L`atome quantique

LectureNotes
1
L’atome quantique
L’atome d’hydrogène :
- un proton + un électron
- Force entre les deux particules : l’attraction Coulombienne
- Le proton est ≈1800 fois plus lourd que l’électron
⇒ Mettre l’origine à la position du proton, et
considérer mouvement électronique autour du proton
⇒ Symétrie sphérique
⇒ Mécanique quantique en trois dimensions
L’équation de Schrödinger en trois dimensions :
* Comparer avec le cas 1D :
- l’opérateur pour la quantité de mouvement :
ˆpx=i~d
dx
⇒ Le Hamiltonien :
ˆ
Hx=1
2mˆp2
x+V(x)=
~2
2m
d2
dx2+V(x)
* L’analogue en 3D :
ˆ
H=1
2mˆp2
x+ˆp2 y+ˆp2 z+V(x, y, z)
ˆpx=i~d
dx
,ˆpy=i~d
dy
,ˆpz=i~d
dy

LectureNotes
2
⇒
ˆ
H=
~2
2m✓d2 dx2+d2 dy2+d2 dz2◆+V(x, y, z)
=~2
2mr2+V(~r)
avec
r2=✓d2
dx2+d2 dy2+d2 dz2◆
; “le Laplacian”
-> L’équation de Schrödinger, indepéndante du temps, en
3D :
~2
2mr2 (~r)+V(~r) (~r)=E (~r)
Potentiel Coulombien :
- Le potentiel ne dépend que de la distance entre le proton
et l’électron : “le rayon”
V(~r)=
e2
4⇡"0
1
r
⇒ C’est possible de séparer la partie radiale et la partie
angulaire de la fonction d’onde :
(x, y, z)= (r, ✓,')
(r, ✓,')=R(r)Y(✓,')

LectureNotes
3
Séparation de variables :
- Le Laplacien en coordonnés sphériques :
r2=
1
r2
@
@r✓r2@ @r◆1 r2
~
l2
où
~
l2=1
sin ✓
@
@✓ ✓sin ✓@ @✓◆+1
sin2✓
@2
@'2
- L’équation de Schrödinger :
(substitution
(r, ✓,')!R(r)Y(✓,')
et division par
R(r)Y(✓,')
)
1
R(r)
@
@r✓r2@R(r) @r◆
2mr2
~2(V(r)E)= 1 Y(✓,')~
l2Y(✓,') = const.
Solutions :
- Il existent des solutions analytiques pour
R(r)
et pour
Y(✓,')
. Vous allez les voir en L3.
- Les solutions de
Y(✓,')
sont “les harmoniques
sphériques”. L’énergie (les valeurs propres du Hamiltonien),
ne dépendent pas des paramètres angulaires
✓,'
- Les énergies sont déterminés par la solution de la fonction
radiale
R(r)
En=hcR1
1
n2
n : nombre quantique principal

LectureNotes
4
Avec la connaissance de
R(r)
, on peut calculer la
probabilité de présence de l’électron autour le proton
|R(r)|2
.
Il y a un “nuage” de probabilité, avec une symétrie qui
dépend de
Y(✓,')
et une distance moyenne du noyau qui
depend de
R(r)
Conclusions :
- Il n’y a pas des “orbites” de l’électron comme dans un point
de vue classique. Un atome n’a pas le comportement d’un
système planétaire.
- Cependant, il y a une distribution de charge et la valeur
moyenne du moment angulaire orbital peut être différente
de zero,
- L’énergie est donnée par la partie radiale de la fonction
d’onde et est en accord avec le modèle de Bohr.
- Pour un atome plus grand que H, le modèle de Bohr ne
donne pas grand chose et il n’y a pas de solution analytique
de l’équation de Schrödinger.