ARITHMÉTIQUE

ARITHMÉTIQUE
ARITHMÉTIQUE 1 P.G. 2007/2008
Divisibilité - Théorèmes généraux
Exemples
B
BB
B Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, n
3
− 8 est multiple de n − 2.
C
CC
C Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
D
DD
D Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 5
2n
− 7
n
est divisible par 18.
E
EE
E Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 2n + 3 et 3n + 4, cet entier ne peut
qu’être égal à 1.
F
FF
F n désigne un entier relatif. Démontrer que si un entier relatif a divise les entiers n
2
+ 3n + 13 et
n + 2, alors a divise 11.
G
GG
G Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 1 divise n + 17, en remarquant que :
n + 17 = (n − 1) + 18.
Exercices à préparer à la maison
H
HH
H En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a
2
divise b
2
.
I
II
I VRAI OU FAUX ? Si a|b et c|b alors ac|b.
J
JJ
J Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7
n
− 3
n
est divisible par 4.
1
11
1)
))
) Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
1
11
1!
!!
! Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que
deux valeurs que l’on précisera.
1
11
1@
@@
@ Comment choisir l’entier naturel n pour que n divise n + 8 ?
1
11
1#
##
# Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
1
11
1$
$$
$ Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n – 3 et 2n – 3, où n
désigne un entier relatif ?
1
11
1%
%%
% Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 2n
2
+7n + 3 est divisible par 2n + 1.

ARITHMÉTIQUE
ARITHMÉTIQUE 2 P.G. 2007/2008
Types de raisonnement
Exemples
1
11
1^
^^
^ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 3) est divisible par 2.
1
11
1&
&&
& Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que (x − 1)
2
y = 18.
1
11
1*
**
* n désignant un entier relatif quelconque, montrer que 7 ne divise pas 6 + 14n.
1
11
1(
((
( Montrer que, si a
2
+ b
2
est impair, alors a et b ne sont pas de même parité.
2
22
2)
))
) Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 divise 3
2n+1
+ 2
n+2
.
2
22
2!
!!
! Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre 2
2n
+ 6n − 1 est divisible
par 9.
Exercices à préparer à la maison
2
22
2@
@@
@ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
2
22
2#
##
# x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a. Démontrer que si x
2
y − xy
2
= 6, alors xy et x − y divisent 6.
b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x
2
y − xy
2
= 6.
2
22
2$
$$
$ Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3
n+3
– 4
4n+2
est divisible par 11.
2
22
2%
%%
% 1. Établir, par récurrence que :
a. pour tout entier naturel n, n
3
– n est un multiple de 3.
b. pour tout entier naturel n, n
7
– n est un multiple de 7.
2. Est-ce que, pour tout entier naturel n, n
4
– n est un multiple de 4 ?
2
22
2^
^^
^ On se propose de démontrer que 2 est irrationnel.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que 2
p
q
= avec
p
q fraction irréductible.
a. Montrer que p
2 = 2q2 ; en déduire que p est pair.
b. En déduire alors que q est pair, puis conclure.

ARITHMÉTIQUE
ARITHMÉTIQUE 3 P.G. 2007/2008
Division euclidienne
Exemples
2
22
2&
&&
& Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants :
a. a = 54 et b = 16 ; b. a = 187 et b = 26 ; c. a = 2 814 et b = 158.
2
22
2*
**
* Déterminer les entiers n compris entre 0 et 100 tels que le reste de la division euclidienne de n par
41 soit 5.
2
22
2(
((
( La division euclidienne de l'entier naturel a par l'entier naturel b donne pour quotient q et pour
reste r. La division euclidienne de (a + 15) par (b + 5) donne q pour quotient et r pour reste.
Déterminer q.
3
33
3)
))
) La somme de deux entiers naturels a et b (a > b) est 444.
La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 24 pour reste.
Déterminer a et b.
3
33
3!
!!
! Soit deux entiers naturels a et b (a > b). La division euclidienne de a par b donne q = 6 pour
quotient et r = 47 pour reste. Par ailleurs, a + b + r = 591. Déterminer a et b.
3
33
3@
@@
@ Le reste de la division euclidienne de 321 par le naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles
de b et du quotient.
3
33
3#
##
# Déterminer un entier a qui, divisé par 23, donne pour reste 1, et qui, divisé par 17, donne le même
quotient et 13 pour reste.
Exercices à préparer à la maison
3
33
3$
$$
$ On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant
que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de 4
3
33
3%
%%
% Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la
division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22.
3
33
3^
^^
^ Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même
naturel k non nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k.
3
33
3&
&&
& On désigne par a un entier naturel non nul.
Montrer que le reste de la division euclidienne de [a2 + (a – 1)2]2 par 4a2 est (2a – 1)2.
3
33
3*
**
* On sait que 5n + 7 = 5(n + 1) + 2.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5 ?
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par n + 1 ?
3
33
3(
((
( a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n’est pas nul.
Montrer que a est supérieur au double du reste.

ARITHMÉTIQUE
ARITHMÉTIQUE 4 P.G. 2007/2008
Congruences
Exemples
4
44
4)
))
) Les nombres a et b sont-ils congrus modulo c ?
a. a = 48, b = 7, c = 11 ; b. a = 153, b = 84, c = 23.
4
44
4!
!!
! Déterminer les entiers compris entre 153 et 187 qui sont congrus à 7 modulo 18.
4
44
4@
@@
@ Démontrer que pour tout entier naturel n, 3n+2 + 11×8n est divisible par 5.
4
44
4#
##
# n désigne un entier naturel quelconque.
a. Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes dans la division euclidienne par 5 des entiers 2n et 3n.
b. En déduire pour quelles valeurs de n le nombre entier A=1188n+2257n est divisible par 5.
4
44
4$
$$
$ Montrez que pour tout couple d'entiers relatifs (a, b), si a et b ne sont pas divisibles par 7 alors
a2 + b2 n'est pas divisible par 7.
4
44
4%
%%
% n désigne un entier naturel quelconque.
a. Trouver, suivant les valeurs de n, le reste de la division de 5n par 7 ainsi que le reste de la
division de 5n par 11.
b. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que 54
n
≡ [77].
c. Quel est le reste de la division de 5
160
par 77 ?
4
44
4^
^^
^ n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
a. Déterminer, suivant la valeur de n , le reste de n4 − 1 par 5.
b. En déduire que n ( n4 − 1) est un multiple de 5 pour toute valeur de n .
c. En déduire que les nombres np et np+4 se terminent par le même chiffre à droite.
Exercices à préparer à la maison
4
44
4&
&&
& Soit n un entier naturel.
a. Trouver suivant les valeurs de n , les restes de la division de 5
n
par 13.
b. En déduire que 1981
1981
− 5 est divisible par 13.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N=31
4n+1
+18
4n−1
est
divisible par 13.
4
44
4*
**
* a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division de 3
n
par 7.
b. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre A = 2243
325
+ 1179
154
.
4
44
4(
((
( a. Déterminer les restes de la division par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers
naturels.
b. Déterminer les entiers naturels n tels que A
n
= 3
n
+ 3
2n
+ 3
3n
soit divisible par 13.
5
55
5)
))
) Soit x un entier relatif.
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de x3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x .
En déduire que, pour tout entier relatif
x , on a :
x3 ≡ 0 [9] ⇔ x ≡ 0 [3], x3 ≡ 1 [9] ⇔ x ≡ 1 [3] et x3 ≡ 8 [9] ⇔ x ≡ 2 [3].
b. On considère trois entiers relatifs x , y et z tels que x3 + y3 + z3 soit divisible par 9. Démontrer que
l’un des nombres
x , y et z est divisible par 3.

ARITHMÉTIQUE
ARITHMÉTIQUE 5 P.G. 2007/2008
Nombres premiers
Exemples
5
55
5!
!!
! Le nombre 73 est-il premier ? Même question pour 259.
5
55
5@
@@
@ Décomposer 3528 en facteurs premiers. Même question avec 7425.
5
55
5#
##
# Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 72.
Déterminer, de même, le nombre de diviseurs positifs de 80.
5
55
5$
$$
$ 1. Le nombre 2
11
– 1 est-il premier ?
2. p et q étant deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, quel est le reste de la division
euclidienne de 2
pq
par 2
p
– 1 ?
En déduire que 2
pq
– 1 est divisible par 2
p
– 1 et par 2
q
– 1.
3. Démontrer que, si 2
n
– 1 est premier, alors n est premier. La réciproque est-elle vraie ?
Exercices à préparer à la maison
5
55
5%
%%
% Le nombre 257 est-il premier ? Même question pour 319.
5
55
5^
^^
^ Décomposer 300 en facteurs premiers. Même question avec 2007.
5
55
5&
&&
& Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 675.
5
55
5*
**
* Deux nombres premiers n et p (avec n > p ) sont dits jumeaux lorsque n – p = 2.
Par exemple, 3 et 5 sont des nombres premiers jumeaux, tout comme 41 et 43.
1. Démontrer que si p et p + 2 sont des nombres premiers jumeaux, avec p ≠ 3, alors la somme de
ces deux nombres est divisible par 12.
2. Démontrer que tout couple de nombres premiers jumeaux, à l’exception du couple (3 ; 5) est
de la forme (6
n – 1 ; 6 n + 1).
5
55
5(
((
( n désigne un entier naturel dont l’écriture, dans le système décimal, est 800…00.
Déterminer le nombre de zéros pour que
n ait exactement 130 diviseurs positifs.
6
66
6)
))
) Existe-t-il des entiers naturels n tels que le nombre de diviseurs positfs de 21
3n
soit quatre fois le
nombre de diviseurs positifs de 21 ?