PREMIÈRE PARTIE : ATOME HYDROGÉNOÏDE

A 2007 PHYS. II PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L’usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II -PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
x Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à
prendre.
x Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous
sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la
copie.
JG
JG
JG
Notations : Vecteur o A ; norme du vecteur A o A (italique) ou A ; vecteur unitaire o â.
Les différentes parties sont largement indépendantes entre elles. On trouvera page 6 le rappel de quelques notations standard et une banque de données utiles pour résoudre certaines questions.
Dans toute l’épreuve, exprimer signifie donner l’expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
PREMIÈRE PARTIE : ATOME HYDROGÉNOÏDE
Le modèle d’atome d’hydrogène proposé par Niels BOHR s’appuie principalement sur les axiomes
suivants : dans un référentiel galiléen,
i) l’électron décrit une trajectoire circulaire de rayon r sur laquelle il ne rayonne pas,
ii) l’électron échange de l’énergie avec l’extérieur lorsqu’il change de trajectoire circulaire,
iii) axiome de quantification : mvr
n
h
2S
n=, où m et v désignent respectivement la masse et le
module de la vitesse de l’électron, n un nombre entier naturel non nul et h
la constante de Planck. À chaque valeur de l’entier n correspond une valeur
du rayon r, de la vitesse v et de l’énergie, notées respectivement rn , vn et
En .
On considère (Fig. 1) un atome d’hydrogène constitué d’un proton (charge
e, masse M) et d’un électron (charge e , masse m). Le proton, situé en un
point O, est supposé immobile ; l’électron, en A, est repéré par le vecteur
JJJG
OA r uˆ r dans le repère polaire uˆ r , uˆ T utilisé dans cette partie.
Physique II - PC - 2007
‰ 1 – Justifier l’unité de la constante h (J.s) qui figure dans le tableau de la page 7.
‰ 2 – Montrer que l’on peut négliger la force gravitationnelle devant la force électrostatique entre le
proton et l’électron (la constante de la gravitation G peut s’estimer à partir de données, même
approximativement connues).
‰3 – Établir que pour le mouvement circulaire de l’électron, E p 2 Ec
0 , où Ec est l’énergie
cinétique et E p l’énergie potentielle (Théorème du viriel). Exprimer Ec de l’électron en fonction du
rayon r de la trajectoire circulaire. Exprimer le rayon rn en fonction de n et de r1 , correspondant à
n 1 . En utilisant l’axiome de quantification, exprimer r1 en fonction de H ,m,e et h . Calculer r1 .
‰ 4 – Calculer l’ordre de grandeur du champ électrique créé par le proton à la distance r r1 .
Comparer la valeur de ce champ électrique atomique à un champ électrique macroscopique, produit
dans des conditions expérimentales que vous préciserez.
‰ 5 – En déduire l’énergie mécanique totale E de l’électron en fonction de n et des données
H ,m,e et =. L’origine des énergies pour l’électron correspond à l’état où l’électron est au repos à une
distance infinie du proton. Écrire E sous la forme En
E1
en précisant l’expression de E1 . Interprén2
ter le signe de E n . On appelle « état fondamental » de l’atome l’état d’énergie minimale. Montrer que
cet état correspond à E1 . Calculer E1 en électron-volt.
‰ 6 –Exprimer la vitesse vn en fonction de n et de v1 . Exprimer v1 . Calculer v Comparer sa valeur
à celle de c, vitesse de la lumière dans le vide. Conclure.
Texte introductif aux questions 7 à 10
Dans les questions suivantes, l’électron a une énergie totale minimale, ce qui correspond à l’état fondamental
de l’atome. On assimile le mouvement de l’électron à une boucle de courant.
‰ 7 – L’électron en mouvement sur sa trajectoire circulaire peut être assimilé à un courant électrique.
Exprimer I l’intensité équivalente de la boucle de courant. Calculer I .
G
‰ 8 – Calculer B O , valeur du « champ B » créé au centre O de la trajectoire par le mouvement de
l’électron.
‰ 9 – Donner l’ordre de grandeur des champs magnétiques les plus intenses actuellement réalisables.
Comparer cet ordre de grandeur à la valeur numérique obtenue à la question 8.
‰ 10 – Si le modèle de Bohr a permis d’expliquer certaines caractéristiques des spectres de l’atome
d’hydrogène, ce modèle, qui s’appuie sur la mécanique de Newton, n’a pu expliquer l’ensemble des
propriétés des atomes. Ces dernières s’interprètent dans le cadre de la mécanique quantique. Rappeler
en quelques mots les conditions de validité de la mécanique classique.
DEUXIÈME PARTIE : ABSORPTION, DISPERSION
Un milieu gazeux monoatomique peu dense, linéaire, homogène et isotrope, contenant N électrons par
unité de volume est soumis à une onde électromagnétique planeG progressive harmonique
(dans le
G
domaine IR-UV), décrite par les deux vecteurs champs électrique E et magnétique B
G G
G G
E E0 exp ª¬i Z t kz º¼ et B B0 exp ª¬i Z t kz º¼ .
G
Dans cette partie, le vecteur r ( x, y, z) ne représente plus la position « instantanée » de l’électron
(pour autant que cette notion ait un sens), mais son élongation moyenne par rapport au noyau ; pour
un atome au repos, la position moyenne de l’électron est ainsi confondue avec celle du proton et l’on a
Physique II - PC - 2007
G
r
G
0 . Le mouvement d’un électron représentatif est décrit par le modèle classique de l’électron
élastiquement lié. En l’absence de rayonnement, l’équation du mouvement de cet électron est
m
G
d2 r
d t2
G
G
G
dr
§ G dr G ·
mZ02 r e ¨ E š B ¸ 2mD
.
dt
dt
©
¹
[1]
On suppose que les constantes D et Z0 sont identiques pour tous les électrons, avec
D
Z
, u et
O S
c
Z
2G
‰ 11 – Quelle est la signification physique du terme mZ0 r ?
,u m .
‰ 12 – Quelles sont, dans ce modèle d’oscillateur, la dimension et la signification physique de D ?
‰ 13 – En les validant par des considérations d’ordre de grandeur, d’une part sur B, d’autre part sur
exp ikz , proposer deux simplifications de l’équation non linéaire [1]. La simplification relative au
terme exp ikz rend cette équation linéaire.
‰ 14 – Compte tenu des simplifications de la question précédente calculer en régime permanent
G
G
l’amplitude complexe r 0 du vecteur r t et celle du dipôle induit p . Exprimer l’amplitude P0 du
G
vecteur polarisation P , et la susceptibilité diélectrique F , définie par P0 Z H 0 F Z E0 Z .
JG
G
wE
P0 J P 0 H 0
,
w
t
G
G
G
wP
. ÉtaJ est le courant total, somme du courant de conduction et du courant de déplacement J d
t
w
G
G
JJJG G
wE
wE
blir alors que, en l’absence de courant de conduction, rot B H 0 P0 1 F H 0 P0 H r
. Cette
wt
wt
équation définit la permittivité diélectrique relative H r Z H c Z iH cc Z . Exprimer H c Z et
JJJG JG
‰ 15 – Dans l’équation de Maxwell relative à un milieu non magnétique rot B
H cc Z . Tracer sommairement les courbes correspondantes. On posera Z p2 Ne 2 mH 0 .
G
‰ 16 – Dans l’équation div H 0 E U , U représente la densité volumique de charge totale,
G
G G
U U libre U lié U libre div P . Établir que, en l’absence de charges libres, div H 0 E P 0 .
‰ 17 – Le milieu considéré étant dépourvu
de charges et de courants libres, déterminer l’équation de
G
propagation vérifiée par le champ E dans le milieu 1 . Remarquer que, avec ce formalisme, k est complexe, k k c ik cc et déterminer la relation de dispersion k Z . On suppose H c Z 1 1 et
H cc Z 1 . Établir, en fonction de H c Z , H cc Z , Z et c , des expressions simplifiées de la partie
réelle k c et de la partie imaginaire k cc de k. Identifier le terme de dispersion et celui d’absorption.
Comment introduire la notion d’indice complexe ?
1
G
JJJG JJJG JG
JJJJJG
JG
JGJG
grad ª div V º ' V .
¬
¼
¬
¼
Pour tout vecteur V suffisamment différentiable, rot ªrot V º
Physique II - PC - 2007
Texte introductif aux questions 18 à 21
Le modèle de l’électron élastiquement lié ne rend pas compte de l’ensemble des phénomènes observés ; il faut
utiliser la mécanique quantique et la physique statistique … dont aucune connaissance n’est nécessaire pour
traiter ce qui suit. Admettons seulement que :
Les atomes peuvent passer d’un état d’énergie E1 à un état d’énergie supérieure E2 par absorption
E2 E1
. Lorsque le milieu est dit être en équilibre thermique à la
h
température T , les nombres d’atomes par unité de volume N1 et N2 d’énergies respectives E1 et E2
d’un photon de pulsation Z0
2S
satisfont la relation de Boltzmann
N2
N1
§ E E1 ·
exp ¨ 2
¸ . On prendra T
k
T
B
©
¹
‰ 18 –L’expression quantique complexe de H r est H r Z 1 300 K .
N1 N 2 f
e2
, où f est
2mH 0 Z0 Z0 Z iD un réel positif nommé force d’oscillateur. Quelle est la dimension de f ?
‰ 19 – Quel est, à l’équilibre thermique, le signe de N1 N2 ? Justifier, sans calculs détaillés, que
dans ce cas le milieu est absorbant.
‰ 20 – Dans un laser, on réalise, en régime permanent, l’inégalité N 2 ! N1 ; justifier le nom
d’inversion de population donné à cette situation. Que se passe-t-il lors de la propagation d’une onde
électromagnétique dans ce milieu ? LASER est l’acronyme de la traduction anglaise de « Amplification de lumière par émission stimulée de radiation » ; justifier cette appellation.
‰ 21 – Quelles caractéristiques présentent les lasers par rapport aux autres sources de lumière ? Citez
des utilisations du laser autres que la réalisation d’expériences au lycée.
TROISIÈME PARTIE : LAME POLARISANTE
Une lame diélectrique à faces planes et parallèles, d’épaisseur d, est placée dans
l’air, assimilé ici au vide (Fig. 2). L’une des faces, représentée par le plan xOy, est
abordée Gpar une onde électromagnétique transversale dont le champ électrique
s’écrit E E x x, y , z, t uˆ x E y x, y , z, t uˆ y . Le diélectrique est homogène,
linéaire, transparent, non magnétique, dépourvu de charges et de courants libres,
mais il présente une anisotropie. Cette anisotropie se manifeste par une polarisation
du diélectrique différente suivant les axes x et y. En régime harmonique,
cela se
G
traduit par les relations suivantes entre les composantes du vecteur polarisation P et du vecteur
G
champ électrique E :
H 0 H rx 1 E x et P y
Px
H 0 H ry 1 E y .
On pose ci-dessous H 1 H 0 H rx et H 2 H 0 H ry , avec H ry ! H rx . Il résulte de la question la question 15
JJJG G
G G
G JG
w
H 0 E P et il résulte de la question la question 16 que div H 0 E P 0 .
wt
G
G
‰ 22 – Établir une équation différentielle faisant intervenir les vecteurs E et P , et eux seulement ;
G
attention, cette équation fait intervenir div E , qui n’est pas nul.
que rot B
P0
Physique II - PC - 2007
w Ex w E y
, qui fait intervenir H 1 et H 2 . En déduire que
et
wx
wy
§ H1 · w 2 E x
w2 Ex
l’équation de propagation vérifiée par E x est 'E x ¨ 1 ¸
P0 H 1 2 .
2
wt
© H 2 ¹ wx
‰ 23 – Établir la relation entre
‰ 24 – Écrire l’équation de propagation vérifiée par E y . Que devient cette équation si le diélectrique
est isotrope ?
‰ 25 – On considère à partir d’ici que les composantes du champ électrique s’écrivent
E x z, t ª §
z ·º
E0 x exp «iZ ¨ t ¸ »
¬ © c1 ¹ ¼
et
ª §
z ·º
E0 y exp «iZ ¨ t ¸ » .
¬ © c2 ¹ ¼
E y z, t Les amplitudes complexes E0 x et E0 y sont constantes. En utilisant les résultats de la question précédente, exprimer les constantes c1 et c2 en fonction des paramètres du milieu.
Texte introductif aux questions 26 à 28
Une onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement suivant la
bissectrice intérieure des axes (Ox, Oy) aborde le diélectrique sur sa face
z 0 , en incidence normale (Fig. 3). On néglige toute réflexion de l’onde ;
cette dernière est donc intégralement transmise. La valeur maximale de la
norme du champ électrique de l’onde incidente est notée E0 .
‰ 26 – Donner les expressions des composantes E x et E y du champ
dans le plan z
0.
‰ 27 – Exprimer, pour z d , le déphasage entre les composantes du champ dans le diélectrique.
Quelle valeur minimale de d (notée d min ) faut-il utiliser si l’on veut obtenir une onde polarisée
circulairement à la sortie du diélectrique ?
On pose c1
et n2
c0 1 2 G c
c n1 et c2
c0 1 2 G c
1
n0 G n . Calculer G n n0 pour d min
2
5 mm et O
c n2
G c c0 , avec
2S c
Z
n1
1
n0 G n
2
5 u 106 m .
‰ 28 – Citez des applications possibles d’un tel dispositif.
QUATRIÈME PARTIE : INTERFÉROMÈTRE
Un interféromètre de Michelson (fig. 4) est initialement réglé en
différence de marche OM1 OM2 e non nulle, e , cm. Le
miroir M1 et l’image du miroir M 2 à travers la séparatrice S
sont parallèles. La compensatrice C et la séparatrice sont
parallèles et à 45° de l’axe Ox. L’éclairement est monochromatique de longueur d’onde O0 0,597 u10 6 m . La source So est
assimilable à un disque de rayon a 1 mm d’axe Ox placé dans
le plan focal d’une lentille convergente L1 de distance focale
image f1c 0, 3 m .
‰ 29 – Quels sont les rôles de la séparatrice et de la compensatrice ? Quelles sont les caractéristiques
communes et particulières de la compensatrice et de la séparatrice ?
Physique II - PC - 2007
‰ 30 – L’observation du phénomène utilise une lentille convergente (de focale image f2c 1,5 m , par
exemple). Décrire le dispositif d’observation et le phénomène observable avec une source étendue.
Exprimer et calculer, à une unité près, le nombre de motifs observables ayant une intensité lumineuse
minimale.
Texte introductif aux questions 31 et 32
La source est une source de lumière naturelle, non polarisée. On place entre le miroir M1 et l’ensemble CS un
polariseur P1 perpendiculaire aux faisceaux lumineux aller et retour et dont l’axe de polarisation est
perpendiculaire au plan de la figure 4. On fait de même entre le miroir M 2 et l’ensemble CS dans les mêmes
conditions géométriques relatives avec un polariseur P2 . On raisonnera pour les aspects liés à la polarisation
en supposant la source quasi ponctuelle et l’écran éclairé uniformément ; on négligera l’influence de
l’ensemble CS sur la polarisation des ondes.
‰ 31 – Décrire les modifications éventuelles du phénomène par rapport à la question 30.
‰ 32 – On fait pivoter lentement l’axe du polariseur P2 jusqu'à ce qu’il se situe dans le plan de la
figure 4. Décrire sans aucun calcul les modifications éventuelles du phénomène.
Texte introductif aux questions 33 à 36
Le montage de la Fig. 4 est modifié : on enlève le dispositif
d’observation et les polariseurs. Les miroirs M1 et M 2 sont
inclinés du même angle D (Fig. 5) ; on place au foyer objet F1 de
la lentille L1
f1c
monochromatique
0,3 m une source ponctuelle de lumière
O
0
0,597 u 10 6 m .
‰ 33 – En considérant le modèle optique équivalent de
l’interféromètre de Michelson, représenter la marche d’un
rayon lumineux.
‰ 34 – Soit A un point de la droite définie par l’intersection de M1 et
de Mc2 , image de M 2 à travers CS (Fig. 6). Soit P un point du plan
JJJG
bissecteur de M1 et de Mc,
2 tel que AP
x uˆ x . Au point P, exprimer la
différence de marche G x entre les ondes réfléchies sous la forme
G x x f ª¬ tan D º¼ , où f est une fonction à déterminer. On rappelle
qu’on associe un chemin optique négatif à un trajet virtuel opposé au
sens de propagation de la lumière. On pourra, éventuellement, avoir
recours à l’identité 1 1
cos 2D 2
.
1 tan 2 D ‰ 35 – Exprimer l’intensité I x de la lumière émergente en fonction des intensités I 1 et I 2 de cha-
que onde réfléchie et de l’abscisse x du point P. On ne demande pas de démontrer la formule générale
des interférences à deux ondes.
‰ 36 – On souhaite photographier le phénomène ; comment doit-on placer et mettre au point un appareil photographique par rapport au dispositif ? On assimilera l’appareil photographique à une lentille
convergente. Quelle (s) application (s) voyez-vous de l’expérience précédente ?
Physique II - PC - 2007
Données numériques (toutes ne sont pas données avec la même précision)
0,911 u 10
30
kg
Masse de l’électron
m
Charge du proton
e 1,602 u 10 19 C
Constante de Planck
h 6,63u 10 34 J.s
Constante de Boltzmann
kB
Rapport des masses proton/électron
M
m
Perméabilité magnétique du vide
P0 1,26 u 10 6 H.m1
Célérité de la lumière dans le vide
1,38 u 10
23
J.K
1
1836
c 3,00 u 108 m.s 1
12
Permittivité diélectrique du vide
H0
Champ électrique d’ionisation de l’air
Edisruptif | 106 V.m 1
8,85 u 10
F.m
1
FIN DU PROBLÈME
FIN DE L’ÉPREUVE