Quelques repères historiques Enseignement de l’algèbre • Algèbre vient de « Al jabr » (compensation, restauration, etc) • Opération 3x -5 = 7x 3x -5 +5 = 7x + 5 wa’l- muqabalah (le balancement) 3x + 28 = 130 3x +28 = 102 +28 3x = 102 Vient de Al Khwarizmi (IX siècle 820) : Al Khwarizmi (IX siècle 820) • Vivait à Bagdad • « Passeur de savoir », système de numération indien • équations du second degré Dans le secondaire, c’est quoi? Viète (1540-1603) • Ajoute le symbolisme Désigne les inconnues pas des voyelles et les paramètres par des consommes (Étude du texte de Viète) Introduction de l’algèbre Vergnaud • • Algèbre linéaire ? Non • Algèbre élémentaire ? – Lettre – mais aussi relatifs • "Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes : – mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l’algèbre; – règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ; – première explicitation des concepts de fonction et de variable ; – mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ; – Etc… Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ?" Nombres relatifs G. Vergnaud (1988) • Rupture par rapport aux nombres entiers • Utilisés pour signifier des gains et pertes (chinois, indiens) et pour résoudre des équations • Statut de nombres pas questionné, puis sujet de polémiques • La multiplication des relatifs pose problème et n’est tranchée qu’en 1867 par Hankel «! L'algèbre constitue pour les élèves une rupture épistémologique importante d'avec l'arithmétique. Cette rupture mérite une analyse détaillée, car beaucoup d’élèves n'entrent pas facilement dans le jeu des manipulations symboliques.!» À quelles occasions les élèves rencontrent-ils la lettre en mathématiques ? – – – – – – – 5 m, 3 dm, 4 kg Soit le point A Formules A = Lx l A =5x + 3y f(x) = ax +b vecteur AB, 4 AB f’ = 3f Continuités et ruptures • Dans les objets manipulés – Lettres – Signe égal – Signes d’opération • Modes de résolution • Modes de contrôle Statut de la lettre • • • • • • • Abréviation Unité de mesure Pour désigner (un point) Indéterminée Inconnue Variable Paramètre Signe égal • A l'entrée du collège le signe = désigne le résultat d'une opération Ex d’erreurs classiques • 3 ! 2 = 6 + 7 = 13 • Pour traduire "le quart de 16" = 4 un élève répondra 1/4 = 4 • En 4ème difficulté à envisager que le résultat d’un calcul donne 3x + 4 d’où 7x Autre exemple • • Le périmètre d'un carré de côté c est traduit par P = 4c. P désigne une grandeur et le signe = sert à désigner un objet, à le « nominaliser » pour pouvoir en parler ; dans ce cas le signe = appartient au métalangage de l’algèbre ; il n’est pas utilisé pour construire un énoncé algébrique • P= 4c indique l’action à faire : pour calculer le périmètre on fait 4 fois c. c désigne à la fois l’objet et sa longueur (par exemple 5cm) • Dans calcule P pour c = 5m le signe = sert à faire une assignation de l’objet 5 à la variable c. • la lettre m désigne une unité • On obtient alors P = 20m où P ne désigne plus la formule 4c, mais une longueur particulière. • Résolution arithmétique On garde le sens du problème Les opérations ont un sens, on peut contrôler à chaque étape Chaque problème est singulier • Résolution algébrique On perd le sens du problème, on ne le retrouve qu’à la fin On fait des manipulations algébriques, on contrôle les calculs On peut résoudre des types de problèmes Problème • Une bouteille et son bouchon pèsent 110 g. • La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. • Combien pèse le bouchon ? Aspect procédural ou structural • 2n+1 sert à la fois à calculer des nombres en donnant une valeur à n • 2n + 1 sert à désigner un nombre impair lorsque n est entier • Ex (n+1)2 - n2 = 2n + 1 Vrai ou faux ? 2 + 3x = 5x Statut de la lettre Question • a) Ecrire l'aire du rectangle en fonction de x 3 • • x 4 • b) Pour quelle valeur de x l'aire vaut 24? Réponse • a) A(x) = 3(x + 4) x est ici une variable • b) 3(x + 4 ) = 24 x est ici une inconnue d'une équation. • • • • • • • - c’est pareil car 2+3=5 et le prof a dit que 3x c’est 3 multiplié par x, et on multiplie des deux cas - c’est faux, car il faudrait des parenthèses, c’est (2+3)x qui est égal à 5x - est-ce que les règles pour les nombres sont aussi valables pour les lettres ? dans ce cas, je change d’avis, c’est faux - si on remplace x par 1 c’est vrai - c’est normal, quand on multiplie par 1, ça ne change rien - si on remplace x par 2, c’est faux - on ne peut pas savoir, c’est tantôt rai, tantôt faux - ce n’est pas toujours vrai - si, c’est toujours vrai, à condition de prendre 1 pour x. Quantificateurs (oubliés) • L’égalité 3x + 12 = 24 détermine le nombre x on sous-entend « existe t-il un nombre x tel que …? » • Quand on remplace 3(x + 4) par 3x +12, on utilise implicitement l'identité " x, 3(x + 4) = 3x + 12 (x est variable) Outil/objet • Dans l’enseignement, l’algèbre est à la fois travaillé comme un outil – Pour résoudre des problèmes – Pour modéliser – Pour prouver Comme un objet -travail sur le traitement des expressions algébriques, équivalence