Contribution à la théorie additive des nombres. V

Mathematics. -- Contribution à la théorie additive des nombres. (Cinquième
Communication 1). Par J. G. VAN DER CORPUT.
(Communicatecl at the meeting of December 17, 1938.)
Troisième application.
Introduisons un polynome
'IjJ(x)=bx
g+
...
(b > 0, g > 0)
du gième degré, qui prend des valeurs entièr'es pour toutes les valeurs entières
de x; introduisons en outre trois nombres naturels K, U, U', un entier u
premier avec U 'et un 'entier u' premier avec U' et posons la question quels
nombres naturels t possèdent la forme
t=Kp + 'lp (pI),
(58)
ou pest un nombre premier =. tl (mod. U) et p' un nombre premIer = UI
(mod. U'). '
Désignons par G Ie pro duit des nombres premiers p qui ne sont pas
un facteur de U' et pour lesquels la congruence
'IjJ (x) =-= 1jJ (1)
(mod.p)
(59)
est vérifiée par chaque entier qui n' est pas divisible par p. Cette
congruence possède alors p - 1 ou p solutions différentes. On a donc
p ;;;;; g + 1 ou pest un facteur de tous les coefficients du polynome
g! 'IjJ (x) - g! 'lp (1). Par conséquent G est Ie pro duit d'un nombre' fini de
nombres premiers.
Soit E I' ensemble des nombres naturds t qui satisfont pour tout f.acteur
premier P de K U U' G la condition suivante, dans laquelle P" désigne
la puissance la plus élevée de P qui est un diviseur de K U.
1. Si P n'est pas un facteur de U, il existe au moins un entier X ~~"u'
(mod. U') qui n'est pas divisible par P, tel que 'Ij) (X) -- t soit divisible par
pO', mais non par P6J+l.
2. Si Pest un facteur de U, i1 existe au moins un entier X = u' (mod.
U') qui n'est pas divisible par P, tel que 1P (X) + Ku -t soit divisrble
par P"'.
Considérons d'abord un nombre naturel t qui n'appartirent pas à E et qui
possède la susdite forme (58). Puisque t n'appartient pas à E, au moins
un facteur premier P de K U U' G jouit de la propriété suivante:
1) Voir Proc. Kon. Ned. Akad. v. vVetenschappen, A'clam, 41, 227-237; 350-361;
442-453; 556-567 (1938).
3
1. Si P n"est pas un facteur de U, il n' existe aucun entier X = UI
(mod. UI) qui n'est pas divisible par P tel que 'IjJ(X) -t soit divisible par
p'" et non par pO'+l. Parce que P n'est pas un facteur de U, Ie nombre pu'
est un diviseur de K, par conséquent aussi de - Kp = 'IjJ (p') -t. Si p'
n' est pas égal à P, la puissance po,+l est donc un diviseur de Kp, de sorte
que pest divisible par, c' est à dire égal à P.
2. Si Pest un facteur de U, tout entier X=:= u' (mod. U') tel que
'tp(X) + Ku -t soit divisible par pO', est divisible par P. Puisque
1p(p') + Ku-t= K(u-p) est divisible par KU, c'est~à~dire par P", Ie
nombre premier p' est divisible par, c' est~à~dire égal à P.
Ainsi nous avons obtenu Ie résultat suivant:
Si un nombre naturel t n'appartenant pas à E peut être mis sous Za forme
(58), ou pest un nombre premier ~.~ u (mad. U) et p' un nombre premier
. u' (mad. U'), au moins un de ces deux nombres premiers est un facteur
de KUU'G.
Pour les nombres tappartenant à E je déduirai Ie résultat suivant:
Proposition 10: P,resque tout entier appartenant à E peut être mis sous
Za susdite forme (58). A tout nombre naturel m correspond un' nombre CS7'
dépendant uniquement de m, K, U, U' et du choix du polynome 'lp (x)
tel que Ze nombre des exceptions ;;;;; N soit pour tout N;;;;; 3 inférieur à
CS7N {log N )-m.
Si nous voulons savoir quels nombres naturels t sont égaux à un nombre
premier augmenté du carré d'un nombre premier, nous posons
K=U=U
I=
1;
'IjJ(x)=x
2;
G est Ie pro duit des nombres premiers p tels que tout entier X non
divisible par p satisfait la congruence X2 --: 1 (mod. p), c' est,·à~dire la eon~
gruence X:= ± 1 (mad. p), d' ou il suit G =-= 2.3 = 6. L' ensemble Eest
formé par les nombres naturels t satisfaisant la condition suivante: à
tout facteur premier p de 6 eorrespond au moins un entier x non divisible
par p, tel que x2-t ne soit pas divisible par p. Le facteur p = 2 fournit
la condition que t soit pair. Le facteur p = 3 donne la condition que t soit
congru à 0 ou 2 (mod. 3). Eest donc l' ensemble des nombres naturels
== 0 ou =-= 2 (mod. 6). Ainsi on obtient Ie résultat, mentionné au eom~
menc'ement de la première communication:
presque tout nombr'e naturel qui est congru à 0 ou 2 (mad. 6) est égaZ à
un nombre premier,allgmenté du carré d'un nombre premier.
Si nous pos ons
K=U=U'=l, 1jJ (x) =x
fJ
(g entier > 0),
G est Ie pro duit des nombres premiers p pour lesquels chaque entier x~
non divisible par p, satisfait la congruence
(mod.p).
(60)
Chaque nombre premier p, tel que p -,1 soit un diviseur de !J. est done
9*

4
un facteur de G. D'autre part, si Ie plus grand commun diviseur d de
p - 1 et g est inférieur à p - 1, il existe au moins un entier x, non
divisible par p, Del que xd ne soit pas congru à 1 (mod. p), d'ou il suit
que x ne satisfait pas à la congruence (60). G est donc le pro duit des
nombres premiers p, tels que p - 1 soit un diviseur de g. L'ensemble E
est formé par les nombres naturds t tels qu' à tout facteur premier P de G
c'Ürresponde au moins un entier X, non divisible par P, av,ec la propriété
que X g -t ne soit pas divisible par P. En vertu de X g =c 1 (mod. P).
Eest donc formé par les nombr'es naturels t tels que t -1 soit premier
avec G. Ainsi nous trouvons un autre résultat, Hgurant dans Ie commen~
cement de la première communication:
presque tout nombre naturel t tel que t -1 soit premier avec G, est égal
à un nombre premier, augmenté de la gième puissance d'un nombre premier.
On trouve Ie troisième cas particulier, trtaité dans Ie commencement de
la première communication, en posant K = U = U' = 1, tandis que 1jJ(X)
désiglne un polynome réel quelconque, qui prend des valeurs entières pour
tout es les valeurs entières de x et qui croît indéfiniment avec x. Dans ce
cas je démontrerai que Eest formé par les nombres naturds t tels qu'à
tout nombre premier w corresponde .au moins unentier y, non divisible
par w, satisfaisant la condition que t-1jJ(Y) ne soit pas divisible par w.
Je distingue trois cas:
L Supposons que t appartienne à E et que w soit un facteur premier
de G. De la définiti'Ün de l' ensemble E il suit qu' ilexiste au moins un entier
y, non divisible par w, tel qu~ t-1jJ(Y) ne soit pas divisible par w.
II. Supposons que t appartienne à E et que le nombre premier w ne
soit pas un f.acteur de G. Alors les nombres 1jJ (x), ou x est entier et non
divisible par w, n'appartiennent pas à la même classe de restes (mod. w).
de sorte qu' on peut trouver au moins un entier y, non divisible par w,
tel que t - 1jJ (y) ne soit pas divisible par w.
111. Supposons que Ie nombre naturel t n'appartienne pas à E. Dans ce
cas au moins un facteur premier w de G possède la propriété que 'Ij) (x) -t
soit divisible par w pour tout entier x, non divisible par p. Dans ce cas il
est donc impossible de trouver un entiery, non divisible par w, tel que
t - 1jJ (y) ne soit pas divisible par w.
Eest donc formé par les nombres natureis t tels qu'à tout nombre
premier w corvesponde alu m'Üins un entier y, non divisible par w, satis~
faisant à la condition que t -'Ij) (y) ne soit pas divisible par w. La
proposition 10 n'Üus apprend:
presque tout nombre, appartenant à E, peut être mis sous la [arme
p + 'Ij) (p'), 011 P et p' sant des nombres premiers.
Retournons à la proposition 10. Pour la démonstration de cette pro~
position il suffit de traiter le cas particulier ou 'Ij) (x) est un polynome à
coefficients entiers. Af,in de démontrer cette r'emarque, j'introduis Ie pro~
5
duit G* des nombres priemiers p qui ne sont pas un facteur de U' et
pour lesquds la congruenoe
g /1p (x) - g! 1jJ (1)
(mod. p)
est vérifiée par chaque entier x qui n'est pas divisible par p. En outre
j' introduis l' ensemble E* des nombres naturels r qui satisfont pour tout
facteur premier P de g f K U U' G* la condition suivante, dans laquelle
pç désigne la puissanoe la plus élevée de P qui est un diviseur de g! K U:
1. Si P n' est pas un facteur de U, i1 existe au moins un entier X c __ u'
(mod. U') qui n"est pas divisible par P, tel que g! 1P (X) -- r soit divisible
par P;, mais non par P;+l.
2. Si Pest un facteur de U, il existe au moins un entier X =c= u' (mod.
U') qui n'est pas divisible par P, tel que g!1jJ(X) + gfKu-r soit
divisible par P;.
Afin :de démontrer que pour tout élément t de E Ie produit gft appar~
tient à E*, je distingue trois cas différents:
I. Soit P un facteur premier de K U' G, mais pas de U. Au nombre t
appartenant à E correspond au moins un entier X =u' (mod. U') qui
n' est pas divisible par p, tel que 1jJ (X) -t soit divisible par p-,) , mais non
par pO)+l. Alors g hjJ (X) - g! test divisible par p; et non par PÇ+l,
parce que Ie facteur P figure dans g! précisément C - w fois.
IJ. Dans Ie cas, ou Pest un facteur premier de U, on peut trouver au
moins un ,entier X == u' (mod. U') que n' est pas divisible par p, tel que
1p(X) + K u -t soilt divisible par P0), de sorte que g! 1p(X) + g! K u--g I t
est divisible par P;.
lIL Soit P un facteur premier de G*, mais non de K U U' G. Alors p;
est la puissance la plus élevée de P qui est un diviseur de g f Puisque P
n' est un fadeur ni de U' ni de G, on peut trouver un entier x non divisible
par P tel que 1p(X) jZé t (mod.P); si ron choisit X =_cu' (mod. U') et X =ex
(mod.P) on obtient donc un ent ier X=u' (mod. U') qui n'est pas divisible
par P, tel que 1jJ (X) -t ne soit pas divisible par P; par conséquent
g! 1jJ(X) - g! test divisible par p; et non par P;+l.
Si la proposition 10 est déj à démontrée dans Ie cas particulier ou 1jJ (x)
est remplacé par un polynome à coefficients entiers, je puis appliquer cette
proposition avec gI1fJ(x). gfK. G*, gIN et E* au lieu de 1jJ(x), K. G,
N et E. Presque tout nombre gIt de E* peut être mis sous la forme
g! Kp + g I 1jJ (p'). ou pest un nombre premier '-== u (mod. U) et p' un
nombre premier ~~~ u' (mod. U'), de sorte que presque tout nombre t de E
possède la forme (58).
Dans ce qui suit dans ceUe communication je me bornerai à un polyp
nome 'Ij) (x) dont tous les coefficients sont entiers.
Désignons par P(t) Ie nombre des manières dont on peut écrire Ie
nombre naturel t sous la forme (58), ou p----u (mod. U) et p'==u'
(mod. U'); posons

6
1
-1+--
_ 1 H!{ h a
cp (t) - ---~I ~--- 2, ~---'----'--- (61)
-- h--2b ( h) ( t-h)
K ba cp (U) cp (UI) -log 7;- log --j(
(b est Ie premier coefficient du polynome 1jJ (x) '= b xg + ... ; cp ( t) s' annule
pour tout t < 2 K + 2 b) et
Qj~' (t) = lT W (p, t) •.
(62)
p~(logt)"
ou W (p. t) est défini pour tout entier t et pour tout nombre premier p de
Ia manière suivante (dans eette définition p." est la puissance la plus élevée
de p qui est un diviseur de K U, tandis que cp( U) désigne Ie nombre des
nombres naturels ;;;; U qui sont premiers avec U):
pour un nombre premier p qui n'est pas un facteur de U. Ie produit
(63)
est Ie nombre des nombres naturels h s; p'''+1 UI qui sont congrus à u'
(mod. U') et qui ne sont pas divisibles par p. tds que 1jJ (h) -t soit
divisibIe par p''', mais non par p"'+I;
pour un facteur premier p de U Ie produit
(64)
est égal au nombre des nombres nature Is h;;;; p'" U' qui sont congrus à uf
(mod. U') et qui sont premiers avec p"', tels que 1jJ (h) + K u -t soit
divisible par p"'.
Pour un nombre premier qui n"est un facteur ui de U ni de U', Ie produit
(p--l)2 ,
--" -~-- W (p, t)est done egal au nombre des nombres naturels h sp'" + 1
P -
qui ne sont pas divisibles par p, tds que 1jJ (h) -t soit divisible par P"'.
mais non par p,,+I. Pour un nombr1e premier quiest un facteur de U, mais
pas de U', Ie produit p-:-l W (p, t) est égal au nombre des nombres naturels
p
h;;;; p'" qui sont premiers avec p"', tels que '1.p(h) + K u -t soit divisible
par p'''.
W(p, t) est positif pour tout entier t et pour tout nombre premier p qui
, ( 1 )2
n'est pas un facteur de KUU'G. En effet, L= ___ W(p, t) estalors Ie
p
nombre des nombr·es naturels h;;;; p -1 tels que 'lp (h) -t ne soit pas
divisible par p; la relation W (p, t) t= 0 implicerait que pest un facteur de
tousles nombres 1jJ(X) -t, ou l'entier x n'est pas divisible par p; ce
nombre p serait alors un facteur de G.
Pour un facteur premier p de K U U' Gilsuit de la définition de
7
l' ensemble E que W (p, t) est positif ou nul, selon que Ie nombre naturel t
appartient à E ou non. Si ron choisit rentier t> 1 et Ie nombre y tels que
(log t )" soit supérieur ou égal au plus grand facteur premier de K U U' G.
Je nombre [2: (t) est donc positif ou nul, sdon que t appartient à E ou non.
Pom les entiers t> 1 qui n' appartienent pas à E, F (t) est, comme nous
l' avons observé, borné,et cp (t) .12: (t) s 'annule, si ]' on choisit y supérieur
ou égal au plus grand facteur premier de K U U' G.
Proposition 11: Si mest positif et si l' on a
v>3mg+2m+2g,
presque tout nombre t appartelJant à E saUsfait à la lrelation
F (t) = (1 + _!L-;;.) cp (t) Q~ (t). ou [8[ < 1.
(log t)
(65)
Le nombre des exceptions ;;;; Nest pour tout N ~ 3 inférieur à
cssN (log N) -m, ou Css dépend uniquement de m, y, K, U, U' et du choix
du polynome 1jJ(X).
11 est évident que la proposHion 10 est une conséquence immédiate de la
proposition 11.
Dans Ie cas particulier ou
K=U==U
I
=l,
G est égal à 6, comme nous l'avons vu, tandis que Eest l'ensemble des
(p_._1)2
nombres naturels t=-_.O ou =- 2 (mod. 6). Le pro duit .---- W (p. t)
p
est égaI au nombre des nombres natureIs h;;;; p-I tels que h2 -t ne
soit pas divisible par p, c' est~à~dire (p=_ll: W (p, t) est pour tout nombre
p
premier p> 2 égal à p--3 ou p-I, selon que test un reste quadratique
de p ou non; pour tout nombre pair t on a t W (2, t) O::o~ 1. Ainsi on trouve:
Pour. presque tout nomb,re naturel t == 0 ou 2 (mad. 6) Ze nombre
des manières d' écrire t comme un nombre premier augmenté du carré d, un
nombre premier, est égal à
ou [() [ < 1; dans cet énoncé je suppose que m soit positif et que v soit
supérieur à 8 m + 4: Ze produit III est étendu à tous les nombres premiers
impairs p
;;;; (log t) v, pour lesquels test un reste quadratique de p, tandis
que II
2
est étendu ailX autres nombres premiers impairs p;;;; (log t)v.
Le nombre des exceptions ;;;; Nest potlr tout N ~ 3 inférieur a.
CS9 N (log N )-m, ou CS9 dépend uniquement de m et de Y.
De la même manière que j'ai déduit la propositron 8 ,de la proposition 9
(p. 448 et 565), je puis démontrer que Ia proposition 11 résulte de la
proposition suivantle:

·.~ ..... 2 .... n
8
Proposition 12: Si Mest un nombre positif et si y est supérieur à g M,
on a pour tout N ;:;; 3
[N] 1+ 2.
2,' 1 F (t) - cp (t) Q: (t) 12 < C90 N g (log N)-M,
t=2
ou CgO dépend uniquement de M, y, K, U, U' et du choix du polynome
'ljJ(x) .
La démonstration de cette proposition que je donnerai dans la commu~
nication suivante est analogue à celle de la proposition 7 (p. 557-566),
mais d'abord je dócluirai quelques lemmes. Au lieu du lemme 9 (p. 449)
j'utiliserai maintenant Ie lemme SUÎ\nant:
Lemme 14: A tout nombre naturel et à tout polynome
1fJ (x) = bx
g +
... (b> 0)
du degré g;:;; 1 à coefficients entiers cOt'respond un nombre positif c91
jouissant de la propriété suivante:
Si nous désignons par A' un nombre ;:;; 2 b, par B' un nombre > A', par
y
un nombre réel, par k un nombre nlatulrel, par h un entier premier avec k
et si 2,' est étendu à to us les entiers v' > A' et :s; B' et :s; y auxquels
v' :::; y
correspond au moins un nombre premier p ::::=:: h (mad. k) tel que 'ljJ (p) = v',
na us avons
2,'*
vl<y
\
b-g
,-I +-
IJ g
1--- ~ --
ep (k) A'<v'_<B' v'
_ log--
v' :::: y b
1
< C9\ Big (log BY .
Démonstration: Comme nous l' avons vu dans la démonstration du
lemme 9 (p. 449) nous pouvons supposer y ;:;; B' et A' ;:;; C92' ou C92. dépen~
dant uniquement du choix du polynome 'ljJ(x), est choisi si grand qu'à toute
valeur de v';:;; C92 correspond une seule valeur positive de x telle que
1jJ (x) = v'. En choisissant les nombres positifs a et f3 de telle façon que
nous ayons 'Ij) ( a) = A' et 'ljJ (f3) = B', nous obtenons
2,'* 1 = 2,'
v' C(::Sp~f3
f3 == h (mod. k),
par suite, en vertu du théorème de SIEOEL-W ALFISZ (lemme 7; p. 448)
I.;:' 1 - 'I' :k) fit; u 1 < c" P (log p)-m < c" B+ (log BY';
a
c
g3
dépend uniquement de m, tandis que C94 dépend seulement de m et du
choix du polynome 'Ij) (x) .
9
En posant w= 1fJ (u) I on obtient
f3 B'
J
dU J dw
log u - ~' (u) log u'
a A'
ou
bug=w (1 + o (w-f)).
1
u = ( ~ )u (1 + 0 (w -~) ) ,
'IfJ' (u) = g bug-I (1 + 0 (U-I))
=gb~ wl -; (1 + 0 (w -;)).
1 w ( _2.)
log u = - log _.- + 0 w g
g b '
par conséquent
J
~ ~ -b _2. JB' w-
1
+f dw (B' w-
I
dw
log u -g ---w-- + 0 --w-
a log - ~ log ._.
AI b AI b
I -1+ 2.
= b - 'g- 2,' ._IJ_'. __ .. ~gnn + 0 (log log (3 + B') ).
A'<v'<B'
Ainsi Ie lemme 14 est démontré.
log---
b
En outre j'ai besoin du théorème suivant, dû à M. L M. VINOORADOW.
Lemme 15: A chaque couple de nam bres natulrels g et m cot't'espondent
un nombre naturel r; et un nombre positif C95 ayant la propriété suivante:
Si Z est supérieur à 3 et si x (x) = ax
g +
... désigne un polynome
réel du degré g, tandis qu' à a correspond une fraction it't'éductible a
telle que
q
I a - -: I--=:: q-I Z-g (log Z)'l et (log Z)'1--=:: q~ Zg (log Z)-'1,
on a
• (f, • (66)

10
Lemme 16: Les nombres 'Y) et C95' définis dans Ze Zemme précédent,
possèdent la propriété suivante: pour toute paire de nombres réels Z > 3
et a, telle qU-ê l'inte,rvalle fermé (a =t= Z-g (log z) '1) ne contienne auCtlne
fraction à dénominateur positif < (log Z)'1, chaque polynome réel
x(x)l=ax
g +
... du degré g satisfait l'inégalité (66).
Dans ces communications (a =t= n désigne l'intervalle (a- C, a + C)·
Démonstration: Posons T = Z g (log Z )-'1.
Puisque l'intervalle fermé (a =t= -~-) ne contient aucun nombre entier,
on aT> 1. D'après un tJhéorème connu de DIRICHLET, il existe au moins
une fraction irréductible -~ telle qu'on ait
q
o < q = r et \ a - : \ < f~·
Cette fraction {- étant située dans l'intervalle ( a =t= -~ ) possède un déno~
minateur ;:-;: (log Z)'1, de sorte que Ie Iemme 16 découle du lemme précédent.
Lemme 17: A chaque système de nombres naturels g, m et U' cor~
respondent un nombre naturel C et un nombre positif C96 ayant la propriété
suivante: pour
toute paire de nombres It'éels Z > 3 et a, telle que r intervalle
fermé
(a =t= Z -g (log z);) ne contienne auCtlne fraction à dénominateur
positif < (logZ)Ç, chaque polynome réel x(x)!=ax
g +
... du degré g
satisfait pmllr
tout ent ier u', qui est premier avec U', l'inégalité
I .J: e2JTiX {p) \ < C96 Z (log Z)-m.
p~z
P =: u' (modo U')
Démonstration: 1. Soit g = 1. Le nombre C = 'Y) + 1, ou 'Y) désigne le
nombre mentionné dans Ie Iemme 15, possède la propriété désirée. En
eHet, sans nuire à la généralité nous pouvons supposer log Z > U'. Soit
h un entier quelconque. Puisque ((J. =t= Z -g (log z) '1 -I- J) ne contient aucune
fraction à dénominateur positiE < (log Z)'1 + I, l'intervalle fermé
(a -+ ~, =t= Z--g (log Z)'I) ne ren ferme aucune fraction à dénominateur
positif < ~()g fj,)'1-1-I, par suite à plus forte raison aucune fraction à déno
F
minateur positive < (log 2)'1. Le lemme précédent nous apprend done
\
2",i (C<-I-h,)p \ < Z(l Z)-m
.J: e u C9S og ,
p<z
d' ou il suite que
u' -2"ih,,' _ ( h)
1 ----- 2,-" c<-I-u P
.J: eZnic<p =--/ .J: e u' .J: e '
p~z U h=1 p::2,Z
p :::: u' (modo U')
est également en valeur absolue inférieure à c95 Z (log Z)-m.
11
2. Soit g:2; 2. Le nombre C = 'Y) défini dans Ie lemme 15 possède la
propriété désirée. Car d' après Ie lemme préeédent, appliqué av,ee
hx
X(x) + Ct au lieu de x(x), on a
I p~/2nj(X(Pl+'[f;) I <C9s
Z(logZ)-m,
d' ou il suit que
1
:E eZ,-,ix{p) =-,
p:;;;'z U,
U' 2nihu' (hp)
----- 2ni x(p)-I--
.J: e U' .J: e u'
h=1 p<Z
p == u' (mod. U)
est également en valeur absolue inférieure à C952 (log Z)-m.
Lemme 18: A chaque système de nombres naturels g, m, U' et b
correspondent un nombre naturel 'Y) et un nombre positif C97 ayant la pro~
priété su ivan te: pour toute paire de nombres réels Z > 3 et (J., telle que
l'intervalle fermé (a =t= Z-g (log Z)'
1)
ne contienne auCtlne fraction à
dénominateur positif < (log Z)'1, chaque polynome réel X (x) =:: ab xg + ...
du degré g satisfait pour tout entier u', à l'inégalité
I .J: e2,-,iX(p) I < C97 Z (log Z)--m.
p~z
p=:u' (mod. U')
(67)
Démonstration: Le nothbre 'Y)!=!; + 1, ou !; désigne Ie nombre men~
tionné dans Ie lemme préeédent, possède la propriété désirée. En effet,
nous pouvons supposer log Z > b; puisque (a =t= Z-g (log Z) ç -1-1) ne
contient aueune fraction à dénominateur positiE < (log Z); -1-1, l'intervalle
fermé (a b =t= Z - g (log Z) q ne ren ferme aueune fraction à dénominateur
. . (log Z)s + 1 . . , .
posltIf < b ,par sUite a plus forte raison aueune fraction à
dénominateur positiE < (log 2) ç, de sorte que Ie lemme 18 est une eonsé~
quenee immédiate du lemme préeédent.
Lemme 19: A chaque système de nombres naturels g, m, U' et b
correspondent un nomb"e naturel !; et un nombre positif C9S ayant la pro~
priété suivante: pour tout système de nombres réels 2 > 3, Y et a, tel que
. r intervalle fermé (a =t= Z- g (log Z) Ç) ne contienne aucune fraction à
dénominateur positif < (log Z) ç, chaque polynome réel X (x) '==- a b xg + ...
du degré g satisfait, pour tout entier u' qui est premie" avec U', à l'inégalité
I .J: eZ,-,;ix (p) I < C98 Z (log Z)-m.
Y<p<z
p-lt' (mod. U')
Démonstration: Le nombre !;:= 1 + 'Y) + g m, ou 'Y) est Ie nombre figurant
dans Ie lemme préeédent, possède la propriété désirée. En eHet,~l'inégalité