Géométrie dans l’espace I Modes de repérage dans l’espace I.A Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.B Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.C Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 II Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte II.A Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.B Produit vectoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . II.C Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs . . . . . . . . . 2 3 4 6 III Droites, plans et sphères III.A Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.A.1 Paramétrage d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . III.A.2 Recherche d’une équation de plan . . . . . . . . . . . III.B Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.C Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.D Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.D.1 Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . III.D.2 Intersection d’une droite et d’un plan . . . . . . . . III.D.3 Intersection de deux droites . . . . . . . . . . . . . . III.D.4 Intersection d’une sphère et d’une droite . . . . . . . III.D.5 Intersection d’une sphère et d’un plan . . . . . . . . III.E Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.E.1 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . III.E.2 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . III.E.3 Distance de deux droites. Perpendiculaire commune I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 Modes de repérage dans l’espace On note E3 l’espace usuel (espace affine de dimension 3), et E3 l’ensemble de ses vecteurs (espace vectoriel de dimension 3). I.A Coordonnées cartésiennes Pour définir un repère cartésien de E3 , on se donne un point O appelé origine, et trois vecteurs ~i et ~j et ~k non coplanaires de E3 . −−→ Pour tout point M du plan, le vecteur OM se décompose de manière unique sous la forme : −−→ OM = λ~i + µ~j + ν~k −−→ (λ, µ, ν) s’appellent composantes du vecteur OM dans la base (~i, ~j, ~k) ou coordonnées cartésiennes du point M dans le repère (O,~i, ~j, ~k). 1 Z R = (O,~i, ~j, ~k) est appelé repère cartésien de l’espace E3 , et B = (~i, ~j, ~k) base de l’espace E3 . z M ~k Dans tout le chapitre, le repère est supposé orthonormé direct, et les coordonnées cartésiennes d’un point M sont notées (x, y, z). ~j O y Y ~i x m X I.B Coordonnées cylindriques Tout point M ∈ E3 peut aussi être repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) définies par r > 0, θ ∈ [−π, π[ et : Z z M −−→ OM = r(cos θ~i + sin θ~j) + z~k x = r cos θ y = r sin θ On a alors : z=z ~k O ~i ~j Y r θ m X I.C Coordonnées sphériques Tout point M ∈ E3 peut enfin être repéré par ses coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) définies par ρ > 0, ϕ ∈ [−π, π[, θ ∈ [0, π], et : Z −−→ OM = ρ sin θ(cos ϕ~i + sin ϕ~j) + ρ cos θ~k x = ρ cos ϕ sin θ y = ρ sin ϕ sin θ On a alors : z = ρ cos θ θ est la colatitude du point M (en géographie, ϕ est la longitude et π2 − θ est la latitude). II M ρ ~k θ O ~i ϕ ~j Y m X Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte Remarquons avant de commencer que la notion d’orientation de deux vecteurs n’a pas de sens dans l’espace. 2 ~ u ~v ~v ⊕ ~ u P II.A Vue "de dessus" ~ u ~v Vue "de dessous" Produit scalaire de deux vecteurs Définition 1. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace. On définit comme dans le plan le produit scalaire de ~u et ~v par : k~ukk~v k cos(~u, ~v ) si ~u 6= 0 et ~v 6= 0 ~u.~v = 0 si ~u = ~0 ou ~v = ~0 En particulier, on a ~u.~u = k~uk2 . Remarque 1. La définition reste valable dans l’espace car cos(~u, ~v ) ne dépend pas de l’orientation de ~u et ~v (cos est une fonction paire). Proposition 1. Soient ~u et ~v deux vecteurs de E3 . Alors ~u ⊥ ~v si et seulement si ~u.~v = 0. Comme pour le plan, on dispose d’une propriété importante du produit scalaire dans l’espace, qui nous permet de l’exprimer en base orthonormée directe : Proposition 2. Le produit scalaire est une application bilinéaire symétrique (voir chapitre géométrie dans le plan pour la définition). Démonstration. Ce résultat a été démontré dans le plan. On admet qu’il reste vrai dans l’espace. Proposition 3. Soit (~i, ~j, ~k) une base orthonormale de E3 et ~u, ~v deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et (x0 , y 0 , z 0 ) dans cette base. Alors : ~u.~v = xx0 + yy 0 + zz 0 Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarité et de symétrie : ~ u.~v = = (x~i + y~j + z~k).(x0~i + y 0~j + z 0~k) xx0 ~i.~i +yy 0 ~j.~j +zz 0 ~k.~k +(xy 0 + x0 y) ~i.~j +(xz 0 + x0 z) ~i.~k +(yz 0 + y 0 z) ~j.~k |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} =1 = 0 0 =1 0 =1 =0 xx + yy + zz 3 =0 =0 Remarque 2. En particulier, on a : k~uk = p x2 + y 2 + z 2 et si A(xA , yA , zA ) et B(xB , yB , zB ) dans le repère (O,~i, ~j, ~k), alors : p −−→ AB = kABk = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 II.B Produit vectoriel de deux vecteurs Définition 2. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace. On définit le produit vectoriel ~u ∧ ~v (noté aussi ~u × ~v de ~u et ~v de la manière suivante : • Si ~u et ~v sont colinéaires, alors ~u ∧ ~v = ~0 • Si ~u et ~v ne sont pas colinéaires, alors : – ~u ∧ ~v est orthogonal à ~u et ~v , et (~u, ~v , ~u ∧ ~v ) est une base directe de E3 . – k~u ∧ ~v k = k~ukk~v k sin(~u, ~v ) En considérant que ~u et ~v sont dans le plan orienté tel que (~u, ~v ) ∈ [0, π] (donc sin(~u, ~v ) > 0). ~ u ~ u ∧ ~v ~v ~v ~ u ∧ ~v ~ u Produit vectoriel de ~u et ~v Remarque 3. k~u ∧ ~v k est l’aire du parallélogramme construit sur ~u et ~v . On a déjà démontré ce point dans le chapitre Géométrie dans le plan. Proposition 4. Soient ~u et ~v deux vecteurs de E3 . Alors : 1. ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~u ∧ ~v = 0. 2. La base (~u, ~v , w) ~ est directe si et seulement si w.(~ ~ u ∧ ~v ) > 0. Démonstration. Le premier point est clair à l’aide de la définition. Pour le second point, il suffit de remarquer que w.(~ ~ u ∧ ~v ) est du signe du cosinus de l’angle des vecteurs w ~ et ~ u ∧ ~v , c’est à dire strictement positif si la base (~ u, ~v , w) ~ est directe et strictement négatif si la base (~ u, ~v , w) ~ est indirecte. On peut construire le produit vectoriel de deux vecteurs ~u et ~v en trois étapes. ~ J, ~ K) ~ avec I~ = ~u . Pour cela, on construit une base orthonormée directe (I, k~ uk 4 ~ u ∧ ~v Z ~v 00 ~v 0 ~ K ~v O I~ Y J~ ~ u X 1. On effectue la projection orthogonale du vecteur ~v sur le plan vectoriel ~ K). ~ Le vecteur ~v 0 obtenu est orthogonal à I, ~ donc à ~u (on a au passage (J, k~v 0 k = k~v k sin(~u, ~v ), où (~u, ~v ) ∈ [0, π]). 2. On effectue une rotation vectorielle d’angle π2 du vecteur ~v 0 dans le plan ~ K). ~ Le vecteur ~v 00 obtenu est orthogonal à ~v 0 et ~v , et reste dans orienté (J, ~ K), ~ donc orthogonal à ~u. On a aussi k~v 00 k = k~v 0 k. le plan (J, 3. Pour construire le vecteur ~u ∧~v , il reste à effectuer l’homothétie vectorielle ~ K). ~ Ainsi, le vecteur obtenu de rapport k~uk du vecteur ~v 00 dans le plan (J, est bien orthogonal à ~u et ~v et de norme k~ukk~v k sin(~u, ~v ). Proposition 5. Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique (voir chapitre géométrie dans le plan pour la définition). Démonstration. On admet ce résultat, en particulier la bilinéarité qui découle directement des propriétés des projections orthogonales, rotations et homothéties, et de la décomposition du produit vectoriel vue ci-dessus. Proposition 6. Soit (~i, ~j, ~k) une base orthonormale directe de E3 et ~u, ~v deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et (x0 , y 0 , z 0 ) dans cette base. Alors : ~u ∧ ~v (yz 0 − zy 0 )~i + (zx0 − xz 0 )~j + (xy 0 − yx0 )~k y y0 ~ x x0 ~ x x0 ~ = k 0 i− 0 j+ z z z z y y0 = Démonstration. Il suffit de faire le calcul, en s’aidant des propriétés de bilinéarité et d’antisymétrie : ~ u ∧ ~v = = (x~i + y~j + z~k) ∧ (x0~i + y 0~j + z 0~k) xx0 ~i ∧ ~i +yy 0 ~j ∧ ~j +zz 0 ~k ∧ ~k +(xy 0 − x0 y)~i ∧ ~j +(−xz 0 + x0 z) ~k ∧ ~i +(yz 0 − y 0 z) ~j ∧ ~k |{z} | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } =~ 0 = =~ 0 =~ 0 =~ k (yz 0 − zy 0 )~i + (zx0 − xz 0 )~j + (xy 0 − yx0 )~k 5 =~ j =~i II.C Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs Définition 3. Soient ~u, ~v , w ~ ∈ E3 . On appelle déterminant (ou produit mixte) des vecteurs ~u, ~v et w ~ la quantité : det(~u, ~v , w) ~ = ~u.(~v ∧ w) ~ Celle-ci est aussi notée [~u, ~v , w]. ~ Proposition 7. Soit (~i, ~j, ~k) une base orthonormale de E3 et ~u, ~v , w ~ trois vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 ) et (x00 , y 00 , z 00 ) dans cette base. Alors : det(~u, ~v , w) ~ = x0 y0 z0 x y z = x y0 z0 x00 y 00 z 00 (notation) y 00 x0 −y 0 z 00 z x00 x0 +z 0 z 00 y x00 y 00 Démonstration. Il suffit de faire le calcul Proposition 8. Le produit mixte possède les deux propriétés suivantes : 1. Il est antisymétrique, c’est à dire que le fait de permuter deux vecteurs change le signe du déterminant. Par exemple, det(~u, ~v , w) ~ = − det(w, ~ ~v , ~u). 2. Il est trilinéaire, c’est à dire linéaire par rapport à chacune des variables. Par exemple, det(λ~u + µ~u0 , ~v , w)=λ ~ det(~u, ~v , w) ~ + µ det(~u0 , ~v , w). ~ Démonstration. 1. En écrivant det(~ u, ~v , w) ~ = y 0 z 00 x − z 0 y 00 x + z 0 x00 y − x0 z 00 y + x0 y 00 z − y 0 x00 z, il suffit (c’est long !) de vérifier que le fait de permuter deux vecteurs change le signe de cette expression. 2. On peut démontrer la linéarité par rapport à la première variable en un seul calcul : det(λ~ u + µ~ u0 , ~v , w) ~ = (λ~ u + µ~ u0 ).(~v ∧ w) ~ = λ~ u.(~v ∧ w) ~ + µ~ u0 .(~v ∧ w) ~ = λ det(~ u, ~v , w) ~ + µ det(~ u0 , ~v , w) ~ L’antisymétrie montre alors la linéarité par rapport aux deux autres variables. Remarques x x0 • y y0 z z0 4. x00 y 00 change de signe si on permute 2 colonnes. z 00 • det(~u, ~v , w) ~ = det(w, ~ ~u, ~v ) = det(~v , w, ~ ~u). En particulier : det(~u, ~v , w) ~ = w.(~ ~ u ∧ ~v ) 6 • Dans le plan, la notion de déterminant était liée à celle d’aire. ~v Ici, on constate que | det(~u, ~v , w)| ~ est le volume du parallélépipède construit sur ~u, ~v et w. ~ ~u.(~v ∧ w) ~ = h × k~v ∧ wk ~ ~ u h w ~ ~v ∧ w ~ Proposition 9. 1. ~u, ~v et w ~ sont coplanaires si et seulement si det(~u, ~v , w) ~ = 0. 2. (~u, ~v , w) ~ est une base directe si et seulement si det(~u, ~v , w) ~ > 0. Démonstration. 1. Dans le cas où ~v et w ~ sont coluinéares, c’est évident. Sinon, il suffit de remarquer que det(~ u, ~v , w) ~ est nul si et seulement si ~ u est dans le plan orthogonal à ~v ∧ w, ~ c’est à dire le plan (~v , w). ~ 2. On utilise le fait que det(~ u, ~v , w) ~ = w.(~ ~ u ∧ ~v ), et on conclut à l’aide de la proposition 4. III Droites, plans et sphères III.A Plans On peut définir un plan de l’espace E3 de l’une des manières suivantes : – Par trois points non alignés. – Par un point et deux vecteurs non colinéaires du plan. – Par un point et un vecteur normal au plan. Cherchons maintenant des caractérisations analytiques d’un plan dans l’espace. III.A.1 Paramétrage d’un plan Soit P un plan de E3 défini par un point A et deux vecteurs ~u(u1 , u2 , u3 ) et ~v (v1 , v2 , v3 ) non colinéaires, alors : −−→ M (x, y, z) ∈ P ⇔ ∃α, β ∈ R tels que AM = α~u + β~v x = xA + αu1 + βv1 y = yA + αu2 + βv2 ⇔ ∃α, β ∈ R tels que z = zA + αu3 + βv3 On a ainsi obtenu un paramétrage du plan P. Exemple 1. Cherchons un paramétrage du plan P passant par A(1, 0, 1), B(0, −1, −1) et C(−2, 1, 1). −−→ −−→ −→ M (x, y, z) ∈ P ⇔ ∃α, β ∈ R tels que AM = αAB + β AC (1) x = 1 − α − 3β y = −α + β (2) ⇔ (?) ∃α, β ∈ R tels que z = 1 − 2α (3) 7 Nous avons ainsi un paramétrage du plan P. On peut maintenant choisir d’éliminer α et β, pour obtenir des conditions équivalentes portant uniquement sur x, y et z : (1) ← (3) α = 1−z 2 β = y + 1−z (2) ← (2) (?) ⇔ ∃α, β ∈ R tels que 2 1−z x = 1 − 1−z − 3y − 3 (3) ← (1) 2 2 ⇔ x = −1 + 2z − 3y On obtient finalement une unique condition nécessaire et suffisante portant sur (x, y, z) pour que M soit un point de P : x + 3y − 2z + 1 = 0 Cette condition est une équation cartésienne du plan P. III.A.2 Recherche d’une équation de plan Proposition 10. Dans un repère orthonormé, l’ensemble des points M (x, y, z) d’un plan P de l’espace vérifie une équation du type : ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0) Réciproquement, tout équation de cette forme est l’équation d’un plan. Celle-ci est appelée équation cartésienne (non développée) du plan P. Il n’est pas nécessaire de passer par un paramétrage d’un plan pour obtenir son équation. On dispose pour cela des outils de la partie II : le produit scalaire et le déterminant, qui vont jouer le même rôle qu’en géométrie du plan. On peut ainsi rechercher une équation de plan par les méthodes suivantes : 1. À l’aide d’un point A(xA , yA , zA ) et d’un vecteur normal ~n(a, b, c) : M (x, y, z) ∈ P −−→ ⇔ AM .~n = 0 ⇔ a(x − xA ) + b(y − yA ) + c(z − zA ) = 0 ⇔ ax + by + cz + (−axA − byA − czA ) = 0 | {z } =d 2. À l’aide d’un point A(xA , yA , zA ) et de deux vecteurs non colinéaires ~u(u1 , u2 , u3 ) et ~v (v1 , v2 , v3 ), du plan P : M (x, y, z) ∈ P −−→ ⇔ det(AM , ~u, ~v ) = 0 ⇔ x − xA y − yA z − zA u1 u2 u3 v1 v2 = 0 v3 Remarques 5. 1. On peut voir que si ~u et ~v sont deux vecteurs non colinéaires du plan P, alors ~u ∧ ~v en est un vecteur normal (ce qui rend la première méthode assez facile à utiliser). 8 2. Si un plan P a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, alors ~n(a, b, c) est un vecteur normal à P. De plus : ~u(X, Y, Z) est un vecteur de P ⇔ ~u.~n = 0 ⇔ aX + bY + cZ = 0 √ 3. Si a2 + b2 + c2 = 1, on dit que l’équation ax + by + cz + d = 0 est l’équation normale du plan P. Exercice 1. À l’aide de l’une des deux méthodes précédentes, déterminer une équation du plan (ABC), avec A(1, 0, 1), B(0, −1, −1) et C(−2, 1, 1). III.B Droites Dans l’espace, on dispose de deux manières de définir une droite : – Soit par deux points. – Soit par un point et un vecteur directeur. Soit D une droite de E3 défini par un point A et un vecteur directeur ~u(u1 , u2 , u3 ) 6= 0, alors : −−→ M (x, y, z) ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R tel que AM = λ~u x = xA + λu1 y = yA + λu2 ⇔ ∃λ ∈ R tel que z = zA + λu3 On a ainsi obtenu un paramétrage de la droite D. Exemple 2. Cherchons un paramétrage de la droite D passant par A(2, −1, 1), et de vecteur directeur ~u(1, 2, 1). M (x, y, z) ∈ D −−→ ∃λ ∈ R tel que AM = λ~u x=2+λ y = −1 + 2λ ⇔ (?) ∃λ ∈ R tel que z =1+λ ⇔ (1) (2) (3) Nous avons ainsi un paramétrage de la droite P. On peut maintenant choisir d’éliminer λ, pour obtenir des conditions équivalentes portant uniquement sur x, y et z : (1) λ=x−2 y = −1 + 2(x − 2) (2) (?) ⇔ ∃λ ∈ R tel que z = 1 + (x − 2) (3) 2x − y − 5 = 0 ⇔ x−z−1=0 Cette dernière condition est une condition nécessaire et suffisante portant sur (x, y, z) pour que M soit un point de D. Il s’agit d’un système d’équations cartésiennes de la droite D. 9 Interprétation géométrique : D ~ n Toute droite peut être définie comme l’intersection de deux plans. ~ u ~ n0 P Les coordonnées de ses points vérifient le système d’équations formé par les équations des deux plans. P0 Remarque 6. Si D est définie par le système : ax + by + cz + d = a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0 0 Alors ~u = ~n ∧ ~n0 , où ~n a pour coordonnées (a, b, c) et ~n0 a pour coordonnées (a0 , b0 , c0 ), est un vecteur directeur de D. III.C Sphères Définition 4. On appelle sphère de centre Ω et de rayon R > 0 l’ensemble des points M de l’espace tels que ΩM = R. Proposition 11. Dans un repère orthonormé, l’ensemble des points M (x, y, z) d’une sphère S = S(Ω, R) de centre Ω(a, b, c) et de rayon R vérifie l’équation : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Réciproquement, tout équation de cette forme est l’équation d’une sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R. Celle-ci est appelée équation cartésienne (non développée) de S. Démonstration. M ∈ C(Ω, R) ⇔ ΩM = R ⇔ ΩM 2 = R2 ⇔ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Si on développe l’équation (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 , on obtient : x + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz − R2 + a2 + b2 + c2 = 0. Donc l’équation développée d’une sphère est de la forme : 2 x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 Réciproquement, si on part de l’équation x2 + y 2 + z 2 αx + βy + γz + δ = 0, on peut se demander s’il s’agit de l’équation d’une sphère. Celle-ci équivaut à : (x + α 2 α2 β β2 γ γ2 ) − + (y + )2 − + (z + )2 − +δ =0 2 4 2 4 2 4 10 et on retrouve ainsi une équation proche de celle d’une sphère : (x + α 2 β2 γ2 β γ α2 ) + (y + )2 + (z + )2 = + + −δ 2 2 2 4 4 4 Cette équation représente l’ensemble vide si si R 2 2 α2 + β4 + γ4 − δ 4 q 2 2 2 = α4 + β4 + γ4 α2 4 2 2 + β4 + γ4 − δ < 0. En revanche, > 0, c’est la sphère de centre Ω(− α2 , − β2 , − γ2 ) et de rayon − δ. Exercice 2. Déterminer l’ensemble de points de l’espace représenté par l’équation suivante : x2 + y 2 + z 2 − 6x + 2y − 4z − 2 = 0 III.D Intersections III.D.1 Intersection de deux plans On se donne deux plans P : ax + by + cz + d = 0 et P 0 : a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0 dont on cherche l’éventuelle intersection. On sait que ~n(a, b, c) et ~n0 (a0 , b0 , c0 ) sont des vecteurs normaux respectifs aux plans P et P 0 . Plusieurs cas sont possibles : 1er cas : P et P 0 ne sont pas parallèles, alors P ∩ P 0 est une droite D. Cette condition est réalisée si et seulement si ~n ∧ ~n0 6= ~0. Dans ce cas, la droite D est définie par le système : ax + by + cz + d = 0 a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0 2ème cas : P et P 0 sont parallèles, alors P ∩ P 0 est soit l’ensemble vide, soit un plan si P et P 0 sont confondus. Cette condition est réalisée si et seulement si ~n ∧ ~n0 = ~0. Exercice 3. Soient deux plans P : 2x − y + 3z − 1 = 0 et P 0 : x + y − 4z − 6 = 0. Montrer que P et P 0 se coupent suivant une droite D dont on déterminera un paramétrage. III.D.2 Intersection d’une droite et d’un plan 0 a x + b0 y + c 0 z + d 0 = 0 On se donne une droite D : et un plan a00 x + b00 y + c00 z + d00 = 0 P : ax + by + cz + d = 0 dont on cherche l’éventuelle intersection. On sait que ~n(a, b, c) est un vecteur normal au plan P et ~u = (a0 , b0 , c0 ) ∧ (a00 , b00 , c00 ) est un vecteur directeur de la droite D. Plusieurs cas sont possibles : 11 1er cas : P et D ne sont pas parallèles, alors P ∩ D est un point A. Cette condition est réalisée si et seulement si ~n.~u 6= 0. Dans ce cas, les coordonnées du point A sont définies par le système : ax + by + cy + d = 0 a0 x + b0 y + c0 y + d0 = 0 00 a x + b00 y + c00 z + d00 = 0 2ème cas : P et D sont parallèles, alors P ∩ D est soit l’ensemble vide, soit une droite si P ∩ D = D. Cette condition est réalisée si et seulement si ~n.~u = 0. a Remarque 7. Avec les notations précédentes, on a : ~n.~u = b c III.D.3 a0 b0 c0 a00 b00 c00 Intersection de deux droites On se donne deux droites a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 D: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 et D0 : a01 x + b01 y + c01 z + d01 = 0 a02 x + b02 y + c02 z + d02 = 0 dont on cherche l’éventuelle intersection. On sait que ~u = (a1 , b1 , c1 )∧(a2 , b2 , c2 ) et ~u0 = (a01 , b01 , c01 ) ∧ (a02 , b02 , c02 ) sont des vecteurs directeurs respectifs des droites D et D0 . Plusieurs cas sont possibles : 1er cas : D et D0 ne sont pas parallèles, alors D ∩ D0 est un point A (si ces droites sont coplanaires), ou D ∩ D0 est l’ensemble vide. Cette condition est réalisée si et seulement si ~u ∧ ~u0 6= ~0. 2ème cas : D et D0 sont parallèles, alors D ∩ D0 est soit l’ensemble vide, soit une droite si D et D0 sont confondues. Cette condition est réalisée si et seulement si ~u ∧ ~u0 = ~0. III.D.4 Intersection d’une sphère et d’une droite On se donne une droite D et une sphère S dont on cherche les éventuels points d’intersection. On note Ω le centre de la sphère, et R son rayon. Les cas possibles sont : 1er cas : d(Ω, D) > R, alors S ∩ D = ∅. 2ème cas : d(Ω, D) = R, alors S ∩ D = {A}. On dit que la droite et la sphère sont tangents en A. 3ème cas : d(Ω, D) < R, alors S ∩ D = {A, B}. R R Ω Ω D R Ω S S D S D 12 III.D.5 Intersection d’une sphère et d’un plan On se donne un plan P et une sphère S dont on cherche les éventuels points d’intersection. On note Ω le centre de la sphère, et R son rayon. Les cas possibles sont : 1er cas : d(Ω, P) > R, alors S ∩ P = ∅. 2ème cas : d(Ω, P) = R, alors S ∩ P = {A}. On dit que la droite et le plan sont tangents en A. ème 3 cas : d(Ω, P) < R, alors S ∩ P est un cercle. Dans ce cas, le centre de ce cercle est le projeté orthogonal de Ω sur P. R R Ω R Ω S P Ω S S P P III.E Distances III.E.1 Distance d’un point à un plan Proposition 12. Soit P un plan d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, et M0 (x0 , y0 , z0 ) un point quelconque de l’espace. Alors la distance de M0 au plan P est donnée par : M0 d(M0 , P) = ~ n |ax0 + by0 + cz0 + d| √ a2 + b2 + c2 P Démonstration. On procède de même que pour la distance d’un point à une droite en géométrie du plan (voir chapitre géométrie dans le plan). 13 Exercice 4. Soit S la sphère de E3 d’équation cartésienne x2 + y 2 + z 2 = 4 et P le plan d’équation cartésienne x + y + z + 1 = 0. Montrer que S et P se coupent suivant un cercle de centre C dont on précisera le centre et le rayon. III.E.2 Distance d’un point à une droite Proposition 13. Soit D une droite, définie par un point A et un vecteur directeur ~u. Si M0 ∈ E3 , alors la distance de ce point à la droite D est donnée par la relation : −−−→ k~u ∧ AM0 k d(M0 , D) = k~uk D M0 A ~ n H Démonstration. On note H le projeté orthogonal de M0 sur la droite D : −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−−→ k~ u ∧ AM0 k = k~ u ∧ (AH + HM0 )k = k~ u ∧ HM0 k = k~ uk.kHM0 k −−−→ k~ u ∧ AM0 k −−−→ D’où d(M0 , D) = kHM0 k = k~ uk Exercice 5. Soient A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) et C(2, 3, 0). Calculer la distance du point A à la droite (BC). √ Solution. d(A, (BC)) = III.E.3 3 3 Distance de deux droites. Perpendiculaire commune Soient D : (A, ~u) et D0 : (A0 , ~u0 ) deux droites non parallèles. On commence tout d’abord par chercher s’il existe une perpendiculaire commune à D et D0 . Si une telle droite existe, elle est à la fois perpendiculaire à D et à D0 , donc elle a pour vecteur directeur ~u ∧ ~u0 et coupe ces deux droites. Réciproquement, on constate que la droite ∆, intersection des plans P : (A, ~u, ~u ∧ ~u0 ) et P 0 : (A, ~u0 , ~u ∧ ~u0 ) remplit toutes ces conditions. On note H (resp. H 0 ) le point d’intersection de ∆ et D (resp. D0 ). 14 D0 P ~ u0 A0 H0 ~ u∧~ u0 H A P0 ~ u D Proposition 14. Avec les notations précédentes, la distance entre les droites D et D0 est donnée par la relation : d(D, D0 ) = −−→ |AA0 .(~u ∧ ~u0 )| k~u ∧ ~u0 k Démonstration. La longueur HH 0 est la distance entre les droites D et D0 . En effet, si M ∈ D et M 0 ∈ D0 : −−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ M M 02 = kM M 0 k2 = kM H + HH 0 + H 0 M 0 k2 = kHH 0 + (M H + H 0 M 0 )k2 −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ = kHH 0 k2 + 2 HH 0 .(M H + H 0 M 0 ) +kM H + H 0 M 0 k2 > kHH 0 k2 = HH 02 | {z } =0 HH 0 Il reste alors à calculer −−→ |AA0 .(~ u∧~ u0 )| : = = −−→ −−→ −−→ −−→ |(AH + HH 0 + H 0 A).(~ u∧~ u0 )| = |HH 0 .(~ u∧~ u0 )| −−→0 kHH k.k~ u∧~ u0 k D’où le résultat. Exercice 6. Soit D la droite passant par le point A(1, 3, −2) et dirigée par le vecteur ~u(0, 1, −1), et D0 la droite passant par le point A0 (3, 1, 1) et dirigée par le vecteur ~u0 (1, 0, 1). Calculer la distance de D à D0 , et déterminer un système d’équations de leur perpendiculaire commune ∆. Solution. d(D, D0 ) = 1 √ 3 Remarque 8. Dans le cas où les droites D et D0 sont parallèles, on a : d(D, D0 ) = d(A, D0 ) A étant un point quelconque de D. 15