Probabilités - Mathématiques

Probabilités (rappels de 1ère )
I Description d’une expérience aléatoire
Lorsque l’on effectue une expérience aléatoire (qui dépend du hasard), rien ne peut nous laisser prévoir le
résultat.
Exemple : on lance un dé ordinaire.
On ne peut prévoir s’il va tomber sur la face 1, ou 2 …….par contre il est certain qu’ il va tomber sur une de
ses 6 faces.
Les résultats possibles de cette expérience sont appelés éventualités ou issues .
Dans l’exemple précédent les différentes éventualités sont ………………
L’ensemble des toutes les éventualités s’appelle l’univers, noté Ω (dans tout le chapitre cet ensemble est fini).
Dans l’exemple précédent : Ω = ………………….
Un événement est une partie ou sous-ensemble de l’univers.
On dit qu’un événement A est réalisé lorsque le résultat obtenu à l’issue de l’expérience aléatoire est une
éventualité de A
Dans l’exemple précédent, on considère A l’événement « Le résultat du lancer est un nombre pair »
A = ……………………..
II Loi de probabilité
1) Définition
Définition : On définit une loi de probabilité sur l’univers Ω = { x1, x2, ………xn} en associant à chacun des
éléments xi de Ω un réel positif ou nul pi, appelé probabilité de l’issue xi ; ces réels vérifiant la relation :
p1 + p2 + …….. + pn = 1
Remarque :Une loi de probabilité est souvent décrite par un tableau précisant les couples (xi, pi )
Ex : Un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, est truqué de sorte que la probabilité d’apparition de chaque face soit
proportionnelle au numéro qu’elle porte
On lance ce dé une fois et on note lé résultat obtenu.
Définir la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.
2) Equiprobabilité
1
Définition : lorsque les n issues ont la même probabilité pi = , on dit qu’elles sont équiprobables et que la loi
n
de probabilité P sur Ω est équirépartie.
Par convention les expressions telles que pièces ou dés équilibrés, tirages au hasard, jetons ou boules
indiscernables au toucher, indiquent un support matériel de l’expérience ne privilégiant aucune issue.
Ex :
On considére l’expérience aléatoire « On lance 2 fois une pièce de 1 € bien équilibrée»
Définir la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire
III Probabilité d’un événement
1) Définition
Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire
On considère la loi de probabilité sur Ω définie par :
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
La probabilité associée à cette loi de probabilité est l’application P qui, à tout événement A inclus dans
Ω associe le réel P (A) défini par :
• P(Ǿ)=0
• Si A ≠ Ǿ, P (A) est la somme des réels pi, pour tous les xi appartenant à A, soit :
P (A) =
∑ pi
xi C A
Le réel P (A) est appelé la probabilité de l’événement A.
2) Propriété
Soit P une probabilité sur l’univers Ω . Alors :
P (Ω ) = 1 et, pour tout événement A, on a 0 ≤ P (A) ≤1
Ex : On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. La loi de probabilité est donnée par le tableau :
Face
1
2
3
4
5
1
1
1
1
Probabilité
a
12
4
12
3
a) Déterminer a
b) Calculer la probabilité des évènements :
A «Le numéro obtenu est pair »
B « Le numéro obtenu est un multiple de 3 »
IV Calculs de probabilités
1) Evénement certain, événement impossible
L’ensemble vide est l’événement impossible. P (Ǿ) = 0
L’univers est l’événement certain. P (Ω
Ω )=1
Un événement élémentaire est un événement formé d’un seul élément.
6
1
12
2) Situation d’équiprobabilité
Propriété : en situation d’équiprobabilité, si A est un événement formé de k éventualités dans un univers qui
k
en contient n, alors P (A) =
n
On écrit aussi : P (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A : nombre de cas possibles
Ex :On place dans un sac quatre jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard l’un parès l’autre, sans les remettre, trois jetons du
sac. On lit les lettres obtenues.
a) Déterminer à l’aide d’un arbre, toutes les issues de l’expérience.
b) Calculer la probabilité des événements E et F.
E « le 1er jeton tiré porte la lettre B »
F « Le jeton marqué C n’a pas été tiré »
3) Réunion et intersection d’événements
Définition et théorème :
L’événement A et B, noté aussi A ∩ B, est l’événement « A et B se produisent simultanément ». Il est formé
de toutes les éventualités appartenant à la fois à A et à B
L’événement A ou B, noté aussi A ∪ B, est l’événement « A ou B se produit ». Il est formé de toutes les
éventualités appartenant à A ou à B
Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints lorsqu’ils n’ont pas d’éléments en commun.
Ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.
A∩B=∅
Si A et B sont deux événement quelconques, on a:
P ( A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Si A et B sont incompatibles, alors : P ( A ∪ B) = P (A) + P (B)
Ex : Dans un groupe de 20 personnes, 10 personnes s’intéressent à la pêche, 8 à la lecture et 3 s’intéressent à la pêche et à la lecture.
On choisit au hasard une personne du groupe.
a) Calculer la probabilité qu’elle s’intéresse à la pêche ou à la lecture.
b) Calculer la probabilité qu’elle ne s’intéresse ni à la pêche, ni à la lecture.
4) Evénements contraires
On appelle événement contraire de l’événement A , noté A, le complémentaire de A dans Ω .
Il est formé de tous les éléments de Ω n’appartenant pas à A .
On a :
P (A) = 1 – P (A)
PROBABILITES : Variable aléatoire
I Définition et notation
Exemple : On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6
Pour tout entier i entre 1 et 6, l’événement élémentaire « on obtient la face i » est notée {i}
1) Quelle est la probabilité d’obtenir chacune des faces du dé lors d’un tirage ?
2) Le joueur lance un dé et selon le résultat obtenu il marque ou perd des points.
Résultat du lancer du dé
Points
1
2
2
2
3
-1
4
-1
5
-1
6
-1
On note X le nombre de points obtenus
a) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
b) Décrire l’événement { X = 2 }à l’aide des événements élémentaires, puis calculer sa probabilité.
c) De même décrire l’événement { X = - 1 }, puis calculer sa probabilité
3) a) Que pensez-vous du raisonnement suivant ?
-1 +2 1
« X peut prendre deux valeurs 2 et -1, donc en moyenne, on peut espérer gagner
= point.
2
2
b) Calculer la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités respectives.
Explique pourquoi cette valeur est appelée espérance mathématique de X
Définition : On appelle variable aléatoire sur un univers fini, une fonction qui, à tout événement élémentaire
de l’univers, associe un nombre réel.
Remarque : Elle est généralement notée par une lettre majuscule (souvent X)
Notation : X : A
a
où A est un événement élémentaire de l’univers et a un nombre réel
a est une valeur prise par X
On note { X = a } , ou plus simplement X = a, l’événement qui contient tous les résultats de l’expérience aléatoire associés
à la valeur a
Exercice : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibréeet on note, pour chacun des deux lancers, P si la pièce retombe
côté pile et F si la pièce retombe côté face.
1) Quel est l’univers associé à cette expérience aléatoire ?
2) On décide que l’obtention du côté pile fait gagner 5 € au joueur, alors qu’il perd 2 € si la pièce retombe sur le côté
face.
Soit X la variable aléatoire qui, à un résultat du jeu, associe le gain du joueur
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) A quels résultats du jeu correspondent les événements suivants : X = 10 ; X < 10 ; X ≥ 3 ?
c) Quelle est la probabilité de l’événement X = 10 ?
II Loi de probabilité
Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini muni d’une probabilité P
Soit x1, x2,…….xn les valeurs prises par X
La loi de probabilité de X est la fonction qui, à chacune des valeurs xi prises par X, fait
correspondre la probabilité pi de l’événement X = xi.
Remarque : en général, une loi de probabilité se présente à l’aide d’un tableau de la forme :
xi
x1
x2
…
xn
P (X = xi )
p1
p2
…
pn
Exercice : reprendre l’exercice précédent et établir la loi de probabilité de X
III Fonction de répartition
Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini, muni d’une probabilité P
On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur IR par F (x) = P ( X ≤ x )
Exercice : reprendre l’exercice précédent
Les valeurs prises par X sont 10, 3 et – 4
Calculer les probabilités des événements X < - 4 ; X = -4 ; X = 3, puis compléter
Pour tout x < - 4
F (x) =
Pour tout x de [ -4 ; 3[
F (x) =
Pour tout x de [3 ; 10[
F (x) =
Pour tout x > 10
F (x) =
Puis représenter F sur le graphique ci contre
Remarque : La fonction de répartition d’une variable aléatoire définie sur un univers fini est toujours une fonction en escalier
Elle est croissante sur IR, elle prend 0 comme valeur minimale et 1 comme valeur maximale
IV Espérance mathématique
Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2,…….xn avec les probabilités respectives
p1, p2, …pn
On appelle espérance mathématique de X et on note E (X), le nombre réel défini par :
E (X) = p1x1 + p2x2 +….+ pnxn
Remarque : l’espérance est la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire pondérées par leur probabilité.
Dans le cas d’un jeu, on parle de l’espérance de gain, et on considère ce jeu équitable si l’espérance de gain est égale à 0.
Exercice : reprendre l’exercice précédent, calculer l’espérance de gain et dire si le jeu est équitable.
V Variance et écart type
Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2,…….xn avec les probabilités respectives
p1, p2, …pn
On appelle :
Variance de X, et on note V (X), le nombre réel :
V (X) = p1x12 + p2x22 + ……+ pnxn2 – [ E (X)]2
Ecart type de X et on note σ (X) le nombre réel :
σ (X) = V (X)
Remarque : la variance et l’écart type mesurent la dispersion de la variable aléatoire X autour de l’espérance mathématique
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne (autre formule voir livre page 263)
La variance n’a pas d’unité, alors que l’espérance mathématique et l’écart type ont la même unité que les valeurs prises par X
Exercice : calculer la variance et l’écart type de l’exercice précédent