C
qJ (y) = a l~! + al y'c-I + ... + a'e
(20)
un polyn6me de degré k =- 1 en y à coefficients réels. N ous étudierons
la discrépance du système Y formé par les nombres qJ (1), qJ (2), ... , qJ (X),
ou X est un entier supérieur à 2.
Soit U un système quelconque de n nombres réels u" ('I' =-:-c: 1, ... , n)
et U* Ie système formé par les n2 nombres Uy - UI} ('I' = 1, ... , n; e = 1, ... , n);
nous désignons par D (U) et D (U*) les discrépances des suites U et U*.
L'inégalité
D (U) < C lYD (lI*) .
(21)
de M. VINOGRADOW indiquée dans la première communication lui a
permis de démontrer 4) que si
1
et X=- q'e-I .
(22)
a
ou --- désigne une fraction irréductible à dénominateur positif, il cor
r
q
respond à tout nombre positif 8 une constante Cl telle que
(23) 5)
Dans la première note nous avons amélioré l'inégalité (21) de M.
VINOGRADOW et avons démontré qu' à tout nombre positif 8 correspond
une constante ?'I telle que
(24)
4) VINOGRADOW, Ueber die Bruchteile eines ganzen Polynoms. Bull. Acad. Sci. U.R.S.S.
(6) T. 20, 585-600 (1926).
5} Dans cette communication les leUres C désignent toujours des constantes convenables
dépendant uniquement de k et de [; edes constantes dépendant uniquement de Ic; enfin
y des constantes dépendant uniquement de f,
555
Un raisonnement analogue à ce1ui de M. VINOGRADOW, utilisant ]'iné~
galité (24) nous permettra d'améliorer (23) et de montrer sous les
hypothèses (22)
Nous démontrerons ici un résultat encore plus généraL Les hypothèses
(22) seront remplacées par la seule condition moins exigeante
(25)
a
ou -est encore une fraction irréductible à dénominateur positif et ou
q
r :?: 1. Dans ces conditions on a:
(26)
ou !; = (r + q X-I) (q-I + XI-k).
Nous démontrerons même un résultat un peu meilleur, à savoir Ie suivant:
Théorème I: Soit
k
qJ (y) = a ~! + al yk-I + ... + ak
un polyn6me de degré k =- 1 en y à coefflcients réels et supposons que
a ---
I
-al-==r
q - q2
. a t:
ou - est une I raction irréductible à dénominateur positif et od r =- 1.
q
La discrépance D (Y) du système qJ (1), qJ (2), ... , qJ (X) vérifie, paur
tout entier X
=- 3 et pour tout nombre positif 8, r inégalité :
D (Y) < C4 XO
J
!;(!-e)2l-k • (27)
ad x=logXet !;=(r+qX-I)(q-I+XI-'c); l'exposant w dépend uni~
quement de k et de 8.
L'inégalité (26) résulte toujours de (27), mais il peut se faire que (27)
soit meilleur que (26).
Déjà I'inégalité (23) fournit une démonstratian élémentaire du théorème
de WEYL qu'un polyn6me, dont Ie coefficient du terme de plus haut
degré est irrationnel, est uniformément réparti modulo un. En effet Ie
110mbre a est alors irrationne1 et si X augmente indéfiniment on peu t
trouver des entiers q augmentant indéfiniment et vérifiant les conditions
(22). L'inégalité (23) montre alors que D (Y) tend vers 0 si X augdtente

556
indéfiniment, ce qui constitue précisément la définition du fait que Ie
polyn6me cp (y) est uniformément réparti modulo un.
N ous
montrerons encore que les résultats trouvés permettent aussi
d' obtenir des bornes supérieures non triviales pour les sommes de WEYL.
Nous démontrerons que pour tout système U formé par n nombres
réels u" (Y = L ... ,n) on a
\
~ 1: e2niuY\==2nD(U).
n ,'=1
Il en résulte en particulier Ie théorème suivant:
Théorème II: Sous les hypothèses et avec Zes notations du théorème I
on a pour tout nombre positif ë r inégalité:
\
X-I 1: e
2ni
?(Y) \ < Cs X0l ~(I-e)2j-k.
y=1
Nous décomposerons les démonstrations en plusieurs lemmes. Les
lemmes 1
et 2 sont cl'un intérêt plus général.
Lemme 1: Inégalité de CAUCHY généralisée: Soient av , by(Y= L .. ., n)
un système de n couples de nombres l'éels positifs. Pour tout nombre
Je avec 0 < }, < 1 on a r inégaiité:
" n
Démonstration:
Posons JE av = A et JE b" = B. En vertu de la
~'=1
concavité de la fonction log on a pour chaque Y = 1, ... ,n l' inégalité :
E t' -
l't -0 )l -1 n on obtl'ent au second
n somman ces mega 1 es p ur ' =- , ... , ,
membre la valeur 1 et Ie lemme est démontré.
Lemme 2: Soit UI' (~= L ... ,m) un système formé par nl" nombres
réels et soit
557
Ze système des no = nj + n2 + ... + n
rn
nombres obtenu en réunissant
les systèmes UI' U2, .... Urn. Pour tout couple de nombres réels a et (J
soit (a -(J - [a-(J] + DI' ((J, a)) nl' Ze nombte des éZéments u de Za suite
cru (~= 0, 1, ... ,m) véri[iant les inégalités
O-=':u-(J-[u-(J] <a-(J-[a-(J].
AZors on a:
(28)
d' ou résulte en particulier:
La démonstration de ce lemme se déduit immédiatement de la définition
des
Di' ((J, a).
Lemme 3: Soit a un nombre del véri[iant la condition (25); soit L
un nombre naturel ~.c:: X; enfin soient (J et a des nombres réels avec
a:=- O.
Dans ces conditions Ze nombre l' d t' d' t' h J I
L es sys 'emes en letS I' .•• ' Ik-I,
véri[iant les relations
o -== a hl '" h
k1
Z-(J -[a hl ... hk-1 i-(J] < a ?
1 ~ I hx I - X (x =--= 1, ... , k-l); 1 -=.: [-== L ~ .
(30)
satisfait po ut' tout nombt'e positif ë < 1 à l'inégalité
(31 )
ou x:= log X et ou ['exposant WI ne dépend que de k et de e.
Démonstration: Nous pouvons écrire
a Eh:
a= "--
q q2
Olt fJ est un nombre rée1 avec I fJ I ::::: 1. Soit u un entier non nul avee
I u I-=': Xk-l L. On peut poser
b fJl
ua=-+--···
q 2q
ou best entier et ou fJl est rée1 avee I fJl 1-== 1.
Soit v un entier avee -i -=.: v < -i-, v peut done prendre q" valeurs
entières eonsécutives. Alors
(u + v) a = --- + - ou I fJl! I = ~ + -- ::::: 1.
a v + b fJl! r I fJ fJl I
q q q 2r ,

558
Si v parcourt les q valeurs entières considérées, av + b parcourt un
système complet de rest es modulo q car a est premier avec q. Le nombre
des entiers v avec
est donc au plus égal au nombre d' en tiers r avec
, ~ r + '
---=--e<a ---,
q q q
c'est~à~dire au plus à 2, + aq + 1 -= 3, + aq.
Posons alors hl'" hk-l 1= w et désignons par 'k (w) Ie nombre de
systèmes hl>"" hk--l' I vérifiant cette relation. La suite
parcourue par les entiers w contient q-l (2 Xlc-l L + q) < 2 q-l (Xk-l L + q)
suites partielles, de q entiers w au plus, telles que I' on puisse poser
w = a + v avec -i -= v < i . Dans une telle suite partielIe on a donc
au plus 3, + a q entiers w avec
o -= aw-e-[aw-e] < a.
(32)
Désignons alors par t (w) une fonction prenant la valeur si w vérifie
la relation (32) et la valeur 0 pour les autres valeurs de w. On aura ainsi:
.J: t (w) -= 2 X"-l (3, + a q) (q-I L + Xt-k) (33)
IV
et
TL -=:: 2' 'Ic (w) t (w)
IV
ou la som me .J: est étendue aux valeurs entières non nulles de w avec
[ w [-= Xlc-l L. Soit g un nombre naturel, I'inégalité de CAUCHY généra~
1
lisée (Iemme 1) appliquée avec Je = -- donne:
g
On a 6)
.J: ('k (W))fl < G1 Xlc-1 LX
g("2
IV
6) Vair par exemple VAN DER CORPUT, "Une inégalité relative aux sommes de WEYL".
Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetenseh., Amsterdam, 42, 461-467 (1939): et Indagationes
Mathematicae
1, fasciculus 3 (1939).
559
OU GI et w2 ne dépendent que de k et de g. D'autre part comme t (w)
L
ne prend que les valeurs 0 ou 1 on a (t (w) )g-l = t (w) et en vertu de (33)
g
2: (t (w) )g-I = .J: t (w) -= 2 Xk-I (3, + a q) (q-I L + Xt-k).
IV IV
On obtient donc
I
TL < G2 Xk-l Lx''', 1(3]; + aq) (q-I + L-I Xt-k) II-iJ
ou G2 ne dépend que de k et de g. Soit alors E un nombre positif
arbitraire < L rinégalité (31) est triviale si (3,+aq) (q-I+L-I Xl-kj == 1. Si
au contraire (3 ,+aq) (q-I+L-l XI-kj < L il suffira de prendre g=1 + [ +J
pour que l'inégalité (31) soit vérif1ée. Le lemme 3 est donc démontré.
Lem me 4: Soit a an nombre réel véri{iant la condition (25) et soit
L un nombre naturel
-= X. Qaels qae soient les nombres réels e et a,
-- 0 1
avec a ~-~ , la som me .J: I I étendae aax systèmes d'entiers hl> ... ,h
lc
-I, I
véri{iant les relations (30) satisfait paar tout nombre positif E<l à l'inégalité
ou ['exposant W3 ne dépend qae de k et de E.
Démonstration : Pour une valeur donnée de I, Ie nombre des systèmes
hl • ...• hk_l' I considérés est Tl- Tl-I, ou Tl est Ie nombre déf1ni dans
Ie lemme 3 et ou ron a posé Ta = O. Par suite
1 L Tl -- Tl-1
.J: I -1- =--= .J: I
1=1
et en utilisant la sommation par parties
Le lemme 3 avec I à la place de L donne
c'est~à~dire comme I =- 1

560
Par conséquent
L-I 1
Or 1 + z -- < 1 + iog L -=:: 2 x et Ie lemme est démontré.
1=1 i + 1
Lemme 5: Soit a un nombre réei tei que I a - -~ 1-==; ou ~ est
q q q
une fraction irréductible à dénominateur positif et T un nombre =- 1.
Désignons par Yh
"
.. . h-I un système formé par les nombres ahl .·· hk-I y + f$
avec 1 hx 1-== X (u = 1, ... , k-1). y parcourant une suite d'entiers consécutifs
XI, XI + 1, ... , X"-1 ou XI, X" et f$ sont des constantes dépendant
d h h O
-=::'XI < X" -== X· XI' -XI _- N
e I •... ' ',-I. avec = =. posons -h
" ... ,hk_l·
Pour tout nombre positif ë on a alors
ou texposant w4 ne dépend que de k et de ë et ou ~=(i+qX-I) (q--I +XI-k).
Démonstration: Considérons d' abord la contribution des term es pour
Iesquels Ie produit hl ... h"_1 n'est pas nul.
11 existe un entier ll' avec 1 === II -=: X, dépendant de hl," .• h'c-I>
tel que
(34)
OU ~I est une fraction irréductible et &1 un nombre réel avec -1 ~&I < 1.
Divisons X"_XI par ll' il vient:
Partageons alors la suite XI. XI + 1, ... , XI + nl il -1 en nl suites
partielles
de I1 entiers consécutifs chacune. Quand l'entier y parcourt
une telle suite partielIe on a
al Y fl
l Y -
('I &; ( dI)
a hl ... hk--I Y = -Z-- + I X = T + T mo
I I I I
ou 0 -=: rl -=: 11 -1 et ou 1 &; 1 = I fJ;tl-== 1. L'entier rl parcourtunsystème
complet de restes modulo il, car al est premier avec il• Le nombre
d' entiers y de cette suite partielle avec
o -== a hl'" hk-1 y-e- [a hl'" hk- I y-e] < a (35)
561
est donc inférieur à a 11 + 3 et par conséquent pour la suite totale
XI. XI + 1, ...• XI + nl ll-1 inférieur à
Nous recommençons cette opération avec la suite restante. Soit de façon
générale pourfk==21asuite restante XI+nlll+ ... +nl'-l[f'-I •.... X"-l
et soit X,u = X" - XI - (nI [I + ... + nf<-I [1'-.1) Ie nombre d' entiers de
cette suite.
n existe un entier i
fM
avec 1 -== if< -=: 2~" dépendant de hl'" hk-I•
tel que
• 21'·-1 Ll
h h _ al' +
UI'
a I'" k-I - lil ---z; g-
(36)
ou? est une fraction irréductible et &1' un nombre réel avec --1 -== &1' < 1.
,u
Divisons XI'. par ZI" il vient:
Le raisonnement précédent montre qu'il y a moins de aZ n + 3X,,-,
I' I' ZI'.
entiers y vérif1ant (35) dans la suite
La suite totale XI • ... , X" -1 sera ainsi épuisé au bout de m opérations •
. -== x +1 E Ir l-==Z-==X l I
ou m = -Z 2" . n euet comme = I' = -'I' I' ne peut p us exister
og 21'-
pour des valeurs de p. dépassant -~--- 1. Le nombre d'entiers y de la
log 2
suite Xl .... , X" -1 avee (35) ne dépasse done pas la valeur
ou l' on a posé XI = X. La suite XI, ... , X" -1 étant épuisée au bout
de m opérations on a
m
Z i,u nl, = X" -- XI = Nh, ... hk_l.
/,=1
D'autre part pour fk == 2 on a

562
En remplaçant eneore e par e - fJ dans la relation (35) on voit que Ie
nombre des éléments du système Y
h1
, .. . h-I tels que y vérifie la relation
(35) ainsi modifiée est au plus
Ce résultat vaut pour ehaque 0:': O. Par suite
et
m 1
~ N D(Y h )<6X ~ 2' ----
2 hl, ... ,hk_1 h1 '''',k_1 32 1'.-lz
f,=1 1<
(37)
ou ~ 2 est étendu aux systèmes hl, ... , hk-I tels que Ie produit hl ... hk =f 0
et ou ~ 3 est étendu aux systèmes hl, ... , h,,_I, Z,u eorrespondants. Or
d'après les relations (34) et (36) on a
(p,= 1, ... , m).
On peut done appliquer Ie lemme 4 avee e = - 2,u-1 X-I et 0=21'- X-I
et on obtient
11 vi ent done en posant ~ = (r + q X-I) (q-I + Xl-kl
Comme m -=: 'Z~ + 1. l'inégalité (37) montre alors que la contribution
og2
des termes avee hl'" hk-I =fO à ~ N
h1
, ... ,h
k_1 D
(Yhl, ... ,hk-l) est moindre
hu·· .,hk_1
que C
IO
Xk X"'4 ~I-e.
O'autre part Ie nombre des systèmes hl, ... ,h',-I avee hl···h"_I=O
est inférieur à Cl Xk-2 < C
ll
Xk-l XO'4 ~l-'. En effet
~l-e > (q X-I. q-l)1-e = X-I +e.
Le nombre de termes N
hl
... hk-I d' un tel système étant -== X, la eontri~
bution des term es avee hl'" hk-l = 0 à ~ Nh" ... ,hk_l D (Yh" ... ,hk-l)
hu·· .,hk-l
est moindre que C
ll
X" x"', ~l-e et Ie Iemme est démontré.
563
Considérons maintenant Ie polynöme
k
rp (y) = a ~! + al yk-I + ... + ak
de degré k =- 1 en y, à eoefficients réeJs. Supposons que a vérifie Ja
condition (25). Oésignons, pour tout nombre natureJ X=- 3, par Y Je
système formé par les nombres rp(I), rp(2), ... ,rp(X). Oésignons par
Yhl, ... ,h
x'
ou 1 -=: u -== k-l et I hl I -== x, ... ,I hx 1-= X,
Je système formé par Jes nombres
rp (y + h~ + ... + hx )- ~4 rp (y + hl + .... + hYx-l) +?
+ 2 s rp (y + hl + .. . hX-2) ... + (-1) rp (y) ~
(38)
ou les sommes ~ 4' ~ s etc. sont étendues aux eombinaisons différentes
des som mes
d'entiers h; y parcourt une suite de Nh" ... ,hx entiers eonsé~
eutifs tels que ehaque argument y + hl ... ne prenne que des valeurs
entières positives ne dépassant pas X.
Lemme 6: Pout' chaque entier u avec O::=: u -= k -1 et pout' tout
nombt'e positif ê on a
~ N D (Y ) < C XX+I 0', é(l-e)2x+l-k
h
ll
... , hl'. hl' ... J hx 12 X . ç
hiJ ••• ,hx
(39)
ad ~ est étendu aux systèmes hl" .. , hx avec I hl 1-= X, ... , I hx I::=: X
hl,.. 0' hl'.
et ad l'exposant Ws ne dépend que de k, de u et de E. Pout' u = 0, Ze
membt'e de gauche de (39) désigne pat' convention Ze nombre X D (Y).
Remarque: Le théorème I s' obtient en faisant u = 0 dans Ie Iemme 6.
Démonstt'ation: Le lemme 6 est démontré pour u = k -I, ear l' expression
(38) peut aJors être mise sous Ja forme a hl ., . hk-I Y + fJ et Ie Jemme 6
se réduit aJors au Iemme 5. Noussupposerons done l'inégaJité (39) déjà
démontrée pour u + 1 ::=: k -1 au Jieu de u et nous Ja démontrerons
pour u.
Oésignons par Y:
1, •
.. ,hx Ie système formé par les N~" ... ,hx différenees
des éléments
de Yh" ... ,h
x deux à deux.
On a en vertu de la définition
de Y
hu
... ,hx +1
ou 2' est étendu aux suites Y 1 IJ h h
, hl, ... ,hx,hz+1 pour esque es 1' ... ' x sont
"z+1
fixes et ou hX+I parcourt les vaJeurs possibJes pour les différenees des
entiers y
eorrespondant aux éléments de Yh" ... ,hx'