Géométrie dans l`espace I Modes de repérage dans l`espace

Géométrie dans l’espace
I Modes de repérage dans l’espace 1
I.A Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.B Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.C Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte 2
II.A Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.B Produit vectoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.C Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs . . . . . . . . . 6
III Droites, plans et sphères 7
III.APlans.................................. 7
III.A.1 Paramétrage d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.A.2 Recherche d’une équation de plan . . . . . . . . . . . . . . 8
III.BDroites................................. 9
III.CSphères ................................ 10
III.DIntersections.............................. 11
III.D.1 Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.D.2 Intersection d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . 11
III.D.3 Intersection de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III.D.4 Intersection d’une sphère et d’une droite . . . . . . . . . . 12
III.D.5 Intersection d’une sphère et d’un plan . . . . . . . . . . . 13
III.EDistances ............................... 13
III.E.1 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.E.2 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . 14
III.E.3 Distance de deux droites. Perpendiculaire commune . . . 14
I Modes de repérage dans l’espace
On note E3l’espace usuel (espace affine de dimension 3), et E3l’ensemble de
ses vecteurs (espace vectoriel de dimension 3).
I.A Coordonnées cartésiennes
Pour définir un repère cartésien de E3, on se donne un point Oappelé origine,
et trois vecteurs ~ iet ~ jet ~ knon coplanaires de E3.
Pour tout point Mdu plan, le vecteur −−→ OM se décompose de manière unique
sous la forme : −−→
OM =λ
~
i+µ~ j+ν~ k
(λ, µ, ν)s’appellent composantes du vecteur −−→ OM dans la base (
~
i,~ j,~ k)ou
coordonnées cartésiennes du point Mdans le repère (O,~ i,~ j,~ k).
1

R= (O,~ i,~ j,~ k)est appelé repère car-
tésien de l’espace E3, et B= (
~
i,~ j,~ k)
base de l’espace E3.
Dans tout le chapitre, le repère est
supposé orthonormé direct, et les co-
ordonnées cartésiennes d’un point M
sont notées (x, y, z).
~
k
~
j
~
i
M
m
O
x
y
z
X
Y
Z
I.B Coordonnées cylindriques
Tout point M∈ E3peut aussi être re-
péré par ses coordonnées cylindriques
(r, θ, z)définies par r>0,θ∈[−π, π[
et :
−−→
OM =r(cos θ
~
i+ sin θ~ j) + z~ k
On a alors : 
x=rcos θ
y=rsin θ
z=z
~
k
~
j
~
i
M
m
O
z
θr
X
Y
Z
I.C Coordonnées sphériques
Tout point M∈ E3peut enfin être repéré
par ses coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ)dé-
finies par ρ>0,ϕ∈[−π, π[,θ∈[0, π], et :
−−→
OM =ρsin θ(cos ϕ
~
i+ sin ϕ~ j) + ρcos θ~ k
On a alors : 
x=ρcos ϕsin θ
y=ρsin ϕsin θ
z=ρcos θ
θest la colatitude du point M(en géogra-
phie, ϕest la longitude et π
2−θest la lati-
tude).
~
k
~
j
~
i
M
m
O
θ
ϕ
ρ
X
Y
Z
II Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte
Remarquons avant de commencer que la notion d’orientation de deux vec-
teurs n’a pas de sens dans l’espace.
2

P
~v
~u
⊕
~v
~u
Vue "de dessus"
~v
~u
Vue "de dessous"
II.A Produit scalaire de deux vecteurs
Définition 1. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace. On définit comme dans
le plan le produit scalaire de ~u et ~v par :
~u.~v =k~ukk~vkcos(~u, ~v)si ~u 6= 0 et ~v 6= 0
0si ~u =~ 0ou ~v =~ 0
En particulier, on a ~u.~u =k~uk2.
Remarque 1. La définition reste valable dans l’espace car cos(~u, ~v)ne dépend
pas de l’orientation de ~u et ~v (cos est une fonction paire).
Proposition 1. Soient ~u et ~v deux vecteurs de E3. Alors ~u ⊥~v si et seulement
si ~u.~v = 0.
Comme pour le plan, on dispose d’une propriété importante du produit sca-
laire dans l’espace, qui nous permet de l’exprimer en base orthonormée directe :
Proposition 2. Le produit scalaire est une application bilinéaire symétrique
(voir chapitre géométrie dans le plan pour la définition).
Démonstration. Ce résultat a été démontré dans le plan. On admet qu’il reste vrai dans
l’espace.
Proposition 3. Soit (
~
i,~ j,~ k)une base orthonormale de E3et ~u, ~v deux vecteurs
de coordonnées respectives (x, y, z)et (x0, y0, z0)dans cette base. Alors :
~u.~v =xx0+yy0+zz0
Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarité et de sy-
métrie :
~u.~v = (x
~
i+y~ j+z~ k).(x0~ i+y0~ j+z0~ k)
=xx0~ i.
~
i
|{z}
=1
+yy0~ j.~ j
|{z}
=1
+zz0~ k.~ k
|{z}
=1
+(xy0+x0y)~ i.~ j
|{z}
=0
+(xz0+x0z)~ i.~ k
|{z}
=0
+(yz0+y0z)~ j.~ k
|{z}
=0
=xx0+yy0+zz0
3

Remarque 2. En particulier, on a :
k~uk=px2+y2+z2
et si A(xA, yA, zA)et B(xB, yB, zB)dans le repère (O,~ i,~ j,~ k), alors :
AB =k−−→ ABk=p(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2
II.B Produit vectoriel de deux vecteurs
Définition 2. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace. On définit le produit
vectoriel ~u ∧~v (noté aussi ~u ×~v de ~u et ~v de la manière suivante :
•Si ~u et ~v sont colinéaires, alors ~u ∧~v =~ 0
•Si ~u et ~v ne sont pas colinéaires, alors :
–~u ∧~v est orthogonal à ~u et ~v, et (~u, ~v, ~u ∧~v)est une base directe de E3.
–k~u ∧~vk=k~ukk~vksin(~u, ~v)
En considérant que ~u et ~v sont dans le plan orienté tel que (~u, ~v)∈[0, π]
(donc sin(~u, ~v)>0).
~u ∧~v
~v
~u
Produit vectoriel de ~u et ~v
~u ∧~v
~v
~u
Remarque 3. k~u ∧~vkest l’aire du parallélogramme construit sur ~u et ~v. On a
déjà démontré ce point dans le chapitre Géométrie dans le plan.
Proposition 4. Soient ~u et ~v deux vecteurs de E3. Alors :
1. ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~u ∧~v = 0.
2. La base (~u, ~v, ~w)est directe si et seulement si ~w.(~u ∧~v)>0.
Démonstration. Le premier point est clair à l’aide de la définition. Pour le second point, il
suffit de remarquer que ~w.(~u ∧~v)est du signe du cosinus de l’angle des vecteurs ~w et ~u ∧~v,
c’est à dire strictement positif si la base (~u, ~v, ~w)est directe et strictement négatif si la base
(~u, ~v, ~w)est indirecte.
On peut construire le produit vectoriel de deux vecteurs ~u et ~v en trois étapes.
Pour cela, on construit une base orthonormée directe (~ I, ~ J, ~ K)avec ~ I=~u
k~uk.
4

~
K
~
J
~
I
O
~u
~v
~v0
~v00
~u ∧~v
X
Y
Z
1. On effectue la projection orthogonale du vecteur ~v sur le plan vectoriel
(~ J, ~ K). Le vecteur ~v0obtenu est orthogonal à ~ I, donc à ~u (on a au passage
k~v0k=k~vksin(~u, ~v), où (~u, ~v)∈[0, π]).
2. On effectue une rotation vectorielle d’angle π
2du vecteur ~v0dans le plan
orienté (~ J, ~ K). Le vecteur ~v00 obtenu est orthogonal à ~v0et ~v, et reste dans
le plan (~ J, ~ K), donc orthogonal à ~u. On a aussi k~v00k=k~v0k.
3. Pour construire le vecteur ~u∧~v, il reste à effectuer l’homothétie vectorielle
de rapport k~ukdu vecteur ~v00 dans le plan (~ J, ~ K). Ainsi, le vecteur obtenu
est bien orthogonal à ~u et ~v et de norme k~ukk~vksin(~u, ~v).
Proposition 5. Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymé-
trique (voir chapitre géométrie dans le plan pour la définition).
Démonstration. On admet ce résultat, en particulier la bilinéarité qui découle directement
des propriétés des projections orthogonales, rotations et homothéties, et de la décomposition
du produit vectoriel vue ci-dessus.
Proposition 6. Soit (
~
i,~ j,~ k)une base orthonormale directe de E3et ~u, ~v deux
vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z)et (x0, y0, z0)dans cette base. Alors :
~u ∧~v = (yz0−zy0)
~
i+ (zx0−xz0)~ j+ (xy0−yx0)~ k
=y y0
z z0~
i−x x0
z z0~
j+x x0
y y0~
k
Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarité et d’anti-
symétrie :
~u ∧~v = (x
~
i+y~ j+z~ k)∧(x0~ i+y0~ j+z0~ k)
=xx0~ i∧~ i
|{z}
=
~
0
+yy0~ j∧~ j
|{z}
=
~
0
+zz0~ k∧~ k
|{z}
=
~
0
+(xy0−x0y)~ i∧~ j
|{z}
=~ k
+(−xz0+x0z)~ k∧~ i
|{z}
=
~
j
+(yz0−y0z)~ j∧~ k
|{z}
=
~
i
= (yz0−zy0)
~
i+ (zx0−xz0)~ j+ (xy0−yx0)~ k
5