représentations induites des algèbres de lie - E

REPRÉSENTATIONS INDUITES DES
ALGÈBRES DE LIE
Autor(en): Dixmier, Jacques
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 16 (1970)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-43859
PDF erstellt am: 24.05.2017
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REPRÉSENTATIONS
INDUITES DES ALGÈBRES DE LIE 1
par Jacques Dixmier (Paris)
Soit Gun groupe localement compact. Soit Gl'ensemble des classes de
représentations unitaires irréductibles de G. Pour Gcommutatif, Gest le
groupe dual bien connu. Pour Gquelconque, Gpeut, semble-t-il, jouer
dans pas mal de questions le rôle d'objet dual de G.
Supposons que Gsoit un groupe de LIE réel. Soit gl'algèbre de LIE
de G. Il yades relations étroites bien connues entre les représentations
irréductibles de dimension finie (pas nécessairement unitaires) de G, et
celles de g. Pour les représentations de dimension infinie, il existe encore
des relations entre représentations de Get représentations de g, bien plus
A
délicates. Nous yreviendrons. En tous cas, si l'on veut arriver àG, il semble
raisonnable d'étudier les représentations irréductibles (de dimension finie
ou non) de gsur C.
L'étude des représentations, irréductibles ou non, de g, peut se trans
formeren un problème d'algèbre associative, par le passage àl'algèbre
enveloppante 2s (g) de g. Rappelons qu'on prend l'algèbre tensorielle de
l'espace vectoriel g, et que E(g) est le quotient de cette algèbre par l'idéal
bilatère qu'engendrent les
D'après le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, gse plonge dans E(g), et
si (xl9 ..., xn)est une base de g, les monômes x^1xx 2*2... xxn*n(al5 ..., ocn
entiers 0) forment une base de l'espace vectoriel £(g). Celui-ci est donc
tout àfait accessible au calcul. Par exemple, prenons pour gl'algèbre g0
admettant une base (x, y, z) telle que [x, y] =z, [x, z] =[y, z] =0. Alors
E(g0)admet la base (xmynzp), et il faut calculer la table de multiplication.
On a
et tout revient àtransformer ynxm'. Or,
1Conférence faite àla séance de la Société mathématique suisse, tenue àBerne le
10 mai 1970.

et on yarrive par récurrence.
Revenons au cas général. Toute représentation nde gse prolonge de
manière unique en une représentation %' de E(g) et n|-> nest une bijec
tionentre l'ensemble des représentations de get l'ensemble des représenta
tionsde E(q). On identifie nàn.Cela conserve l'irréductibilité. L'incon
vénientde remplacer gpar E(g) est l'apparition des algèbres de dimension
infinie. Mais on dispose maintenant des méthodes associatives (idéaux à
gauche maximaux, etc.). En fait, on considère plutôt Ec(q) =E(gc).
Notons que ce passage àl'algèbre associative s'effectue aussi quand on
étudie les représentations de Glui-même. Si Gest fini, on considère l'algèbre
du groupe Gsur C, et l'étude des représentations de Géquivaut àcelle des
représentations de cette algèbre de groupe. Si Gest quelconque, la définition
de l'algèbre de groupe est plus compliquée et il yadifférentes possibilités.
L'une des plus étudiées est L1(G)L 1(G) par rapport àune mesure de Haar. On
peut d'ailleurs considérer que E(gc)est aussi une algèbre de G.
Cherchons les représentations irréductibles de g0(ou de E(Qq)). Comme
es*de dimension dénombrable, une telle représentation nest de
dimension <KoX oet les éléments centraux de E(g£) donnent des scalaires.
Si n(z) =0, il s'agit de choisir n(x) et n(y) permutables, et la représenta
tiondoit être de dimension 1.Les représentations correspondantes s'identi
fientaux formes linéaires sur g0/Rz. Supposons que n(z) soit un scalaire
a^O. Il s'agit de choisir des opérateurs linéaires n(x), n(y) tels que
n(x) n(y) ?n(y) n(x) =a.1, et de telle manière que nsoit irréductible.
Une solution bien connue consiste àprendre, dans C[X],
Mais une étude plus approfondie révèle l'existence d'une énorme quantité
de représentations irréductibles de g0(ou de £(g£)), même pour a(^0)
fixé. Il semble que ces représentations échappent au classement.
Or, soit Aune algèbre associative complexe. Soit Âl'ensemble des classes
de représentations irréductibles de A. Pour tout neÂ, Ker nest ce qu'on
appelle un idéal bilatère-primitif de A. Soit Prim (A) l'ensemble des idéaux
primitifs de A. L'application n|-> Ker nde Âdans Prim Aest surjective,
mais pas injective en général. Même si Âest énorme, Prim Apeut être
un objet raisonnable. Jacobson l'a muni d'une topologie et l'a appelé
l'espace structural de A.

Revenons àA=E(q£). Alors que Âest énorme, Prim (A) est tout à
fait calculable. Il est réunion disjointe de 2sous-ensembles MuMM2\M1
est l'ensemble des noyaux des représentations de dimension Ide g0;g 0;et
M2M 2est l'ensemble des noyaux des na(a eC -{0} ). D'ailleurs, Ker naest
l'idéal bilatère de £(Qc) engendré par z-a.1.
Il se trouve que G0est, pour G0simplement connexe d'algèbre de
LIE gO,g 0,réunion de 2 sous-ensembles: 1) les représentations unitaires de
dimension 1de G; 2) une famille de représentations unitaires irréductibles pa,
où aeR ?{o}. Ce qu'on peut donc espérer, c'est, non pas une corres
pondanceétroite entre Get £Xgc)A,mais entre Get Prim (E(qc)). Effective
ment,on ale théorème suivant: Soit Gun groupe de LIE nilpotent simple
mentconnexe. Soit peG; popère dans un espace hilbertien Hp.Soit H?
l'ensemble des vecteurs indéfiniment différentiables pour p. Alors on définit
canoniquement une représentation nde gdans H?. On peut identifier nà
une représentation de E(qc). Cette représentation n'est pas irréductible.
Mais Ker nest un idéal primitif de E(gc). On adonc une application #de
Gdans Prim (E (gc)). Comme pest unitaire, Ker nest stable par l'anti
automorphismeprincipal de £(gc)(celui qui transforme ocxx...xnpour
aeC,xu ..., xneg,enâ(?xn)... (?x^)). Alors $est une bijection de G
sur l'ensemble des éléments de Prim E(gc)fixes pour l'antiautomorphisme
principal.
Si Gn'est pas nilpotent, les relations entre Get Prim E(gc)sont plus
compliquées et mal connues. Malgré tout, une étude approfondie de
Prim E(qc)est sûrement utile pour l'étude de G, et est sûrement plus simple.
La méthode la plus efficace pour construire des éléments de Gest la
méthode des représentations induites. Nous allons donc chercher, pour
les représentations de g, une méthode d'induction. Pour cela, nous allons
encore nous ramener àl'algèbre associative. Rappelons d'abord ce qui se
passe pour les groupes.
Soient Gun groupe fini, Hun sous-groupe, pune représentation de H
dans un espace vectoriel complexe, n=Ind (p jG). Soient Al'algèbre de
G, Bl'algèbre de H, de sorte que Best une sous-algèbre de A. Alors net p
définissent des représentations n\ p' de A, B. Cela posé, nest la représenta
tionde Ainduite par p' au sens qu'on va rappeler maintenant.
Soit Mun espace vectoriel réel. Il est bien connu qu'on peut complexi
fierM,i.e. étendre les scalaires de RàC; on forme pour cela C®R M.

Plus généralement, soit Mun module àgauche sur un anneau B. Sup
posonsqueB soit un sous-anneau d'un anneau A. On peut étendre
les scalaires de BàA en formant A®BM; il suffit de considérer Acomme
un àdroite. On aobtenu ainsi un -module àgauche. Les éléments
de A®BMsont les combinaisons Z-linéaires d'éléments a®m, où aeA
et me M, et la règle de calcul essentielle est que ab ®m=a®bm pour
aeA, beß et me M.
Soient Aune algèbre, Bune sous-algèbre, tune représentation de B
dans un espace vectoriel M. Alors on peut considérer Mcomme un
5-module àgauche. Formons A®BM, qui est un .^-module àgauche.
On adonc une représentation ade Aqu'on dit induite par t. On pose
g=Ind (t tA).
Si on revient àG, H, n, p, on a%f% f=Ind (p' |A).
Passons maintenant aux algèbres de LIE. Soient gune algèbre de LIE,
ï) une sous-algèbre, pune représentation de ï) dans un espace vectoriel V.
On peut considérer pcomme une représentation de E(ï)) dans V. Or E(ï))
est une sous-algèbre de E(g). Soit n=Ind (p \E(g)). On peut considérer
7i comme une représentation de gqu'on note Ind (p îg). L'espace de nest
£(g) ®E(h) V. Cette représentation est tout àfait calculable. Reprenons
g0g 0=Rx©Ry©Rz avec [x, j] =z, [x, z] =[y, z] =0. Soit ï) =Rj ©Rz.
Soient V= C9C 9et pdéfini par la forme linéaire Xy -\- \iz |-> ?/x. Alors is (ï))
est l'algèbre des polynômes en yet en z, et p(/* zp)=0 si n>o,
p(zp)=(-l)p.Comme £(g2) admet la base (xmynzp)sur C, il admet la
base (xm)sur E(ï)c). On a
Si on identifie xn®1àun monôme X", l'espace de ns'identifie àC[X],
n(x) est la multiplication par X, 7i (y) est la dérivation, et n(z) =?1.
On retrouve la représentation considérée plus haut (avec a=?1).
Revenons àg, ï), pquelconques, et n=Ind (p tg). Soit /le noyau
de pdans E(ï)). Soit /le noyau de ndans E(g). Alors /ne dépend que de
/: c'est le plus grand idéal bilatère de E(g) contenu dans E(g) /. On
posera /=Ind (/\g), et on dira que c'est l'idéal bilatère de E(g) induit
par J.