Contribution à la théorie additive des nombres. V

3
=
Mathematics. -- Contribution à la théorie additive des nombres. (Cinquième
Communication 1). Par J. G. VAN DER CORPUT.
(Communicatecl at the meeting of December 17, 1938.)
Troisième application.
Introduisons un polynome
'IjJ(x)=bx g
+ ...
(b
> 0, g > 0)
du gième degré, qui prend des valeurs entièr'es pour toutes les valeurs entières
de x; introduisons en outre trois nombres naturels K, U, U', un entier u
premier avec U 'et un 'entier u' premier avec U' et posons la question quels
nombres naturels t possèdent la forme
t=Kp
+ 'lp (pI),
(58)
ou pest un nombre premier =. tl (mod. U) et p' un nombre premIer = UI
(mod. U').
'
Désignons par G Ie pro duit des nombres premiers p qui ne sont pas
un facteur de U' et pour lesquels la congruence
'IjJ
(x) =-= 1jJ (1)
(mod.p)
1. Si P n"est pas un facteur de U, il n' existe aucun entier X
UI
(mod. UI) qui n'est pas divisible par P tel que 'IjJ(X) - t soit divisible par
p'" et non par pO'+l. Parce que P n'est pas un facteur de U, Ie nombre pu'
est un diviseur de K, par conséquent aussi de - Kp = 'IjJ (p') - t. Si p'
n' est pas égal à P, la puissance po,+l est donc un diviseur de Kp, de sorte
que pest divisible par, c' est à dire égal à P.
2. Si Pest un facteur de U, tout entier X=:= u' (mod. U') tel que
'tp(X) + Ku - t soit divisible par pO', est divisible par P. Puisque
1p(p') + Ku-t= K(u-p) est divisible par KU, c'est~à~dire par P", Ie
nombre premier p' est divisible par, c' est~à~dire égal à P.
Ainsi nous avons obtenu Ie résultat suivant:
Si un nombre naturel t n'appartenant pas à E peut être mis sous Za forme
(58), ou pest un nombre premier ~.~ u (mad. U) et p' un nombre premier
. u' (mad. U'), au moins un de ces deux nombres premiers est un facteur
de KUU'G.
Pour les nombres tappartenant à E je déduirai Ie résultat suivant:
Proposition 10: P,resque tout entier appartenant à E peut être mis sous
Za susdite forme (58). A tout nombre naturel m correspond un' nombre CS7'
dépendant uniquement de m, K, U, U' et du choix du polynome 'lp (x)
tel que Ze nombre des exceptions ;;;;; N soit pour tout N;;;;; 3 inférieur à
CS7 N {log N )-m.
Si nous voulons savoir quels nombres naturels t sont égaux à un nombre
premier augmenté du carré d'un nombre premier, nous posons
K=U=U I = 1;
(59)
est vérifiée par chaque entier qui n' est pas divisible par p. Cette
congruence possède alors p - 1 ou p solutions différentes. On a donc
p ;;;;; g + 1 ou pest un facteur de tous les coefficients du polynome
g! 'IjJ (x) - g! 'lp (1). Par conséquent G est Ie pro duit d'un nombre' fini de
nombres premiers.
Soit E I' ensemble des nombres naturds t qui satisfont pour tout f.acteur
premier P de K U U' G la condition suivante, dans laquelle P" désigne
la puissance la plus élevée de P qui est un diviseur de K U.
1. Si P n'est pas un facteur de U, il existe au moins un entier X ~~"u'
(mod. U') qui n'est pas divisible par P, tel que 'Ij) (X) -- t soit divisible par
pO', mais non par P6J+l.
2. Si Pest un facteur de U, i1 existe au moins un entier X = u' (mod.
U') qui n'est pas divisible par P, tel que 1P (X) + Ku - t soit divisrble
par P"'.
Considérons d'abord un nombre naturel t qui n'appartirent pas à E et qui
possède la susdite forme (58). Puisque t n'appartient pas à E, au moins
un facteur premier P de K U U' G jouit de la propriété suivante:
'IjJ(x)=x 2 ;
G est Ie pro duit des nombres premiers p tels que tout entier X non
divisible par p satisfait la congruence X2 --: 1 (mod. p), c' est,·à~dire la eon~
gruence X:= ± 1 (mad. p), d' ou il suit G =-= 2.3 = 6. L' ensemble Eest
formé par les nombres naturels t satisfaisant la condition suivante: à
tout facteur premier p de 6 eorrespond au moins un entier x non divisible
par p, tel que x2-t ne soit pas divisible par p. Le facteur p = 2 fournit
la condition que t soit pair. Le facteur p = 3 donne la condition que t soit
congru à 0 ou 2 (mod. 3). Eest donc l' ensemble des nombres naturels
0 ou =-= 2 (mod. 6). Ainsi on obtient Ie résultat, mentionné au eom~
menc'ement de la première communication:
presque tout nombr'e naturel qui est congru à 0 ou 2 (mad. 6) est égaZ à
un nombre premier,allgmenté du carré d'un nombre premier.
Si nous pos ons
==
K=U=U'=l,
1jJ
(x) =x fJ
(g entier > 0),
G est Ie pro duit des nombres premiers p pour lesquels chaque entier
non divisible par p, satisfait la congruence
(60)
(mod.p).
1)
Voir Proc. Kon. Ned. Akad. v. vVetenschappen, A'clam, 41, 227-237; 350-361;
442-453; 556-567 (1938).
Chaque nombre premier p, tel que p -,1 soit un diviseur de
x~
!J.
est done
9*
4
5
un facteur de G. D'autre part, si Ie plus grand commun diviseur d de
p - 1 et g est inférieur à p - 1, il existe au moins un entier x, non
divisible par p, Del que x d ne soit pas congru à 1 (mod. p), d'ou il suit
que x ne satisfait pas à la congruence (60). G est donc le pro duit des
nombres premiers p, tels que p - 1 soit un diviseur de g. L'ensemble E
est formé par les nombres naturds t tels qu' à tout facteur premier P de G
c'Ürresponde au moins un entier X, non divisible par P, av,ec la propriété
que X g - t ne soit pas divisible par P. En vertu de X g = c 1 (mod. P).
Eest donc formé par les nombr'es naturels t tels que t - 1 soit premier
avec G. Ainsi nous trouvons un autre résultat, Hgurant dans Ie commen~
cement de la première communication:
presque tout nombre naturel t tel que t - 1 soit premier avec G, est égal
à un nombre premier, augmenté de la gième puissance d'un nombre premier.
On trouve Ie troisième cas particulier, trtaité dans Ie commencement de
la première communication, en posant K
U
U' = 1, tandis que 1jJ(X)
désiglne un polynome réel quelconque, qui prend des valeurs entières pour
tout es les valeurs entières de x et qui croît indéfiniment avec x. Dans ce
cas je démontrerai que Eest formé par les nombres naturds t tels qu'à
tout nombre premier w corresponde .au moins unentier y, non divisible
par w, satisfaisant la condition que t-1jJ(Y) ne soit pas divisible par w.
Je distingue trois cas:
duit G* des nombres priemiers p qui ne sont pas un facteur de U' et
pour lesquds la congruenoe
= =
L Supposons que t appartienne à E et que w soit un facteur premier
de G. De la définiti'Ün de l' ensemble E il suit qu' ilexiste au moins un entier
y, non divisible par w, tel qu~ t-1jJ(Y) ne soit pas divisible par w.
II. Supposons que t appartienne à E et que le nombre premier w ne
soit pas un f.acteur de G. Alors les nombres 1jJ (x), ou x est entier et non
divisible par w, n'appartiennent pas à la même classe de restes (mod. w).
de sorte qu' on peut trouver au moins un entier y, non divisible par w,
tel que t - 1jJ (y) ne soit pas divisible par w.
111. Supposons que Ie nombre naturel t n'appartienne pas à E. Dans ce
cas au moins un facteur premier w de G possède la propriété que 'Ij) (x) - t
soit divisible par w pour tout entier x, non divisible par p. Dans ce cas il
est donc impossible de trouver un entiery, non divisible par w, tel que
t - 1jJ (y) ne soit pas divisible par w.
Eest donc formé par les nombres natureis t tels qu'à tout nombre
premier w corvesponde alu m'Üins un entier y, non divisible par w, satis~
faisant à la condition que t - 'Ij) (y) ne soit pas divisible par w. La
proposition 10 n'Üus apprend:
presque tout nombre, appartenant à E, peut être mis sous la [arme
p + 'Ij) (p'), 011 P et p' sant des nombres premiers.
Retournons à la proposition 10. Pour la démonstration de cette pro~
position il suffit de traiter le cas particulier ou 'Ij) (x) est un polynome à
coefficients entiers. Af,in de démontrer cette r'emarque, j'introduis Ie pro~
g /1p (x) -
g! 1jJ (1)
(mod. p)
est vérifiée par chaque entier x qui n'est pas divisible par p. En outre
j' introduis l' ensemble E* des nombres naturels r qui satisfont pour tout
facteur premier P de g f K U U' G* la condition suivante, dans laquelle
pç désigne la puissanoe la plus élevée de P qui est un diviseur de g! K U:
1. Si P n' est pas un facteur de U, i1 existe au moins un entier X c __ u'
(mod. U') qui n"est pas divisible par P, tel que g! 1P (X) -- r soit divisible
par P;, mais non par P;+l.
2. Si Pest un facteur de U, il existe au moins un entier X =c= u' (mod.
U') qui n'est pas divisible par P, tel que g!1jJ(X) + gfKu-r soit
divisible par P;.
Afin :de démontrer que pour tout élément t de E Ie produit gft appar~
tient à E*, je distingue trois cas différents:
I. Soit P un facteur premier de K U' G, mais pas de U. Au nombre t
appartenant à E correspond au moins un entier X =u' (mod. U') qui
n' est pas divisible par p, tel que 1jJ (X) - t soit divisible par p-,) , mais non
par pO)+l. Alors g hjJ (X) - g! test divisible par p; et non par PÇ+l,
parce que Ie facteur P figure dans g! précisément C - w fois.
IJ. Dans Ie cas, ou Pest un facteur premier de U, on peut trouver au
moins un ,entier X
u' (mod. U') que n' est pas divisible par p, tel que
1p(X) + K u - t soilt divisible par P0), de sorte que g! 1p(X) + g! K u--g I t
est divisible par P;.
lIL Soit P un facteur premier de G*, mais non de K U U' G. Alors p;
est la puissance la plus élevée de P qui est un diviseur de g f Puisque P
n' est un fadeur ni de U' ni de G, on peut trouver un entier x non divisible
par P tel que 1p(X) jZé t (mod.P); si ron choisit X =_cu' (mod. U') et X =ex
(mod.P) on obtient donc un ent ier X=u' (mod. U') qui n'est pas divisible
par P, tel que 1jJ (X) - t ne soit pas divisible par P; par conséquent
g! 1jJ(X) - g! test divisible par p; et non par P;+l.
Si la proposition 10 est déj à démontrée dans Ie cas particulier ou 1jJ (x)
est remplacé par un polynome à coefficients entiers, je puis appliquer cette
proposition avec gI1fJ(x). gfK. G*, gIN et E* au lieu de 1jJ(x), K. G,
N et E. Presque tout nombre gIt de E* peut être mis sous la forme
g! Kp + g I 1jJ (p'). ou pest un nombre premier '-== u (mod. U) et p' un
nombre premier ~~~ u' (mod. U'), de sorte que presque tout nombre t de E
possède la forme (58).
Dans ce qui suit dans ceUe communication je me bornerai à un polyp
nome 'Ij) (x) dont tous les coefficients sont entiers.
Désignons par P(t) Ie nombre des manières dont on peut écrire Ie
nombre naturel t sous la forme (58), ou p----u (mod. U) et p'==u'
(mod. U'); posons
==
7
6
_
cp (t) -
1
---~I~----
H!{
2,
1
h
log
log
+
(t) =
lT
(61)
h) ( --j(
t-h)
7;-
(b est Ie premier coefficient du polynome 1jJ (x) '= b x g
pour tout t < 2 K
2 b) et
Qj~'
a
~---'----'---
h--2b (
K ba cp (U) cp (UI) -
-1+--
+ ... ; cp (t)
l' ensemble E que W (p, t) est positif ou nul, selon que Ie nombre naturel t
appartient à E ou non. Si ron choisit rentier t> 1 et Ie nombre y tels que
(log t )" soit supérieur ou égal au plus grand facteur premier de K U U' G.
Je nombre
(t) est donc positif ou nul, sdon que t appartient à E ou non.
Pom les entiers t> 1 qui n' appartienent pas à E, F (t) est, comme nous
l' avons observé, borné,et cp (t)
(t) s 'annule, si ]' on choisit y supérieur
ou égal au plus grand facteur premier de K U U' G.
Proposition 11: Si mest positif et si l' on a
[2:
s' annule
W (p, t) •.
(62)
p~(logt)"
ou W (p. t) est défini pour tout entier t et pour tout nombre premier p de
Ia manière suivante (dans eette définition p." est la puissance la plus élevée
de p qui est un diviseur de K U, tandis que cp( U) désigne Ie nombre des
nombres naturels ;;;; U qui sont premiers avec U):
pour un nombre premier p qui n'est pas un facteur de U. Ie produit
(63)
est Ie nombre des nombres naturels h s; p'''+1 UI qui sont congrus à u'
(mod. U') et qui ne sont pas divisibles par p. tds que 1jJ (h) - t soit
divisibIe par p''', mais non par p"'+I;
pour un facteur premier p de U Ie produit
.12:
(65)
v>3mg+2m+2g,
presque tout nombre t appartelJant à E saUsfait à la lrelation
F (t) = (1
+ (log
_!L-;;.)
cp (t) Q~ (t).
t)
ou
[8[ < 1.
Le nombre des exceptions ;;;; Nest pour tout N ~ 3 inférieur à
cssN (log N) -m, ou Css dépend uniquement de m, y, K, U, U' et du choix
du polynome 1jJ(X).
11 est évident que la proposHion 10 est une conséquence immédiate de la
proposition 11.
Dans Ie cas particulier ou
K=U==U I =l,
G est égal à 6, comme nous l'avons vu, tandis que Eest l'ensemble des
(64)
(p_._1)2
nombres naturels t=-_.O ou =- 2 (mod. 6). Le pro duit . - - - - W (p. t)
p
est égal au nombre des nombres nature Is h;;;; p'" U' qui sont congrus à uf
(mod. U') et qui sont premiers avec p"', tels que 1jJ (h)
K u - t soit
divisible par p"'.
Pour un nombre premier qui n"est un facteur ui de U ni de U', Ie produit
+
(p--l)2
,
--"-~-- W (p, t)est done egal au nombre des nombres naturels h sp'" + 1
P
-
qui ne sont pas divisibles par p, tds que 1jJ (h) - t soit divisible par P"'.
mais non par p,,+I. Pour un nombr1e premier quiest un facteur de U, mais
pas de
est égaI au nombre des nombres natureIs h;;;; p-I tels que h 2 - t ne
soit pas divisible par p, c' est~à~dire
(p=_ll:
p
W (p, t) est pour tout nombre
premier p> 2 égal à p--3 ou p-I, selon que test un reste quadratique
de p ou non; pour tout nombre pair t on a t W (2, t) O::o~ 1. Ainsi on trouve:
Pour. presque tout nomb,re naturel t
0 ou
2 (mad. 6) Ze nombre
des manières d' écrire t comme un nombre premier augmenté du carré d, un
nombre premier, est égal à
==
U', Ie produit p-:-l W (p, t) est égal au nombre des nombres naturels
p
h;;;; p'" qui sont premiers avec p"', tels que '1.p(h)
+Ku-
t soit divisible
par p'''.
W(p, t) est positif pour tout entier t et pour tout nombre premier p qui
,
(
1 )2
n'est pas un facteur de KUU'G. En effet, L= ___ W(p, t) estalors Ie
p
nombre des nombr·es naturels h;;;; p - 1 tels que 'lp (h) - t ne soit pas
divisible par p; la relation W (p, t) t= 0 implicerait que pest un facteur de
tousles nombres 1jJ(X) - t, ou l'entier x n'est pas divisible par p; ce
nombre p serait alors un facteur de G.
Pour un facteur premier p de K U U' Gilsuit de la définition de
ou [() [ < 1; dans cet énoncé je suppose que m soit positif et que v soit
supérieur à 8 m + 4: Ze produit III est étendu à tous les nombres premiers
impairs p ;;;; (log t) v, pour lesquels test un reste quadratique de p, tandis
que II 2 est étendu ailX autres nombres premiers impairs p;;;; (log t)v.
Le nombre des exceptions ;;;; Nest potlr tout N ~ 3 inférieur
CS9 N (log N )-m, ou CS9 dépend uniquement de m et de Y.
De la même manière que j'ai déduit la propositron 8 ,de la proposition 9
(p. 448 et 565), je puis démontrer que Ia proposition 11 résulte de la
proposition suivantle:
a.
·.~ .....
2 ....
n
8
9
Proposition 12: Si Mest un nombre positif et si
on a pour tout N ;:;; 3
est supérieur à g M,
y
En posant w= 1fJ (u) on obtient
I
f3
[N]
2,' 1 F
(t) -
t=2
cp (t) Q: (t)
12
< C90 N
1+ 2.
g
J
(log N)-M,
a
ou CgO dépend uniquement de M, y, K, U, U' et du choix du polynome
'ljJ(x) .
La démonstration de cette proposition que je donnerai dans la commu~
nication suivante est analogue à celle de la proposition 7 (p. 557-566),
mais d'abord je dócluirai quelques lemmes. Au lieu du lemme 9 (p. 449)
j'utiliserai maintenant Ie lemme SUÎ\nant:
Lemme 14: A tout nombre naturel et à tout polynome
1fJ
(x) = bx g
+ ...
= v',
vl<y
,-I +IJ
g
b g
1--~
-ep (k) A'<v'_<B'
_
log--
u= (
'IfJ' (u)
v' :::: y
= g bug-I (1
+0
=gb~ w
(1 + 0 (w -;)).
2,'*
1
=
v'
2,'
C(::Sp~f3
f3 == h
par suite, en vertu du théorème de
I.;:' 1 -
'I' :k)
fit;
u
(mod. k),
SIEOEL-W ALFISZ
J
+0
( _2.)
w g
'
1
g
~
log -
a
AI
b
AI
-1+ 2.
2,'
._IJ_'. __..~gnn
A'<v'<B' log---
= b - 'g-
+0
log ._.
b
(log log (3
+ B') ).
b
Ainsi Ie lemme 14 est démontré.
En outre j'ai besoin du théorème suivant, dû à M. L M. VINOORADOW.
Lemme 15: A chaque couple de nam bres natulrels g et m cot't'espondent
un nombre naturel r; et un nombre positif C95 ayant la propriété suivante:
Si Z est supérieur à 3 et si x(x) = ax g + ... désigne un polynome
réel du degré g, tandis qu'à a correspond une fraction it't'éductible a
(lemme 7; p. 448)
a
q
telle que
1< c" P(log p)-m < c" B+ (log BY';
c g3 dépend uniquement de m, tandis que
choix du polynome 'Ij) (x) .
-;
~~
- b_2. JB'---w-w- +f dw
(B' w-Idw
log u + 0 --wI
=
l
(U-I))
par conséquent
1
Démonstration: Comme nous l' avons vu dans la démonstration du
lemme 9 (p. 449) nous pouvons supposer y ;:;; B' et A' ;:;; C92' ou C92. dépen~
dant uniquement du choix du polynome 'ljJ(x), est choisi si grand qu'à toute
valeur de v';:;; C92 correspond une seule valeur positive de x telle que
1jJ (x) = v'. En choisissant les nombres positifs a et f3 de telle façon que
nous ayons 'Ij) ( a)
A' et 'ljJ (f3) = B', nous obtenons
~ )u (1 + 0(w -~) ) ,
1
w
log u = - log _.g
b
< C9\ Big (log BY .
v'b
(1 + o (w-f)).
1
\
2,'*
A'
bug=w
du degré g;:;; 1 à coefficients entiers cOt'respond un nombre positif c91
jouissant de la propriété suivante:
Si nous désignons par A' un nombre ;:;; 2 b, par B' un nombre > A', par
y un nombre réel, par k un nombre nlatulrel, par h un entier premier avec k
et si 2,' est étendu à to us les entiers v' > A' et :s; B' et :s; y auxquels
correspond au moins un nombre premier p ::::=:: h (mad. k) tel que 'ljJ (p)
na us avons
dw
~' (u) log u'
ou
(b> 0)
v' :::; y
J
B'
dU
log u -
I a - -: I--=:: q-I Z-g (log Z)'l et (log Z)'1--=::
q~ Zg (log Z)-'1,
on a
C94
dépend seulement de m et du
•
(f,
•
(66)
11
10
2. Soit g:2; 2. Le nombre C= 'Y) défini dans Ie lemme 15 possède la
propriété désirée. Car d' après Ie lemme préeédent, appliqué av,ee
Lemme 16: Les nombres 'Y) et C95' définis dans Ze Zemme précédent,
possèdent la propriété suivante: pour toute paire de nombres réels Z > 3
et a, telle qU-ê l'inte,rvalle fermé (a =t= Z-g (log z) '1) ne contienne auCtlne
fraction à dénominateur positif < (log Z)'1, chaque polynome réel
x(x)l=ax g + ... du degré g satisfait l'inégalité (66).
Dans ces communications (a =t=
désigne l'intervalle (a- C, a C)·
Démonstration: Posons T = Z g (log Z )-'1.
n
Puisque l'intervalle fermé
(a
=t=
X(x)
+ hx
Ct
I
+
-~-)
au lieu de x(x), on a
p~/2nj(X(Pl+'[f;)
d' ou il suit que
U'
:E
et
r
\a-
eZ,-,ix{p)
p
:
\
< f~·
Cette fraction {- étant située dans l'intervalle ( a =t=
-~)
possède un
déno~
minateur ;:-;: (log Z)'1, de sorte que Ie Iemme 16 découle du lemme précédent.
Lemme 17: A chaque système de nombres naturels g, m et U' cor~
respondent un nombre naturel C et un nombre positif C96 ayant la propriété
suivante: pour toute paire de nombres It'éels Z > 3 et a, telle que intervalle
fermé (a =t= Z -g (log z);) ne contienne auCtlne fraction à dénominateur
positif < (logZ)Ç, chaque polynome réel x(x)!=ax g + ... du degré g
satisfait pmllr tout ent ier u', qui est premier avec U', l'inégalité
U,
== u' (mod.
.J: e2JTiX {p)
\
< C96 Z (log Z)-m.
p~z
P =: u' (modo U')
=
=
Démonstration: 1. Soit g
1. Le nombre C 'Y) + 1, ou 'Y) désigne le
nombre mentionné dans Ie Iemme 15, possède la propriété désirée. En
eHet, sans nuire à la généralité nous pouvons supposer log Z > U'. Soit
h un entier quelconque. Puisque ((J. =t= Z -g (log z) '1 -I- J) ne contient aucune
fraction à dénominateur positiE < (log Z)'1 + I, l'intervalle fermé
(a -+ ~,
positif
<
=t=
Z--g (log Z)'I) ne ren ferme aucune fraction à dénominateur
~()g fj,)'1-1-I, par suite à plus forte raison aucune fraction à déno
minateur positive
<
(log 2)'1. Le lemme précédent nous apprend done
.J: e 2",i
\
(C<-I-h,)p
\ < C9S Z(l og Z)-m ,
u
F
e
h=1
I .J:
u'
.J: eZnic<p = - - / .J: e
p~z
U h=1
-2"ih,,'
-----
.J: e
u'
2,-"
_( c<-I-u
h) P
'
p::2,Z
p :::: u' (modo U')
est également en valeur absolue inférieure à
c95
Z (log Z)-m.
2ni
(hp)
x(p)-I-u'
p<Z
e 2 ,-,iX(p)
I < C97 Z (log Z)--m.
(67)
p~z
p=:u'
(mod. U')
Démonstration: Le nothbre 'Y)!=!; + 1, ou !; désigne Ie nombre men~
tionné dans Ie lemme préeédent, possède la propriété désirée. En effet,
nous pouvons supposer log Z > b; puisque (a =t= Z-g (log Z) ç -1-1) ne
contient aueune fraction à dénominateur positiE < (log Z); -1-1, l'intervalle
fermé (a b =t= Z - g (log Z) q ne ren ferme aueune fraction à dénominateur
..
(log Z)s + 1
.
.
,
.
posltIf
b
,par sUite a plus forte raison aueune fraction à
<
dénominateur positiE < (log 2) ç, de sorte que Ie lemme 18 est une eonsé~
quenee immédiate du lemme préeédent.
Lemme 19: A chaque système de nombres naturels g, m, U' et b
correspondent un nomb"e naturel !; et un nombre positif C9S ayant la pro~
priété suivante: pour tout système de nombres réels 2 > 3, Y et a, tel que
intervalle fermé (a =t= Z- g (log Z) Ç) ne contienne aucune fraction à
dénominateur positif < (log Z) ç, chaque polynome réel X(x) '==- a b x g + ...
du degré g satisfait, pour tout entier u' qui est premie" avec U', à l'inégalité
.r
I
1
.J: e
U)
p<z
d' ou il suite que
2nihu'
---U'
est également en valeur absolue inférieure à C952 (log Z)-m.
Lemme 18: A chaque système de nombres naturels g, m, U' et b
correspondent un nombre naturel 'Y) et un nombre positif C97 ayant la pro~
priété su ivan te: pour toute paire de nombres réels Z > 3 et (J., telle que
l'intervalle fermé (a =t= Z-g (log Z)'1) ne contienne auCtlne fraction à
dénominateur positif < (log Z)'1, chaque polynome réel X(x) =:: ab x g + ...
du degré g satisfait pour tout entier u', à l'inégalité
r
I
1
=-,
.J:
p:;;;'z
une fraction irréductible -~ telle qu'on ait
q
=
Z (logZ)-m,
ne contient aucun nombre entier,
on aT> 1. D'après un tJhéorème connu de DIRICHLET, il existe au moins
o< q
I <C9s
.J:
eZ,-,;ix (p)
I < C98 Z (log Z)-m.
Y<p<z
p-lt' (mod. U')
Démonstration: Le nombre !;:= 1 + 'Y) + g m, ou 'Y) est Ie nombre figurant
dans Ie lemme préeédent, possède la propriété désirée. En eHet,~l'inégalité
12
(67) est alors valable, de sorte que Ie lemme à démontrer est évident, si
Y;;;; Z (log Z)-m. Supposons
Y> Z (log Z)-m,
par suite y-g (log Y)'7
-=0:
Z-9 (log
Z)~
si Z est suffisamment grand (sinon Ie lemme est évident). L'intervalle
fermé (a=F y-g(log Y)'7) ne contient donc aucune fraction à dénominateur
< (log Y)'l, et Ie lemme précédent (appliqué avec Y au lieu de Z) nous
apprend
I L: e 2ni e<;.:(p) I
p< y
<
C97
Y (log Y)-m
<
C99
Z (log Z)-m.
p==C:u ' (mod. U')
Ainsi Ie lemme 19 est démontré.
Je donnerai la démollistration de la proposition 12 dans la communication
suivante.
Plantkunde. - Snelle bloei van H ollandsche Irissen. Il. (Avec résumé.)
Door A. H. BLAAUW, IDA LUYTEN en ANNIE M. HARTSEMA. (Mede~
deeling No. 57 van het Laboratorium voor Plantenphysiologisch
Onderzoek te Wageningen.)
(Communicated at the meeting of December 17, 1938.)
Voortgezet werden de onderzoekingen omtrent het snel in bloei brengen
van de Hollandsche Bol~iris "Imperator". Wij hebben daarbij een hooge
niet lang durende vóór~temperatuur (boven 20°) toegepast, gevolgd door
een langdurende lage prepareer~temperatuur (meestal 9°, soms 7 0 ) •
Tijdens deze hooge vóól'~temperatuur (bijv. 23° of 28° of 31°) staat de
groei zoowel als de vorming van organen vrijwel s,til. Maar deze vóór~
temperatuur heeft, ook al duurt ze kort, een begunstigenden invloed op de
dispositie voor den bloemaanleg, die pas veel later in de kou plaats vindt.
Te lang moet die hooge temper'atuur weer niet duren, daar anders de
latere bloemaanlegen daarmee ook de bloei veel te veel verschoven wordt.
Direct na het rooien de prepareerende koele temperatuur geven, zou het
snelste werken, maar dit bleek het bloeivermogen te zeer te reduceeren.
De vroeger beschreven proeven van 1934-'35 en 1935-'36 hadden als
voorloopig resultaat het volgende opgeleverd.
Een vóór~temperatuur van 1 week 31 ° (of 28°) werd gevolgd door een
prepareer~,temperatuur van 9°, waarbij direct in kist}es werd geplant; deze
prepareering werd voortgezet tot het loof minstens 6 cm buiten de bollen
was. Deze behandeling duurt tot dat tijdstip + 70 dagen. Daarna werden
de bollen in 15° in bloei gebracht, wat nog ruim 80 dagen duurt na 6 cm~
looflengte. Deze methode gaf het vlugste resultaat, maar is iets meer
geforceerd, daar slechts 1 week hooge vóór~temperatuur werd gegeven.
Hiervoor moeten bepaald zeer zware goed gevoede bollen gebruikt worden.
Veiliger maar wat langduriger bleek het te zijn 5 weken 23° te geven
en dan bij een prepareer~tempefa'tuur van 7° te planten. Wij kregen op
deze wijze in 1936 de 20 bollen van deze proef alle in bloei op 16 tot
21 Februari.
Intusschen waren verischillende punten in deze proeven nog onbe~
vredigend, want voor bloei in Januari bIeek de kans op mislukken te groot.
Maar vooral niet bevredigend, omdat de maat (6 cm lengte van de langste
der eerste 3 à 4 bladen buiten den bol), waarbij de planten uit de prepareer~
temperatuur naar de trek~temperatuur van 15° C. overgingen, een te
willekeurig probeeren is.
Is de bloem dan reeds in 9° (of 7°) aangelegd? Is het noodzakelijk dat
de bloem in die lagere temperaturen gevormd is, vóór de bollen naar de
hoogere trek~temperatuur gaan? Ligt hierin soms de oorzaak, d~t de trek