Chapitre IV

Chapitre IV
Les différents modèles développés dans ce chapitre ont pour objectif de
modéliser le comportement non linéaire et hystérétique sous haut niveau de
sollicitations mécaniques et électriques des céramiques piézoélectriques. Aujourd’hui il
est intéressant d’avoir un modèle plus général intégrant les évolutions de la permittivité
εr, du coefficient piézoélectrique d33 et des pertes associées avec la contrainte
mécanique, le champ électrique et la température. L’hystérésis de ces céramiques a été
modélisée de deux façons différentes. Le premier modèle, basé sur la théorie libre de
Landau Devonshire, est limité notamment lorsque la céramique est soumise à une
contrainte mécanique tandis que le second est construit à partir d’éléments non linéaires.
Les résultats théoriques sont comparés aux résultats expérimentaux obtenus sur
différents matériaux et plus particulièrement sur le matériau dopé avec 1% de
manganèse et de fluor.
Table des matières du Chapitre IV
IV.1.
Introduction
139
IV.2.
Modélisation basée sur la théorie de Landau Devonshire
139
IV.2.1.
Modélisation sans dissipation d’énergie
140
IV.2.2.
Modélisation avec dissipation d’énergie
143
IV.2.3.
Limites du modèle basé sur la théorie de l’énergie libre de Landau -
Devonshire
IV.3.
148
Modélisation de l’hystérésis par un élément non linéaire type « frottement sec »
149
IV.3.1.
Principe de l’analogie ressort/frottement sec et simulation sous champ
électrique
150
IV.3.1.a.
Principe de l’analogie ressort/frottement sec
150
IV.3.1.b.
Modélisation sous champ électrique
152
IV.3.2.
Elément de base du modèle
155
IV.3.3
calcul de la polarisation
158
IV.3.4.
Influence de la contrainte
160
IV.3.5.
Relation entre les coefficients d33, ε33 et la déformation S
162
IV.3.7.
Modélisation du comportement des céramiques sous fortes sollicitations
extérieures
166
IV.3.7.a.
Modélisation sous champ électrique
167
IV.3.7.b.
Modélisation sous contrainte mécanique
174
IV.3.7.c.
Modélisation des cycles d’hystérésis sous contrainte mécanique
177
IV.4
Conclusion
178
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
IV.1. Introduction
Les céramiques piézoélectriques sont massivement utilisées dans de nombreux
actionneurs piézoélectriques. A bas niveau de champ électrique et de contrainte, le
comportement de ces actionneurs est décrit par les équations constitutives de la
piézoélectricité [22]. Pour des sollicitations plus élevées, une extension des équations
constitutives au second ordre permet de rendre partiellement compte des effets non
linéaires observés sur les transducteurs de puissance [29,38,1]. Cependant ces équations
ne peuvent pas être utilisées pour décrire le comportement hystérétique qui apparaît
sous fortes sollicitations mécaniques et électriques. Les effets d’hystérésis sont
particulièrement néfastes pour certains actionneurs fortement sollicités car ils induisent
une évolution irréversible des performances.
De nombreux modèles sont proposés dans la littérature pour interpréter le
comportement hystérétique des matériaux [2, 3, 4]. Nous développerons dans un
premier temps un modèle basé sur la théorie de l’énergie libre de Landau Devonshire
puis nous proposerons un modèle plus général, basé également sur des éléments non
linéaires, permettant de modéliser les effets d’hystérésis en champ électrique et en
contrainte.
IV.2. Modélisation basée sur la théorie de Landau Devonshire
Ce modèle est basé sur la théorie phénoménologique de Landau – Devonshire
qui vise à décrire les transitions ordre – désordre de façon générale, en ignorant les
spécificités du système particulier considéré [5, 6]. Cette théorie a été appliquée pour la
première fois par Devonshire sur les titanates de baryum. On s’intéresse dans un
premier temps au comportement ferroélectrique seul puis nous introduirons une
dissipation d’énergie lors de la polarisation. Ce terme de dissipation apparaît lorsqu’on
associe en série le ferroélectrique parfait avec une impédance (Figure IV.1).
Généralement on prend la structure en parallèle pour les céramiques piézoélectriques
mais cette structure ne permet pas d’expliquer le non-retournement de la polarisation
observé sur certaines céramiques. Le champ électrique sur le ferroélectrique parfait
étant fixé, il faut donc utiliser la structure en série. Pour modéliser cette dissipation
139
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
d’énergie, nous introduisons un terme 2 dP qui prend en compte la variation de la
dt
polarisation avec le champ électrique.
Figure IV.1 : Schéma du modèle
IV.2.1. Modélisation sans dissipation d’énergie
Un solide cristallin peut être caractérisé thermodynamiquement par son énergie
interne U. L’énergie libre F peut s’exprimer en fonction de l’énergie interne U de la
manière suivante :
F = U - TS -σε
T : température
S : entropie
σ : contrainte
ε : déformation
D’après la théorie de Landau – Devonshire, la différentielle de l’énergie interne
U d’un solide cristallin en fonction des grandeurs mécaniques et électriques peut
s’écrire :
dU = TdS + EdP+ σdε
où E est le champ électrique et P représente la polarisation.
On peut également exprimer dF (différentielle de l’énergie libre) à partir de
l’énergie libre de Helmholtz (F = U –TS) et de la différentielle de l’énergie interne. La
différentielle de l’énergie libre peut alors s’écrire sous la forme :
dF=-SdT+EdP+0G1
140
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
141
On peut considérer que les effets associés à la transition dépendent
essentiellement de la polarisation. On développe donc l’énergie libre (transition du
deuxième ordre) en puissance de P au voisinage de la température de transition θc. Cette
énergie libre de la céramique ferroélectrique, déterminée à contrainte constante, dépend
de la température et de la polarisation. On a donc la relation suivante :
AP 2
BP 4
F(P, )0 2
4
(IV.1)
A et B sont des variables qui dépendent que de la température.
Cette fonction (Figure IV.2) présente deux minima qui correspondent aux états
énergiquement stables de la polarisation. En effet la stabilité est imposée par
∂2F
>> 0 .
∂P 2
Il faut choisir A = a(θ - θc) avec a > 0 et B > 0 pour que la solution pour θ < θc soit
P ≠ 0. L’équation devient :
F(P, )0 a( c 3 2
BP 4
2
4
(IV.2)
avec θ : température de travail
θc : température de transition
Figure IV.2 : Evolution de l’énergie de Landau Devonshire en fonction de la
polarisation
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
142
Etant donné que le champ électrique dérive de l’énergie libre on peut donc
écrire :
E=
∂F
= a( c 3E3 3
∂P (IV.3)
La polarisation rémanente ± Pr est déduite de l’énergie libre de la céramique.
Elle correspond aux minima de la fonction F(P,θ) à E = 0. La polarisation rémanente est
donc solution de l’équation a(c 3E33 = 0 .
Les solutions sont donc :
Pr = 0
Pr = ±
(matériau non polaire)
a( c B
Le champ coercitif correspond quant à lui à
Ec =
2
3 3
[a(c ]
×
(matériau ferroélectrique)
∂P
→ ∞ pour E → E c soit
∂E
3/2
b1/2
. En posant α = a(θ – θc) on a Pr = ±
.1/2
.3/2
et
E
=
×
c
1/2
b1/2
3 3 b
L’équation IV.3 peut alors s’écrire sous la forme suivante :
E=
 P2 
3 3 P
× × E c ×  2 -1
2
Pr
 Pr 
(IV.4)
En tenant compte des constantes (Pr et Ec ) définies précédemment, la
polarisation peut être tracée en fonction du champ électrique en utilisant l’équation IV.4
(Figure IV.3). Dans la région (b – e), représentée en trait pointillé, la valeur de ε serait
négative car
∂P
<0 . Ceci n’a pas de sens physique (ε<0) et la condition de stabilité
∂E
n’est plus respectée. Conséquemment la polarisation ne suit pas ce chemin mais pour
une certaine valeur de champ électrique elle passe directement (saut de polarisation) de
b à c et de e à f. En posant Pr = 0,5 C/m2, Ec = 0,8 MV/m et Emax = ± 3 MV/m, on
obtient alors un cycle d’hystérésis semblable à celui des matériaux ferroélectriques
(Figure IV.4). Cependant la première polarisation n’est pas incluse dans le modèle
présenté. Ce cycle d’hystérésis est simulé à l’aide du logiciel MATLAB (version 5.3).
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.3 Evolution de la polarisation en fonction du champ électrique
appliqué : la polarisation décrit le cycle (a–f–b–c–d–c–e–f–a), (b – e) région
instable
Figure IV.4 : Cycle d’hystérésis parfait
IV.1.2. Modélisation avec dissipation d’énergie
le ferroélectrique parfait est associé en série (cf IV.2) avec une résistance τ qui
correspond à une dissipation d’énergie lors de la polarisation. Ce terme de dissipation
143
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
2
∂P
(où τ est la constante de dissipation) est introduit dans l’équation IV.4 qui
∂t
devient :
E=2
3 3 P  P2 
∂P
( c  
∂t
2 Pr  Pr2 
(IV.5)
L’analyse de l’équation IV.5 montre que la quantité 2πfτ (f étant la fréquence du
champ) va jouer un rôle prépondérant sur la valeur de la polarisation. Pour mettre en
évidence ce phénomène, nous avons effectué des simulations numériques pour
différentes fréquences et les courbes simulées et expérimentales sont représentées
Figure IV.5et IV.6.
Pour les basses fréquences 0,1 Hz, le cycle est très symétrique, la valeur du
champ coercitif est proche de la valeur initiale (800 V/mm) et la polarisation rémanente
est proche de celle du ferroélectrique parfait. Lorsque la fréquence augmente nous
observons une augmentation du champ coercitif et de la polarisation rémanente mais le
cycle reste symétrique. A partir de quelques dizaines de hertz, on observe un cycle non
centré et la polarisation ne se retourne plus. On observe un transitoire sur la polarisation
qui oscille autour d’une valeur continue ce qui signe une équation à forte non-linéarité.
Ce transitoire non linéaire empêche la polarisation de prendre des valeurs négatives, il
devient impossible d’inverser la polarisation par inversion de champ comme observé
expérimentalement (Figure IV.7). Le non-retournement de la polarisation est
conditionné par la valeur du paramètre 2πfτ. Pour des céramiques douces, la valeur de τ
qui est homogène à une résistivité, doit être faible puisqu’on arrive à polariser sur des
fréquences relativement élevées. Pour les céramiques dures c’est l’inverse.
144
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.5 : Cycles d’hystérésis simulés en fonction de la fréquence
Figure IV.6 : Cycles d’hystérésis expérimentaux obtenus sur un PZT dopé avec
1% de manganèse et de fluor en fonction de la fréquence
145
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.7 : Cycle d’hystérésis sans inversion de polarisation
Etant donné que l’analogie physique de l’équation IV.5 est le ferroélectrique
parfait en série avec une résistance, il semble intéressant d’observer la polarisation (P),
le champ électrique E et le champ électrique sur le ferroélectrique parfait noté Ef en
fonction du temps.
Dans ce cas E f = E - 2
∂P
∂t
La Figure IV.8 montre l’évolution de E, Ef et P pour différentes fréquences. Pour
une fréquence faible le champ Ef aux bornes du ferroélectrique descend nettement en
dessous du champ coercitif (Ec = 0,8 MV/m) et donc on peut inverser la polarisation. Si
on augmente la fréquence (ou la valeur de τ), le champ sur le ferroélectrique devient très
dissymétrique. La valeur minimale de Ef reste inférieure à celle du champ coercitif et
par conséquent on ne peut pas retourner la polarisation. A haute fréquence, il devient
impossible d’inverser la polarisation par inversion de champ.
146
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.8 : Evolution de E, Ef et P pour différentes fréquences
147
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
En considérant que le modèle est représentatif de la réalité expérimentale, on
peut trouver une raison physique au terme de dissipation 2
∂P
. Ce terme de dissipation
∂t
d’énergie peut être dû :
•
à une « viscosité diélectrique » comme dans la polarisation d’orientation.
Les polarisations élémentaires (domaines) ne basculent pas toutes en
même temps ce qui fait apparaître un retard macroscopique
•
à une résistance non négligeable au niveau des joints de grains ou des
murs de domaines (interface domaine/domaine). En effet le modèle
développé ferroélectrique parfait + résistance est équivalent à un
enchaînement de grains ou de domaines (Figure IV.9).
Figure IV.9 : Enchaînement ferroélectrique parfait + résistance
IV.1.3. Limites du modèle basé sur la théorie de l’énergie libre de
Landau - Devonshire
Ce modèle, basé sur la théorie de l’énergie libre de Landau Devonshire, permet
de décrire les cycles d’hystérésis des céramiques piézoélectriques. On montre que le
retournement de la polarisation est conditionné par la valeur de la constante de
dissipation τ. Les effets de fréquence du cycle sont pris en compte mais ils sont sur
estimés. Cependant ce modèle permet difficilement d’obtenir la variation de la
polarisation sous contrainte mécanique uniaxiale. Ce modèle étant limité, il est donc
nécessaire de développer un modèle plus général pour avoir l’évolution de la
polarisation en fonction du champ et de la contrainte et les coefficients associés ε33 et
d33.
148
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
IV.3. Modélisation de l’hystérésis par un élément non linéaire type
« frottement sec »
Pour palier les problèmes exposés précédemment, on se propose de modéliser
directement l’évolution macroscopique de la polarisation sous champ électrique et sous
contrainte mécanique uniaxiale en utilisant des éléments fortement non-linéaires. Ces
éléments sont déterminés à partir des observations expérimentales. La Figure IV.10
montre, comment à partir d’un matériau diélectrique (P = f(E)), on obtient le cycle
d’hystérésis d’un matériau ferroélectrique par simple translation de la courbe
représentant le comportement du diélectrique. Cependant cette translation dépend du
signe de la variation temporelle de P.
•
Si P >0
•
Si P <0
alors
P = f(E-Ec) (Ec représente le champ coercitif
alors
P = f(E+Ec)
Pour respecter la physique, l’évolution de la polarisation P = f(E) doit être
monotone croissante, passer par zéro et saturer à une valeur non nulle à l’infini. Si on
prend à titre d’exemple la dépendance WDQN3=E qui donne l’évolution de la
polarisation en fonction du champ électrique d’un diélectrique, l’équation générale de la
polarisation du ferroélectrique s’écrit :
•
WDQN3 + VLJQH (P)=E
avec β = Ec.
Cette équation est semblable à celle d’un couple ressort/frottement sec de type
coulomb l[7], avec l’analogie suivant E = F (force) et P = u (déplacement). Par
conséquent, l’idée motrice du modèle est de simuler l’hystérésis à partir d’un élément
type « frottement sec ».
149
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.10 : Polarisation ferroélectrique comme translaté
d’une polarisation non linéaire saturante
IV.1.1. Principe de l’analogie ressort/frottement sec et simulation sous
champ électrique
IV.1.1.a. Principe de l’analogie ressort/frottement sec
L’élément de modélisation est composé d’un frottement sec lui-même avec un
ressort de rappel. Le fonctionnement de l’ensemble peut être décrit par le schéma donné
Figure IV.11.
La force résistive du frottement sec est toujours opposée au mouvement
•
Si P >0
•
Si P <0
rien ne se passe avant E > + WDQN3
rien ne se passe avant E > -WDQN3
Tant que la force F appliquée est insuffisante, l’objet ne se déplace pas. Dès
qu’on dépasse la force critique, l’objet se met en mouvement (u ≠ 0) en comprimant le
ressort de rappel. Si on ôte alors la force incidente, l’objet s’immobilise dans une
position différente de la position initiale. Il reviendra en arrière lorsqu’on appliquera
une force qui, ajoutée à la force de rappel (Frappel) du ressort, sera supérieure à la force
critique. Le système considéré possède donc une infinité de positions stables.
150
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
151
u=0
Force F
F<β
u>0
Force F
F>β +Frappel
Frappel
déplacement
Force F
F>β +Frappel
Frappel
u>0
Force F
F>β -Frappel
Frappel
Figure IV.11 : Schéma de principe du frottement sec
Les équations constitutives d’un tel élément sont les suivantes :
•
•
VLJQ  X  > ))rappel
 
•
•
VLJQ  X  < ))rappel
 
si u >0
si u <0
alors Frappel = F - β
alors Frappel = F + β
(IV.6)
Dans ces inégalités, F est la force appliquée, β représente la force critique, u le
déplacement mécanique, la distribution sign renvoie le signe de la fonction entre
•
parenthèses et u est la vitesse du déplacement mécanique. L’équation IV.6 se résout à
partir de la valeur du déplacement obtenue précédemment.
La force de rappel est Frappel (u)= A1tan ( .X ) . La Figure IV.12 donne un exemple
de cette fonction pour différentes valeurs de A1. On remarque que la vitesse de
saturation dépend principalement du coefficient A1. La Figure IV.13 montre le
déplacement normalisé u en fonction de la force incidente et on peut voir lors du
premier cycle cet effet de saturation sur le déplacement mécanique.
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.12 : Evolution de la fonction tan-1(A1x) pour plusieurs valeurs de A
Figure IV.13 : Cycle d’hystérésis d’un « frottement sec » avec saturation
IV.1.1.b. Modélisation sous champ électrique
Ce modèle donne le déplacement mécanique d’un élément en fonction de la
force appliquée. Il reste ensuite à calculer la polarisation à partir de ce déplacement. Par
analogie avec le déplacement de l’atome de titane par rapport à l’atome d’oxygène dans
la maille perovskite lors de la polarisation, on peut admettre que u correspond au
déplacement des charges ioniques (séparation du barycentre des charges positives de
celui des charges négatives). Le déplacement de l’atome de titane entraîne un
déplacement des atomes de plomb comme le montre la Figure IV.14. Ainsi, si le champ
152
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
153
électrique appliqué est E, la force reçue dans le modèle est F=qE, avec q la charge
déplacée par le champ. De même, la polarisation induite sera :
P=
q.u
V
(IV.7)
Avec q la charge déplacée, u le déplacement effectif et V le volume de l’élément
considéré.
Figure IV.14 : Déformation de la maille perovskite lors de la polarisation
Par observation de la courbe expérimentale de polarisation sous champ
électrique, on se rend compte qu’une polarisation induite apparaît même pour de petits
champs électriques. On est donc amené à considérer un spectre de couple
ressort/frottement sec (Figure IV.15), avec pour certains, de faibles forces critiques β.
La distribution de ces forces critiques β est déterminée à partir de la courbe
expérimentale (Figure IV.16).
Figure IV.15 : représentation schématique des éléments en série
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
154
Figure IV.16 : Densité de probabilité des valeurs de la force critique (β)
Dans le cas où l’on considère plusieurs éléments, on a alors :
P=
∑P
P=
q
∑u
V
élément
=
∑
q.u
,la charge q et le volume V étant les mêmes, on a
V
(IV.8)
Le volume V est calculé à partir des données géométriques et q est déterminé à
partir des données expérimentales (ici, on a un diamètre = 6,35mm et une
longueur = 1mm/1000, car on a 1000 éléments et une céramique de 1mm de hauteur).
Pour cela, on suppose que le déplacement des charges ur à la polarisation rémanente est
connu.
Dans notre cas, on a ∑ur = 3,5x10-6m, Pr = 0,325 C/m² et V = 3,17x10-11m3, d’où
q = 2,9495x10-3C. Pour chaque élément, on suppose que q restera constant et que la
variation de u déterminera la variation de P.
En considérant un grand nombre d’éléments de type « ressort/frottement sec »
différents (entre 100 et 1000), on obtient la courbe présentée Figure IV.17. Celle-ci est
comparée avec la courbe expérimentale de la céramique dopée avec 1% de manganèse
et de fluor. La série de frottements secs permet de rendre compte du cycle d’hystérésis
mais pour l’instant le modèle présente une dérivée nulle pour de très faibles
sollicitations, donc un coefficient ε33 nul. C’est pourquoi il est nécessaire d’introduire
un deuxième ressort en série avec le frottement sec pour modéliser le comportement
complet de la céramique.
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.17 : Cycles d’hystérésis simulé et expérimental
IV.1.2. Elément de base du modèle
Le nouvel élément de base est constitué de deux parties distinctes qui ne jouent
pas le même rôle. La première partie (couple ressort/frottement sec) ne décrit que le
comportement d’un matériau ferroélectrique sous champ électrique élevé. En effet il
faut nécessairement que la force appliquée soit supérieure à la force critique β pour
mettre en mouvement le frottement sec. Cette partie ne bouge pas sous de faibles
champs électriques et la polarisation reste constante. Cette première partie correspond à
ce qui convient d’appeler la partie extrinsèque de la polarisation. Elle peut être assimilée
au mouvement des murs de domaine lors du processus de polarisation qui se traduit in
fine par une polarisation de la céramique. Le champ électrique aligne préférentiellement
dans sa direction la polarisation des domaines. Ce phénomène se traduit par une
polarisation rémanente à champ nul. La deuxième partie de l’élément (partie II) qui est
définie comme la partie intrinsèque de la polarisation, traduit le comportement linéaire
de la céramique. Quel que soit le niveau de sollicitation, on observe une variation de la
polarisation. Cet effet peut être vu comme le déplacement réversible des murs de
domaines. La séparation partie intrinsèque et extrinsèque est peut être un peu
académique et dans la réalité les phénomènes sont faiblement couplés. Néanmoins cette
séparation est utile car elle met en évidence deux mécanismes de polarisation très
différents. Dans ce cas, la variation de la polarisation du deuxième ressort dépend de
l’état de polarisation de la céramique et donc de la partie extrinsèque de la polarisation.
155
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Sans polarisation
Avec polarisation
Figure IV.18 : Evolution des orientations des domaines ferroélectriques
sous l’effet d’un champ électrique
La représentation schématique de cet élément est donnée Figure IV.19, où F est
la force incidente ou appliquée, βi représente la force critique du frottement sec, δ est le
coefficient d’amortissement et Frappel et Fb sont respectivement la force de rappel du
frottement sec et celle du deuxième ressort. Le couplage qui relie les deux éléments, est
représenté par une boîte noire. L’amortisseur placé en parallèle du couple
ressort/frottement sec, joue le même rôle que la résistance t dans le modèle décrit
précédemment (ferroélectrique parfait + résistance). Ce terme permet de dissiper de
l’énergie et prend en compte la variation du déplacement mécanique avec le champ
électrique. Ce terme de dissipation permet de modéliser les effets de fréquence.
couplage
F
ui
βi
Frappel
δ
Fb
partie II
partie I
Figure IV.19 : Représentation schématique de l’élément de base
Ce schéma mécanique peut également s’interpréter comme un schéma électrique
(Figure IV.20). Bien que plus limitée, puisqu’elle n’est applicable qu’à une dimension,
l’approche par schéma électrique est néanmoins commune dans la modélisation linéaire
156
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
157
des matériaux piézoélectriques. Les éléments mécaniques placés en série dans
l’approche mécanique sont en parallèle dans le schéma électrique. Le frottement sec, le
ressort de rappel et l’amortisseur sont remplacés respectivement par la diode, le
ferroélectrique et la résistance R1. La partie linéaire (partie II) est constituée d’un ressort
R2 et d’une capacité (ε2). Les deux branches sont couplées par l’intermédiaire de la
capacité (ε0) ce qui crée ainsi un couplage physique entre les effets intrinsèques et
extrinsèques.
•
R 1 P1
R2
partie I
E1
partie II (P2)
ε0
E
i1
i2
ε2
•
Diode
E c sign( P1 )
Ferro
WDQN31 Figure IV.20 : Schéma électrique
Après avoir pris en compte tous les effets, on peut écrire :
E - E1 =
E1 =E -
•
•
1
(
P
+
P
1
2 )dt
00 ∫
P1 P2
00 00
(IV.9)
On écrit ensuite les équations dans chaque branche.
- dans la branche linéaire (partie II), on a :
•
1
1
P1
R 2 P2 + 
+
 P2 = E 00 
00
 02
(IV.10)
Comme E, P1 sont connus à t = 0, on peut calculer P2.
- dans l’autre branche (partie I)
•
•
R 1 P1 + E csign( P1 ) + γtan(kP1 ) +
P1
P
=E- 2
00
00
(IV.11)
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
158
Connaissant P2, on peut déterminer ainsi P1 et donc résoudre le système entre P1
et P2. Il nous reste à déterminer les coefficients γ et k. On fait abstraction du couplage
•
entre les deux branches. Pour des variations très faibles tel que P1 → 0 et après
polarisation de la céramique (P1 = Pr), on peut écrire en E =0 :
•
•
γtan(kPr ) = E + E csign( P )
γtan(kPr ) = E c
donc
γ=
si P < 0 (retour vers E = 0 à partir de Emax) alors
Ec
tan(kPr )
Sous la même hypothèse de variation très lente de P1, on a :
tan(kP1 ) =
E ± Ec
γ
On remplace γ par sa valeur et on obtient la relation suivante :
 E

tan(kP1 ) = 
± 1 tan(kPr )
 Ec

donc
 E


kP1 = tan -1 
± 1 tan(kPr ) 

 E c

Œ
2
donc
k=
Quand E → ∞, kP1(E→∞) =
Œ
2P1 (∞)
La relation IV.11 s’écrit alors :
•
•
R 1 P1 + E csign( P1 ) +
 Œ3  3
Ec
3
tan  1  + 1 = E - 2
00
 Œ3 
 2P∞  0 0
tan  r 
 2P∞ 
(IV.12)
Cette relation est valable pour toute fonction tel que décrite au paragraphe IV.3
IV.1.3. calcul de la polarisation
On va maintenant résoudre l’équation IV.12 pour déterminer la polarisation de la
partie intrinsèque en fonction champ appliqué. Les valeurs de Pr et P∞ sont obtenues à
partir de la courbe expérimentale. Dans le cas général P1 n’a pas ses maxima et minima
calés sur les maxima et minima du champ électrique E, il existe toujours un décalage
entre la polarisation maximale et le champ maximal. En fait, on a les lois de
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
•
159
•
comportement représentées Figure IV.21. On peut écrire R1 P + Ecsign( P ) en fonction
•
de P .
•
•
•
Figure IV.21 : Comportement de R1 P + Ecsign( P ) en fonction P
•
•
Comme R1 P + Ecsign( P ) = E - µ(t) avec µ(t) =
 Œ3 
Ec
tan  1  , on peut
 Œ3 
 2P∞ 
tan  r 
 2P∞ 
•
alors exprimer le comportement de P en fonction de la somme E – µ(t) qui ressemble à
la caractéristique d’une diode zener (Figure IV.22). Nous pouvons remarquer que
E - µ(t) correspond à la tension aux bornes de la résistance et de la diode. D’après la
Figure IV.22, on voit que le courant est différent de zéro si E - µ(t) > E c ou
E - µ(t) < - E c . Quand -E c < E - µ(t) < E c , le courant dans la diode est nul et par
conséquent son intégrale P1(t) n’évolue plus et reste constante quel que soit le temps t.
Numériquement il suffit d’initialiser P1 (partie extrinsèque) en t = 0 et de déterminer si
E - µ(t) > E c ou E - µ(t) < - E c . Comme P1 est connu à l’instant j, on en déduit la valeur
de P2 en j+1 grâce à l’équation IV.10. Comme nous l’avons expliqué précédemment
(cf IV.3.1.b),
une
représentation
réaliste
du
comportement
des
céramiques
piézoélectriques nécessite la prise en compte d’un spectre (distribution) de champ
coercitif. Dans le cadre de l’approche présentée, il suffit de placer en parallèle les
éléments (Figure IV.23).
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.22 : Comportement du courant en fonction de E – δ(t)
E
élément n°1
élément n°2
élément n
E c(1)
E c(2)
Ec(n)
Figure IV.23 : représentation schématique des éléments en parallèle
La polarisation globale de la céramique tient compte des deux parties de
l’élément de base. Elle est donnée pour n élément par :
n
P=
∑ (P + P )
1
2
(IV.13)
i=1
IV.1.4. Influence de la contrainte
La force appliquée dans le modèle est une force électrique (champ électrique)
néanmoins on désire également modéliser les effets de la contrainte mécanique sur les
céramiques. Pour prendre en compte ces effets, il faut dans un premier temps connaître
la variation de la polarisation avec la contrainte mécanique. Expérimentalement on
observe une dépolarisation partielle voire totale de la céramique quel que soit au départ
l’orientation de la polarisation. Il est donc raisonnable de penser que τ dépend de la
polarisation. La force F excitant le système, est alors définie comme une combinaison
d’une force électrique E et d’une force mécanique (γ1τ) qui dépend de la polarisation.
Maintenant la force F est donnée par :
160
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
F = E - γ1τP
(γ1 est une constante et τ la contrainte)
161
(IV.14)
Pour vérifier le bien fondé de notre hypothèse (τ dépend de P), nous allons
effectuer le développement limité au premier ordre de l’équation IV.12. Celle-ci va nous
permettre de déterminer le signe de γ et de vérifier le sens de variation de la polarisation
(∆P) sous contrainte mécanique. Après avoir polarisé la céramique (P = Pr), on attend
suffisamment longtemps pour que la polarisation soit stabilisée et on appuie légèrement
•
et très lentement ( P1 faible et E = 0). On supprime le couplage entre les deux branches et
on pose :
P = Pr + ∆P
L’équation IV.12 devient alors :
•
 Œ3r + û3 
Ec
3r + û3
tan 
( cVLJQ 3r + û3  = - γ1τ(Pr + û3
00
 Œ3 
 2P∞

tan  r 
 2P∞ 
On effectue le développement limité au premier ordre et dans notre cas
•
sign( û3 VLJQû3 . on obtient alors la relation suivante :
Ec +
donc
Ec
π∆P
= - γ1τ(Pr + û3( cVLJQû3
 Œ3r 
2  Œ3r 
tan 
 2P∞ cos 

 2P∞ 
 2P∞ 
û3 - γ1τPr - E c - E csign(û3
Ec
Œ
1τ  Œ3 
 Œ3 
tan  r  2P∞ cos 2  r 
 2P∞   2P∞
(IV.15)
terme 1
Dans la relation IV.15, le terme 1 noté λ est toujours supérieur à zéro. On pose
τ < 0 . Deux cas se présentent :
Si γ1 < 0 et en considérant que sign(û3 alors û3 - γ1τPr
γ1τ +λ
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Si γ1 > 0 et en considérant que sign(û3 alors û3 162
γ1τPr
, cette relation
γ1τ +λ
peut être négative ou positive.
En conclusion, le paramètre γ1 ne peut pas être positif car ceci ne respecte pas la
physique. Les effets de la contrainte mécanique et du champ électrique sur la
polarisation sont représentés Figure IV.24. Sous champ électrique, la variation de
polarisation est positive si le champ est positif et négative si le champ est négatif. Dans
le cas de la contrainte, la variation de la polarisation dépend du signe de la polarisation
au départ. Si P >0, ∆P sera négatif et si P < 0 alors ∆P sera positif. La dépendance de τ
avec P est donc nécessaire et elle montre la différence fondamentale entre le champ
électrique (vecteur) et la contrainte mécanique (tenseur).
Figure IV.24 : Représentation schématique des effets de contrainte mécanique et
du champ électrique sur la polarisation
IV.1.5. Relation entre les coefficients d33, ε33 et la déformation S
Après avoir introduit les effets du champ et de la contrainte, il nous reste à
établir les relations qui existent entre les coefficients d33, ε33, la déformation et la
polarisation. En partant de l’équation générale de la partie I du schéma électrique
(équation IV.16), on peut calculer les variations infinitésimales de la polarisation avec la
contrainte et le champ.
•
•
R
1 P1 + E c sign( P1 ) +
,
effets de
dissipation
effet hystérétique
 Œ3 
Ec
(
tan  1  + ,
,
1 231  Œ3r 
2P∞  terme de
champ

tan 
électrique

couplage
2P∞ 
avec la

contrainte
termeélectrostatique
(IV.16)
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
On a :
dP(2( 163
∂P
∂P
Gτ G(
∂τ E
∂E τ
On calcule d’abord
∂P
, on obtient l’équation IV.17
∂τ E




∂P1 
∂P1 
Ec
Œ

R 1 +2 E c δ( P1 )  +
+ 12  131



∂τ 
∂τ
 Œ3r 
 Œ31 

 tan 

 2P∞ cos 


 2P∞ 
  2P∞ 
•
•
On calcule maintenant
(IV.17)
∂P
et on obtient l’équation IV.18
∂E 2




•
∂P1 
∂P1 
Ec
Œ

R 1 +2 E c δ( P1 )  +
+ 12  
∂E 
∂E   Œ3r 
 Œ31 

 tan 

 2P∞ cos 


 2P∞ 
  2P∞ 
•
IV.18
En divisant l’équation IV.17 par -γ1P, on peut écrire le système suivant :
•
 -1 P
•
-1 ∂P1
∂
1

[A ] +
[B] = 1 avec [A] = R1 +2 Ec δ( P1 )
 13 ∂τ
13 ∂τ
 •
IV.19
 ∂P
∂P
Ec
Œ
 1 [A ] + 1 [B] = 1 avec [B] =
+ 12
∂E
 Œ3 
 Œ3 
 ∂E
tan  r  2P∞ cos  1 

 2P∞ 
 2P∞ 

•
•
∂P1
L’équation IV.19 impose :
∂τ
∂P
∂P
∂P
= - 131 1 HW 1 131 1
∂E
∂τ E
∂E
E
Or comme
∂P1
∂P
= d 33 et 1
∂τ E
∂E
τ
= 0 33 , on peut écrire la relation suivante :
τ
d 33 E = -γ1P1 0 33 τ
En supposant la réversibilité des effets directs et inverses alors
En remplaçant
τ
IV.20
∂P1
∂S
=
= d 33 .
∂τ
∂E
dP1
dP
par -131 1 , la déformation peut s’écrire de la manière suivante :
d2
dE
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
P1 (E)
S = -1
∫
0
dP
31 1 G( 1
dE
164
P1 (E)
∫
31G31
0
Finalement, la déformation en fonction de la polarisation est donnée par pour un
élément par :
P1 (E)
 P2 
S = -1  1 
 2 0
-1 2
 31 (312 
2
IV.21
La relation IV.21 donne une relation directe et simple entre la déformation et la
polarisation de la céramique. A notre connaissance, cette démarche est nouvelle et
permet à partir d’une hypothèse simple (τ dépend de la polarisation) de trouver des
relations directes et simples entre la déformation, le coefficient d33 et le coefficient ε33.
IV.1.6. Calcul de l’énergie
A partir de l’équation générale IV.16, on peut calculer la puissance en la
•
multipliant par P1 . L’énergie est définie comme l’intégrale de la puissance sur le temps.
elle est donnée par la relation suivante :
•
•
•
2
∫ R1 P1 dt + ∫ Ecsign( P1 ) P1 dt +
on a
•
•
1
1
∫
•
•
 Œ3  •
Ec
tan  1  P1 dt + ∫ 1231 31 GW ∫ ( P1 dt
 Œ3 
 2P∞ 
tan  r 
 2P∞ 
•
∫ E sign( P ) P dt = E ∫ P
c
c
1
dt et on pose δ =
Ec
. L’équation
 Œ3r 
tan 

 2P∞ 
précédente devient :
•
•
•
•
 Œ3  •
R1 ∫ P12 dt + E c ∫ P1 dt + δ ∫ tan  1  P1 dt + 1 ∫ 231 31 GW ∫ ( 31 GW IV.22
2P∞ 
 énergie de couplage énergie fournie
énergie dissipée
par le frottement
newtonien
énergie dissipée
par l'hystérésis
énergie électrostatique
dans le ferroélectrique
au système
énergie dissipée
Les différents termes de l’énergie, à contrainte nulle, sont représentés
Figure IV.25 en fonction du temps. Les minima de l’énergie sont observés pour E = 0 et
correspondent à des points de stabilité (Figure IV.26). Par conséquent La polarisation
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
165
rémanente ± Pr correspond aux minima de l’énergie à E = 0. Lorsque le système est
sollicité avec un champ électrique périodique, la variation d’énergie électrostatique est
nulle sur une période puisque P est périodique. Il en résulte que l’énergie fournie au
•
système est dissipée dans la résistance R1 et dans la diode ( E c ∫ P1 dt ). On réécrit
l’équation IV.22 qui devient :
•
•
•
R 1 ∫ P12 dt + E c ∫ P1 dt = ∫ E P1 dt
IV.23
•
•
Les deux termes de disspation ( R 1 ∫ P12 dt et E c ∫ P1 dt ) sont représentés Figure
IV.27 en fonction de la fréquence. L’énergie dissipée dans la résistance passe par un
maximum tandis que l’énergie dissipée par l’hystérésis diminue de façon continue avec
la fréquence. Ces courbes montrent que la polarisation de la céramique diminue lorsque
l’on dépasse la fréquence pour laquelle l’énergie dissipée est maximale.
Figure IV.25 : Evolution des différents termes de l’énergie en fonction du temps
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.26 : Evolution de l’énergie fournie au système
en fonction du champ électrique
Figure IV.27 : Evolution des énergies de dissipation en fonction de la fréquence
IV.1.7. Modélisation du comportement des céramiques sous fortes
sollicitations extérieures
Les simulations numériques sont effectuées en utilisant un code propre implanté
sous MATLAB. Il faut noter que l’équation IV.12 est décrit par un opérateur différentiel
•
non-linéaire qui bifurque lorsque la dérivée temporelle P1 change de signe. Les résultats
de la modélisation sont comparés aux courbes expérimentales obtenues sur plusieurs
matériaux et plus particulièrement sur la céramique PZT dopé avec 1% de manganèse et
de fluor.
166
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
IV.1.7.a. Modélisation sous champ électrique
Dans un premier temps, on mesure, en fonction du champ électrique, le courant
de polarisation de la céramique PZT dopé avec 1% de manganèse et de fluor à l’aide
d’un ampli de courant (KETHLEY 428) L’enregistrement des données se fait avec un
enregistreur (KIPP & ZONEN) fréquence d’échantillonnage est fixée à 10Hz. Cette
courbe expérimentale permet de déterminer la polarisation spontanée et rémanente et la
répartition des champs coercitifs. Ces paramètres seront utilisés pour ajuster les
coefficients du modèle. La première courbe de polarisation nous donne la distribution
des champs coercitifs. Ensuite on applique dans le modèle un champ électrique
sinusoïdal (E = Emaxsin(ωt)) et on ajuste les paramètres (R1, R2, ε0 et ε2) pour obtenir
une bonne corrélation entre la courbe expérimentale et la courbe simulée (Figure IV.28).
Les valeurs des différents coefficients sont :
R1 = 2.104
R2 = 2.107
ε0 = 7.10-6
ε2 =
2,5.10-8
f = 50 mHz
Figure IV.28 : Cycle d’hystérésis : Polarisation en fonction du champ électrique
167
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
La Figure IV.29 représente, en fonction du champ électrique la déformation lors
du processus de polarisation calculée à partir du modèle et celle obtenue
expérimentalement. On peut remarquer que l’utilisation de l’équation IV.21 pour le
calcul de la déformation est tout à fait justifiée puisque la simulation théorique présente
un bon accord avec la courbe expérimentale. Pour le matériau dopé avec 1% de
manganèse et de fluor, on a γ1 = - 0,056. Il existe une déformation rémanente après
polarisation de la céramique. En effet l’orientation des polarisations spontanées des
domaines dans la direction de polarisation entraîne une élongation de la céramique.
Expérimentalement les céramiques piézoélectriques présentent une polarisation
pour des champs électriques inférieurs au champ coercitif Ec (Figure IV.30a). Dans ce
cas, on ne peut plus considérer un seul champ coercitif pour la céramique mais une
distribution de champs coercitifs. On peut donc associer une valeur de champ coercitif à
chaque domaine de la céramique. Cette valeur pourrait être proportionnelle à la taille du
domaine considéré. Notre modèle prend également en compte cet effet comme illustré
sur la Figure IV.30b. Les possibilités deviennent alors intéressantes puisque nous
pouvons visualiser le comportement de la céramique quel que soit le champ considéré.
Il reste à appliquer ce modèle à une céramique polarisée (P1(0) = Pr et P2 = 0). La
courbe expérimentale, obtenue sur un matériau au manganèse et au fluor et présentée
Figure IV.31, montre pour un champ variant de –Ec à +Ec une dépolarisation
irréversible de la céramique suivie d’un petit cycle elliptique. Le modèle proposé dans
ce chapitre prend en compte cet effet de dépolarisation (Figure IV.31).
Ce modèle montre que chaque point du cycle P = f(E) est adressable et il prend
en compte toute l’histoire de la céramique. La céramique ne revient jamais dans le
même état d’équilibre. Il existe donc une infinité d’états d’équilibres contrairement à ce
que l’on pouvait penser. Il faudrait chauffé la céramique au-dessus de la température de
Curie pour annuler tous les effets associés à l’étape de polarisation et donc rajeunir la
céramique.
168
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.29 : Déformation relative en fonction de la contrainte
Figure IV.30 : Différents états de polarisation
Figure IV.31 : Evolution de la polarisation d’une céramique polarisée
169
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
170
Ce modèle électrique basé sur le couple diode/ferroélectrique permet de simuler
le comportement d’une céramique quelle que soit la polarisation initiale et quel que soit
le champ électrique appliqué. Les résultats des simulations ouvrent la voie à des
simulations plus générales. On peut par exemple appliquer un champ électrique statique
(Estat) et lui superposer un champ électrique sinusoïdal de faible amplitude.
L’évolution de la permittivité relative εr est déterminé à partir de la variation de
la polarisation et de l’équation piézoélectrique suivante :
On a 0 33
0 33 =
∂D
or, D=ε0E + P, et comme ε0E << P, on peut écrire que :
∂E T=cte
∂P
∂E T=cte
(IV.24)
La comparaison entre la courbe expérimentale et la courbe théorique est donnée
Figure IV.32. On obtient la bonne évolution de ε33. La valeur du coefficient εr, obtenue
par simulation, est proche de la valeur expérimentale. Néanmoins ce coefficient est
défini à haut niveau et il correspond aux déplacements irréversibles des murs de
domaines. Les valeurs du coefficient εr, obtenues par le modèle, sont sur estimées par
rapport aux valeurs mesurées à 1 kHz sous 10 V/mm (Figure IV.33). Cependant
l’évolution des courbes est similaire. Actuellement le modèle ne permet pas de prévoir
l’évolution du coefficient εr en fonction d’un champ électrique du type E = Estat
+E0sin(ωt) avec Estat >> E0. En résumé, le mouvement réversible des murs de domaines
sous bas niveau est constant quel que soit le champ statique Estat. On devrait pouvoir
modéliser ce phénomène en modifiant le couplage entre les deux parties du schéma
électrique.
Figure IV.32 : Evolution de la permittivité relative en fonction E
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.33 : Evolution du coefficient εr en fonction
de E = Estat +E0sin(ωt) (E0 = 10 V/mm et f = 1 kHz)
Effet de fréquence
La résistance R1 placé en série du couple diode/ferroélectrique permet
•
d’introduire les effets de fréquence dans le modèle. Le terme R 1 P1 est un terme de
pertes apparaissant lors de la polarisation de la céramique sans pour autant participer à
cette dernière (aucune participation au cycle d’hystérésis). Il permet de dissiper de
l’énergie et peut être dû à une résistance non négligeable au niveau des murs de
domaines. La Figure IV.34 présente les résultats des simulations obtenus pour plusieurs
fréquences ainsi que les résultats expérimentaux obtenus sur la céramique au manganèse
et au fluor. Pour les basses fréquences (50 mHz), le cycle est symétrique et la valeur du
champ coercitif est proche de la valeur expérimentale. Lorsque la fréquence augmente,
•
le terme R 1 P1 devient plus important et ceci se traduit sur le cycle d’hystérésis par une
augmentation du champ coercitif. A partir de quelques dizaines de Hertz, le cycle n’est
plus symétrique et la polarisation ne se retourne pas par inversion de champ,
phénomène observé sur certaine céramique (Figure IV.7). Une partie de l’énergie est
dissipée dans la résistance et par conséquent le champ sur la diode et le ferroélectrique
diminue. Il faudrait augmenter la valeur du champ pour retourner la polarisation mais on
risque de dépasser la tension de claquage de la céramique.
171
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.34 : Evolution des cycles d’hystérésis pour plusieurs fréquences
Effet de température
La polarisation rémanente d’une céramique piézoélectrique décroît avec la
température et s’annule au-dessus d’une température Tc appelée température de Curie.
Expérimentalement ceci se traduit par une diminution progressive du champ coercitif
avec la température. Cette caractéristique est introduite dans le modèle via le champ
172
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
173
coercitif Ec. L’évolution des champs coercitifs avec la température suit une loi de
Curie – Weiss. Maintenant ils sont définis par l’expression suivante :
E c (θ)=E 0c
θc − θ
θc
(IV.25)
Où E 0c est la valeur du champ coercitif à θ = 0 et θc est la température de Curie
du matériau. On impose par ailleurs que si θc - θ < 0 alors Εc = 0 (car des champs
coercitifs négatifs n’auraient aucun sens). Il est alors possible de calculer la polarisation
rémanente Pr pour une température donnée et de tracer son évolution en fonction de la
température
(Figure
IV.35).
On
observe
bien
la
transition
ferroélectrique – paraélectrique à la température de Curie (soit 200°C dans notre cas) (Pr
= 0). Ensuite, la polarisation reste constante (P = 0) lorsque la température redescend en
dessous de la température de Curie. Ce phénomène est propre aux céramiques
piézoélectriques car elles sont étant constituées de grains. En effet, l’orientation des
domaines dans la céramique en dessous de la température de Curie est aléatoire. La
somme des polarisations spontanées de chaque domaine est donc nulle. Dans le cas d’un
monocristal
monodomaine,
on
observerait
en
dessous
de
la
transition
paraélectrique – ferroélectrique une polarisation rémanente.
Figure IV.35 : Evolution de la polarisation rémanente en fonction de la
température
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Nous avons modélisé le comportement de la céramique sous champ électrique,
nous allons maintenant étudier son comportement sous contrainte mécanique uniaxiale.
IV.1.7.b. Modélisation sous contrainte mécanique
On applique dans le modèle une contrainte mécanique γ1τP1 et on se place dans
le cas ou la céramique est polarisée. On utilise le principe de mesure au Chapitre III
(cf III.7.2.a) pour étudier l’évolution de la polarisation sous contrainte mécanique de la
céramique dopée avec 1% de manganèse et de fluor. La céramique subit le cycle
thermique décrit Figure IV.36. La simulation numérique (Figure IV.37) met en évidence
le phénomène de dépolarisation observé expérimentalement pour des contraintes
élevées. La contrainte a un effet direct sur la polarisation des céramiques. Dans un
premier temps les domaines à 90°, orientés lors de la polarisation, vont avoir tendance à
reprendre leur direction initiale. Ensuite, lorsque l’on augmente la contrainte il apparaît
des basculements à 180° de certains domaines et ces phénomènes sont irréversibles
[27]. Il s’ensuit une dépolarisation de la céramique et ceci est mis en évidence par le
modèle. Dans le modèle, les éléments dont les champs coercitifs sont faibles, basculent
en premier.
Figure IV.36 : Schéma du cycle de contrainte
174
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
175
Figure IV.37 : Evolution de la polarisation sous contrainte mécanique
On obtient une bonne corrélation entre la courbe expérimentale et la courbe
théorique. Pour les simulations numériques, le coefficient d33 est calculé à partir des
équations piézoélectriques.
On a d33 =
d 33 =
∂D
or, D=ε0E + P, et comme ε0E << P, on peut écrire que :
∂T E=cte
∂P
∂T E=cte
(IV.26)
La comparaison entre la courbe expérimentale et la courbe théorique est donnée
Figure IV.38. L’évolution des deux courbes est similaire. Cependant la valeur du
coefficient d33 est sous-estimée par la modélisation. Comme pour le coefficient ε33, le
coefficient d33 est calculé sous haut niveau de sollicitations.
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.38 : Evolution du coefficient d33 sous contrainte uniaxiale
Nous avons vu que la contrainte mécanique dépolarisait le matériau. On observe
une diminution de la polarisation qui se traduit par une diminution de l’activité
piézoélectrique. L’évolution du coefficient d33 de la céramique industrielle type P188
est donnée Figure IV.39 pour différentes valeurs de contrainte (40, 80 et 120 MPa).La
variation du coefficient d33 dépend du niveau de contrainte et son évolution est
quasiment linéaire après un cycle de contrainte. On peut donc dire que la contrainte
mécanique stabilise le coefficient de charge d33 puisqu’ il reste stable tant que l’on ne
dépasse pas la contrainte maximale atteinte précédemment. Cette technique pourrait être
utilisée pour stabiliser les matériaux qui présentent des effets caractéristiques d’un
comportement non linéaire.
Figure IV.39 Evolution du coefficient d33 en fonction de la contrainte
176
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
IV.1.7.c. Modélisation des cycles d’hystérésis sous contrainte mécanique
Dans ce paragraphe, l’influence d’une contrainte mécanique sur les cycles
d’hystérésis et la déformation est modélisée. La céramique est soumise simultanément à
un champ électrique et à une contrainte mécanique ( E - γ1τP1 ). On compare les résultats
expérimentaux de Fang et Li [8] aux simulations théoriques obtenues avec le modèle
(Figure IV.40). On observe une diminution de la polarisation et de la déformation
lorsque la contrainte mécanique croît de 0 à 80 MPa. Les simulations théoriques
présente un bon accord avec les résultats expérimentaux de Hwang et al bien que l’effet
de la contrainte mécanique sur la déformation soit sous estimé. Là aussi la contrainte a
un effet direct sur la polarisation de la céramique. Cette force mécanique s’oppose au
champ électrique et elle empêche la céramique de se déformer sous l’action du champ
électrique. Par conséquent, on observe une diminution de la polarisation rémanente
lorsque la contrainte augmente. Pour annuler l’effet de la contrainte mécanique, il
faudrait augmenter le champ électrique.
Figure IV.40
177
Chapitre IV : Modélisation du comportement des céramiques sous sollicitations extérieures
Figure IV.40 : Evolution de la polarisation et de la déformation pour plusieurs
valeur de contrainte statique
IV.2. Conclusion
Les deux modèles présentés dans ce chapitre permettent de décrire partiellement
le comportement des céramiques sous fortes sollicitations extérieures. Le premier
modèle met en évidence les effets de fréquence sur la polarisation mais il ne permet pas
d’obtenir la dépolarisation et le coefficient d33 sous contrainte.
Le second modèle basé sur les éléments type « diode/ferroélectrique » permet de
simuler la polarisation avec une précision inégalée avec les autres modèles rencontrés. Il
est capable de simuler des cycles d’hystérésis aussi bien pour de petits champs
électriques que pour de forts champs. Comparativement, la théorie de Landau
Devonshire ne prévoit qu’une valeur de polarisation. Ici on en a une infinité, ce qui est
conforme à la physique des choses. De plus ce modèle permet de prendre en compte les
effets combinés de champ électrique, de fréquence , de contrainte et de température. Les
simulations nous ont permis de déterminer l’évolution de certains coefficients du
matériau sous contrainte mécanique et sous champ électrique. Néanmoins, pour mieux
cadrer avec les observations expérimentales, il faudrait améliorer le couplage entre les
deux parties de l’élément de base.
178
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