Td 2 : Formes bilinéaires - LMPT

Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Td 2 : Formes bilinéaires
Algèbre Semestre 4, 2015
Exercice 1
Dans E=R3muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3), on considère
l’application b:E2→Rdéfinie par : b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 2x1y1+x2y2−x3y3.
1. Justifier que best une forme bilinéaire sur E.
2. Déterminer la matrice Breprésentant bdans B0.
3. best-elle symétrique ? antisymétrique ? Déterminer la partie symétrique, b1, et la partie antisy-
métrique, b2, de b.
4. Déterminer le rang de b.
Mêmes questions avec : b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y2+x2y1+x2y3−x3y2−2x3y3
Solution. 1. On voit que
b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 2e∗
1⊗e∗ 1+e∗ 2⊗e∗ 2−e∗ 3⊗e∗ 3.
De plus les applications de la forme e∗
i⊗e∗ jsont des formes bilinéaires et l’ensemble des formes bili-
néaires forme un espace vectoriel. Ainsi best bien une forme bilinéaire.
2. On rappelle que B= (b(ei, ej))1≤i,j≤3. On trouve donc
B=
2 0 0
0 1 0
0 0 −1
.
3. La matrice Best symétrique, la forme best donc aussi symétrique. La décomposition de bsous la
forme b1+b2où b1est la partie symétrique et b2est la partie antisymétrique est donc b+0.
4. La matrice Best clairement de rang 3 donc best de rang 3.
On considère maintenant l’application :
b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y2+x2y1+x2y3−x3y2−2x3y3.
On voit que
b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = e∗
1⊗e∗ 2+e∗ 2⊗e∗ 1+e∗ 2⊗e∗ 3−e∗ 3⊗e∗ 2−2e∗ 3⊗e∗ 3
et donc best une forme bilinéaire puisque best une combinaison linéaire de formes bilinéaires.
On trouve
B=
0 1 0
1 0 1
0−1−2
.
La matrice représentative de b1est B1=B+tB
2et celle de b2est B2=B−tB 2soit
B1=
0 1 0
1 0 0
0 0 −2
et B2=
000
001
0−1 0
.

On a donc
b1((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y2+x2y1+ 2x3y3,
b2((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x2y3−x3y2.
Le rang de best le rang de la matrice B. On a
0 1 0
1 0 1
0−1−2
−→
L1↔L2
1 0 1
0 1 0
0−1−2
−→
L3←L2+L3
1 0 1
0 1 0
0 0 −2
et donc best de rang 3.
Exercice 2
Soit bla forme bilinéaire sur E=R3dont la matrice représentative dans la base canonique B0=
(e1, e2, e3)est : B=
1 1 1
0 0 2
−143
.
1. best-elle symétrique ? antisymétrique ? Quel est son rang ?
2. Pour tout (u, v)∈E2, déterminer b(u, v).
3. Justifier que la famille B= (e1+e2+e3,−e1+e2+e3, e1+e2−e3)est une base de E.
4. Déterminer de deux manières la matrice B′représentant bdans B.
Solution. 1. La forme bilinéaire bn’est ni symétrique, ni antisymétrique puisque sa matrice représen-
tative n’est ni symétrique, ni antisymétrique. Le rang de best le rang de la matrice B. On a
1 1 1
0 0 2
−1 4 3
−→
L2↔L3
1 1 1
1 4 3
0 0 2
−→
L2←L2−L1
1 1 1
0 3 2
0 0 −2
et donc best de rang 3.
2. On pose u= (x1, x2, x3)et v= (y1, y2, y3). On trouve
b(u, v) = x1y1+x1y2+x1y3+ 2x2y3−x3y1+ 4x3y2+ 3x3y3.
3. Puis que Bcontient 3 vecteurs, pour montrer que Best une base de Eil suffit de montrer que son
rang est 3. On a
1 1 1
−1 1 1
1 1 −1
−→
L2←L2+L1
L3←L3−L1
1 1 1
0 2 2
0 0 −2
.
4. D’après la définition, la matrice représentative de bdans la base Best définie par :
MB(b) = b(e′
i, e′ j)1≤i,j≤3
.
On calcule successivement :
b(e′
1, e′ 1) = b((1,1,1),(1,1,1)) = 11
b(e′
1, e′
2) = b((1,1,1),(−1,1,1)) = 11
b(e′
1, e′
3) = b((1,1,1),(1,1,−1)) = −1
b(e′
2, e′
1) = b((−1,1,1),(1,1,1)) = 5
b(e′
2, e′
2) = b((−1,1,1),(−1,1,1)) = 9
b(e′
2, e′
3) = b((−1,1,1),(1,1,−1)) = −3
b(e′
3, e′
1) = b((1,1,−1),(1,1,1)) = −1
b(e′
3, e′
2) = b((1,1,−1),(−1,1,1)) = −5
b(e′
3, e′ 3) = b((1,1,−1),(1,1,−1)) = −1

et donc
MB(b) = 
11 11 −1
5 9 −3
−1−5−1
.
Sinon, on utilise la formule de changement de base. On a
B0PB=
1−1 1
1 1 1
1 1 −1
et donc
MB(b) =t(BPB0)MB0(b)B0PB
=
1 1 1
−1 1 1
1 1 −1
·
1 1 1
0 0 2
−1 4 3
·
1−1 1
1 1 1
1 1 −1
=
11 11 −1
5 9 −3
−1−5−1
.
Exercice 3
Dans E=R2[X], l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2,
on considère l’application b:E2→Rdéfinie par : b(P, Q) = R1
0P(t).Q′(t)dt.
1. Justifier que best une forme bilinéaire sur E.
2. Déterminer la matrice Breprésentant bdans la base canonique B0= (1, X, X2)de E.
3. Quel est le rang de b?
4. best-elle symétrique ? antisymétrique ? Déterminer la partie symétrique, b1, et la partie antisy-
métrique, b2, de b.
5. A-t-on b(P, P )≥0pour tout polynôme P? à quelle condition sur Pa-t-on b(P, P ) = 0 ?
Mêmes questions avec : b(P, Q) = R1
0P(t).Q(1 −t)dt et bk(P, Q) =
k
X
i=1
P(i)Q(i)avec k∈N∗
Solution. 1. Soient P, Q, R ∈R2[X]et λ∈R. On a
b(P+λQ, R) = Z1
0
(P+λQ)(t).R′(t)dt
=Z1
0
(P(t) + λQ(t)).R′(t)dt
=Z1
0
P(t).R′(t)dt +λZ1
0
Q(t).R′(t)dt
=b(P, R) + λb(Q, R)
et
b(P, Q +λR) = Z1
0
P(t)·(Q+λR)′(t)dt
=Z1
0
P(t)·(Q′(t) + λR′(t))dt
=Z1
0
P(t).Q′(t)dt +λZ1
0
P(t).R′(t)dt
=b(P, Q) + λb(P, R)

L’application best donc bien une forme bilinéaire sur E.
2. On calcule successivement
b(1,1) = 0
b(1, X) = Z1
0
dt = 1
b(1, X2) = Z1
0
2Xdt = 1
b(X, 1) = Z1
0
X·0dt = 0
b(X, X) = Z1
0
Xdt = 1/2
b(X, X2) = Z1
0
2X2dt = 2/3
b(X2,1) = Z1
0
X2·0dt = 0
b(X2, X) = Z1
0
X2dt = 1/3
b(X2, X2) = Z1
0
2X3dt = 1/2
et donc
B=
0 1 1
0 1/2 2/3
0 1/3 1/2
.
3. On voit facilement que best de rang 2.
4. La forme bilinéaire bn’est ni symétrique, ni antisymétrique puisque sa matrice représentative n’est
ni symétrique, ni antisymétrique. La matrice représentative de la partie symétrique b1est
B1=B+tB
2=1 2
0 1 1
1 1 1
1 1 1
et celle de la partie antisymétrique b2est
B2=B−tB
2=
0 1/2 1/2
−1/2 0 1/6
−1/2−1/6 0
.
5. On a
b(P, P ) = Z1
0
P(t)P′(t)dt =1
2P21
0
=1
2P2(1) −P2(0)
et donc
b(P, P )≤0⇐⇒ |P(0)| ≥ |P(1)|
ce qui est le cas pour, par exemple, P(t) = 1 −t. Par ailleurs, on a
b(P, P ) = 0 ⇐⇒ P(0) = P(1)
ce qui est le cas pour, par exemple, P(t) = t·(1 −t).

On considère la forme b(P, Q) = R1
0P(t).Q(1 −t)dt. Soient P, Q, R ∈R2[X]et λ∈R. On a
b(P+λQ, R) = Z1
0
(P+λQ)(t).R(1 −t)dt
=Z1
0
(P(t) + λQ(t)).R(1 −t)dt
=Z1
0
P(t)·R(1 −t)dt +λZ1
0
Q(t)·R(1 −t)dt
=b(P, R) + λb(Q, R)
et
b(P, Q +λR) = Z1
0
P(t)·(Q+λR)(1 −t)dt
=Z1
0
P(t)·(Q(1 −t) + λR(1 −t))dt
=Z1
0
P(t)·Q(1 −t)dt +λZ1
0
P(t)·R(1 −t)dt
=b(P, Q) + λb(P, R)
L’application best donc bien une forme bilinéaire sur E.
On calcule successivement
b(1,1) = 1
b(1, X) = 1/2
b(1, X2) = 1/3
b(X, 1) = 1/2
b(X, X) = 1/6
b(X, X2) = 1/12
b(X2,1) = 1/3
b(X2, X) = 1/12
b(X2, X2) = 1/30
et donc
B=
1 1/2 1/3
1/2 1/6 1/12
1/3 1/12 1/30
.
3. On vérifie "facilement" que best de rang 3.
4. La forme bilinéaire best symétrique. Sa décomposition sous la forme d’une forme symétrique plus
une forme antisymétrique est donc b=b+0.
5. On considère le polynôme P=X−1/2. Alors, une étude de signe montre que le produit P(t)·P(1−t)
est négatif sur [0,1]. On a donc b(P, P )≤0. Plus précisemment, on calcule b(P, P ) = −1/12.
On pose P=aX2+bX +c. Des calculs un peu laborieux montre alors que
b(P, P ) = 1
30a2+1 6b2+c2+1 6ab +2 3ac +cb.
Ainsi, b(P, P ) = 0 si et seulement si 1
30a2+1 6b2+c2+1 6ab +2 3ac +cb = 0.