Chapitre IV

Chapitre IV
Les différents modèles développés dans ce chapitre ont pour objectif de
modéliser le comportement non linéaire et hystérétique sous haut niveau de
sollicitations mécaniques et électriques des céramiques piézoélectriques. Aujourd’hui il
est intéressant d’avoir un modèle plus général intégrant les évolutions de la permittivité
εr, du coefficient piézoélectrique d33 et des pertes associées avec la contrainte
mécanique, le champ électrique et la température. L’hystérésis de ces céramiques a été
modélisée de deux façons différentes. Le premier modèle, basé sur la théorie libre de
Landau Devonshire, est limité notamment lorsque la céramique est soumise à une
contrainte mécanique tandis que le second est construit à partir d’éléments non linéaires.
Les résultats théoriques sont comparés aux résultats expérimentaux obtenus sur
différents matériaux et plus particulièrement sur le matériau dopé avec 1% de
manganèse et de fluor.

Table des matières du Chapitre IV
IV.1. Introduction 139
IV.2. Modélisation basée sur la théorie de Landau Devonshire 139
IV.2.1. Modélisation sans dissipation d’énergie 140
IV.2.2. Modélisation avec dissipation d’énergie 143
IV.2.3. Limites du modèle basé sur la théorie de l’énergie libre de Landau -
Devonshire 148
IV.3. Modélisation de l’hystérésis par un élément non linéaire type « frottement sec »
149
IV.3.1. Principe de l’analogie ressort/frottement sec et simulation sous champ
électrique 150
IV.3.1.a. Principe de l’analogie ressort/frottement sec 150
IV.3.1.b. Modélisation sous champ électrique 152
IV.3.2. Elément de base du modèle 155
IV.3.3 calcul de la polarisation 158
IV.3.4. Influence de la contrainte 160
IV.3.5. Relation entre les coefficients d33, ε33 et la déformation S 162
IV.3.7. Modélisation du comportement des céramiques sous fortes sollicitations
extérieures 166
IV.3.7.a. Modélisation sous champ électrique 167
IV.3.7.b. Modélisation sous contrainte mécanique 174
IV.3.7.c. Modélisation des cycles d’hystérésis sous contrainte mécanique 177
IV.4 Conclusion 178

Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures 139
IV.1. Introduction
Les céramiques piézoélectriques sont massivement utilisées dans de nombreux
actionneurs piézoélectriques. A bas niveau de champ électrique et de contrainte, le
comportement de ces actionneurs est décrit par les équations constitutives de la
piézoélectricité [22]. Pour des sollicitations plus élevées, une extension des équations
constitutives au second ordre permet de rendre partiellement compte des effets non
linéaires observés sur les transducteurs de puissance [29,38,1]. Cependant ces équations
ne peuvent pas être utilisées pour décrire le comportement hystérétique qui apparaît
sous fortes sollicitations mécaniques et électriques. Les effets d’hystérésis sont
particulièrement néfastes pour certains actionneurs fortement sollicités car ils induisent
une évolution irréversible des performances.
De nombreux modèles sont proposés dans la littérature pour interpréter le
comportement hystérétique des matériaux [2, 3, 4]. Nous développerons dans un
premier temps un modèle basé sur la théorie de l’énergie libre de Landau Devonshire
puis nous proposerons un modèle plus général, basé également sur des éléments non
linéaires, permettant de modéliser les effets d’hystérésis en champ électrique et en
contrainte.
IV.2. Modélisation basée sur la théorie de Landau Devonshire
Ce modèle est basé sur la théorie phénoménologique de Landau – Devonshire
qui vise à décrire les transitions ordre – désordre de façon générale, en ignorant les
spécificités du système particulier considéré [5, 6]. Cette théorie a été appliquée pour la
première fois par Devonshire sur les titanates de baryum. On s’intéresse dans un
premier temps au comportement ferroélectrique seul puis nous introduirons une
dissipation d’énergie lors de la polarisation. Ce terme de dissipation apparaît lorsqu’on
associe en série le ferroélectrique parfait avec une impédance (Figure IV.1).
Généralement on prend la structure en parallèle pour les céramiques piézoélectriques
mais cette structure ne permet pas d’expliquer le non-retournement de la polarisation
observé sur certaines céramiques. Le champ électrique sur le ferroélectrique parfait
étant fixé, il faut donc utiliser la structure en série. Pour modéliser cette dissipation