Now

Expose nO 8
ESPACES POLONAIS, LUSINIENS, SOUSLINIENS et RAOONIENS
par A, BAORIKIAN
red1ge par B, lVOL
Le contenu de cet expose a ete en large partie emprunte au livre de
L, SCHWARTZ
paraltre au TATA Institute.
N° 1 - ESPACES POLONAIS
OOfinition 1
Un espace topologique
X est d1t polonais s'il est metrisable de type de-
nombrable et s'il existe une distance compatible avec la topologle de
X pour
laquelle 11 est complete
Les proprietes suivantes, rappelees sans demonstratlon, se trouvent dans
I
Bourbaki, Topologle generale ­ chapitre IX.
a) tout sous­espace
ferme d'un espace polonais est polenals;
b) Ie prodult et la somme d'une familIa denombrable d'espaces polonals sent
polonals
j
c) tout sous­espace ouvert d' un espace polonals est polonals
j
d) dans un aspace separe, l'lntersectlon d'une sulte de sous­espaces polonals est un sous­espace polonals ;
e) un sous­espaca d'un aspace polona1s
c'est un G dans
6
X
f) un espace topolog1que
morphe
X est polona15 51 at 5eulament sl
X est polonais si et seulement 51 X est homeo-
un G6 du cube
!l,
oil I deslgne l'intervalle [0, 1]
de IR.
-113-
N° 2 - ESPACES LUSINIENS - ESPACES SOUSLINIENS
Definition 2
Un espace topologique separS
nais
X est dit lusinien s'il existe un espace polo-
P et une bijection continue de
P sur
X • Une partie d'un espace topolo-
giqU8 est dite lusinienne si le sous-espace qu'elle definit est un espace lusinien.
Il revient au mArne de dire que si
existe une topologie
sur
est la topologie ssparSe de
X plus fine que
pour laquelle
X, il
X est polonais.
Tout espace polonais est lusinien et l'image d'un espace lusinien par une
application bijective continue est un espace lusinien.
Donnons quelques proprietes de permanence.
Proposition 1
Tout sous-espace ouvert ou fermS d'un espace lusinien est lusinien.
En effet, soit P un polonais et f : P
X une application continue bijective.
Si A est un ouvert (resp. ferme) de X , f- 1 (A) est un ouvert (resp. ferme) de P,
donc polonais, et la restriction de f
a
f- 1 (A) est une bijection continue de
f- 1 (A) sur A •
Proposition 2
Tout produit (resp. toute somme) denombrable d'espaces lusiniens est un
espace lusinien.
Demonstration
Soit, pour tout entier n, un lusinien
L'application produit des f
n
Xn ' image par
f
n
d'un polonais
(resp. l'application qui coIncide avec f
est une bijection de l'espace polonais
IT
n
P
n
(resp.
L
n
P )
n
sur
IT
n
n
Pn •
dans P
n)
Xn
(resp.
Corollaire
Dans un espace topologique, la reunion d'une suite de parties lusiniennes
-114-
d1sj01ntes est un espace lus1n1en.
En effet, une telle reun10n est homeomorphe
a
l'espace somma qu1 est lusi-
nien. On supprimera ulterieurement l'hypothese -disjointes-.
Proposi tion 3
L'intersection d'une suite {An' n
1} de parties lusiniennes d'un espace
X est un espace lusinien.
topologique separe
Oemonstrat ion
Soit f l'application diagonale de
f
(x) •
(Yn)n
awc
Yn .. x
pour tout
n
E
xN et f ((\ An )
n
fermS dans l'espace lusinien n A
n
sur la diagonale
t:.
<,
dans
X
de
c'est-a-d1re telle que
IN • fest un homeomorphisme de
.
/), (\
X
n A est lusinien puisque
n
n
n
Proposition 4
Tout borelien d'un espace lusinien est lusinien.
OBmonstration
91 .
II suffit de montrer que
tenant la tribu borel1enne.
alors
une suite dans
gf
{Ac X
I
C
A et A lusiniens} est une tr1bu con-
est evidemment stable par complementation. Soit
9f • Bn
..
A
n
\
U
est lus1n1en. et en
appliquant Ie corollaire de la proposition 2 , on voit que
est aussi lusinien •
lusinien. De plus
n
les ouwrts de X • C.O.F.O.
A
n
est
contient
n
Definition 3
Un espace topologique separe est dit souslinien s'il existe un espace polonais P et une surject10n continue de P sur X • Une part1e d'un espace topologique
est dite sous11n1enne s1 Ie sous-espace qu'elle def1nit est sous11n1en.
On a ev1demment les inclusions suivantes
-115-
polonais
lusinien
souslinien
Les propri6t6s de stabilit6 des espaces lusiniens 6tablies pr6c6demment se
g6n6ralisent aux espaces sousliniens (d6monstration
analogues). Donc
I
- un sous espace ouvert ou fermS d'un espace souslinien est souslinien
- un produit d6nombrable et une somms d6nombrable d'espaces sousliniens Boot
sousliniens
Et l'on en d6duit comma pour les espaces lusiniens
I
- tout bor61ien d'un espsce souslinien est souslinien.
En outre. une r6union d6nombrable de sous ensembles sousliniens d'un espace
separ6
X est souslinienne. car c'est l'image de la somma directe topologique par
une application continue.
Afin de caracteriser les espaces sousliniens, nous avons besoin de la definition suivante
I
Definition 4
Un espace topologique est dit eparpille s'il est polonais et si tout point
un
fondamental de voisinages
a
la fois ouverts et fermes.
Un espace eparpille est totalemsnt discontinu.
Exemple
I
etant muni ds la topologie discrete, l'espace
muni de la topo-
logie produit est eparpille.
Plus generalemsnt, tout produit denombrable d'espaces 6parpilles est eparpille,
donc tout produit denombrable d'espaces denombrables discrets. On en deduit alors
que la limite projective d'un systems projsctif denombrable d'espaces discrets est
un sspace eparpille.
Lemme 1.- Etant donne un espace polonais P , il existe un espsce eparpille E et
une surjection continue f de E sur P.
-116-
l»monstretion
P etant polonais. il existe un ensemble denombrable 0 et une suite
1
(A )
de fermSs non vides de P. de diamstre
1 telle que :
n
1 n 1 E 01
An
OZ
n
1
1
• De meme. pour tout
et une suite
1
2"
(A
telles que
n 1n
)
Z
A
n1
En posant C1 = 01 et CZ•
Cz sur C1 par
de parties fermees non vides de An
Z
n E. 0
n
Z
n E. 0 • 11 existe un ensemble denombrable
1
1
1
de diemAtre
1
U z
nZE 0
n
1
on definit une application P1 de
n E C
1
P1 {(n 1• n )}
z
1
•
n •
1
Supposons definis les ensembles
C ••••• Ck et les surjections Pi : Ci + + C •
1
1
1
Pour tout (n ••••• nk) E Ck • A
est un espace palonais et il existe
1
n1·····nk
un ensemble denombrable
de parties fermees non vides de
de diametre
1
4t"""k'+'1'
telle que :
A
n 1 • .... n k + 1
tion de Ck+ sur Ck definie par :
1
On a donc constrult par recurrence un systems projectif (Cn•
ces topolog1ques. Cn etant muni de la topologie
L (C) •
Cn
est ainsi un espace eparpille.
De plus si w • (n
(A
n ..... n
k
1
)
d'espe-
1• (n 1• n Z )' ••• )
L(C). la suite de fermSs non vides
est decroissante. de d1ametre tendent vers 0 • Elle converge vers
-117-
xwE P et l'application f
I
L (C)+
Elle est continue car si {x } • {\
o
de
An1 •••••
X
w
est surjective.
• f (wo) , pour tout voisinage
V
o • il existe ko tel que
X
-
et einsi
que
P definie par f (w) •
w • {w
} est un voisinege de
w
o
tel
f (W)C: V , C.Q.F.D.
Le theor9me suivent est une consequence immediate du lemme1.
Theorilme 1
Un espace seperS X est souslinien si et seulement si il existe un espace
eparpille Y et une surjection continue de Y sur X •
La demonstretion du lemma 1 permet de degeger une notion caracterisant les
ensembles sousliniens et fort utile pour obtenir des proprietes de ces ensembles
I
c'est la notion de criblage.
N° 3 - CRIBLAGE ET CRIBLAGE STRICT
oafinition 5
On appelle crible une suite C • (Cn, Pn)n30
Cn
soit un ensemble denombrable et
Cn
m<
une surjection de
Cn + 1
n
sur
0 •
Cn
muni de la topologie discrilte etant eparpille. la limite projective L (C)
du systeme projectif (Cn, Pmn)
8i
Pn
telle que, pour tout
ou
Pmn· 1
si n· m et Pmn· Pm Pm+1°O oPn
Cm
n • muni de la topologie limite projective est un eepace eparpille.
0
Definition 6
On appelle criblage d'un espece topologique separe
X la donnee d'un crible
-118-
C •
(C , Pn)n
et pour tout
n
n
ifnI Cn "
d'une application
0
(X) satis-
faisant aux conditions suivantes I
1)
'r/
2)
X
n
'1/
0 ,
U
m
lf n +1
c E Cn +1 ,
0
et
(c)
!"n
elf n
(c)
(Pn (c))
U
(c)..
c EO Co
J
If n+1 (c') pour tout n
0
J
c' E Cn + 1
Pn(c')-c
si
3)
(cn )n,>0 EO L
(C) ,
alors
est une base de f1ltre
(\I'n
convergent.
Le cr1blage est d1t
4) Pour tout n
.!E!=!
'f n
0 , les
s1 de plus
c ES Cn
oll
(c)
I
sont deux
a
deux disjoints.
Propol1t1on 5
S1 X admet un cr1blage
(C
n , Pn'
(resp. cr1b18ge strict) et s1 fest
un. surjection (resp. bijection) continue sur un espaCB
(Cn , pn , f
0
T
n)
0
Y,
est un cr1blage (resp.
cr1blage strict) de Y •
.
D6monstrat1on immediate.
Propos1tion 6
Tout cr1blage (resp. cr1blage strict) (Cn , Pn'
una application continue surjective
d'un espaCB
(resp. bijective)
X
L (C) .!!!!: X •
D6monstrat1on
O'apres la dAf1n1t1on d'un cr1blage, so1t f
f (w) - x
oll
- (c)
nn
elle est continue car s1
et
{x} -
f\
n
I
n (c)
n • f est
surjective
Vest un vo1s1nage de x , 11 ex1ste n tel que
(cn)CV, et W - L (C) (\ {co} x ... x {cn} x
vo1s1nage de
L (C) .. X telle que I
dans
L
(C)
tel que
Enf1n, f est injective s1 le cr1blage
f (W) C
(C
n
1 x Cn +2 x ...
Cn +
, Pn '
'fln
est un
(cn) C. V •
If n ) est strict I pour
J
-119-
at Ill' .. (c')
n
11 existe n tel que cn '# -:
f (Ill) E
If'n (c n)
dans L
donc 'f'n (c n)
'P n
{\
(C)
tels que
III '# Ill'
(\ f"n
et
f
(Ill) .. f
(Ill') ,
.. 13 , or
, ce qui est absurde. C.Q.F.O.
On peut alors formuler la caracterisation suivante des espaces sousliniens
et lusiniens.
ThBorime 2
Un espace separe est souslinien (resp. lusinien) si et seulement s'il admet
un criblage (resp. criblage strict).
D8manstration
La condition suffisante resulte de la proposition 6. RBciproquement si X est
souslinien. X .. f (P) ou Pest polonais et f continue. P admet un criblage
d'apris Ie lemma 1 et X egalement d'apris la proposition 5. Si X est lusinien.
X .. f (P) ou Pest polonais et f une bijection continue de P sur X • Une construction analogue
Solt
p..
U
n E0
1
tion de P et
1
a
An
celIe cu lemma 1 mantre que
1
• Les Bn
6 (Bn )
k
II suffit d'appliquer
k
.. An
k
"-
V
j<k
P admet un criblage strict.
B
nj
non vides formant une parti-
1.
a
nouveau la proposition 5. C.Q.F.O.
Les espaces sousliniens possedent une importanta propriete de separation.
D8f1ni tion 7
Deux parties A et B d'un espace topologique X sont dites separees par des
boreliens s'il existe deux boreliens A1 et B tels que
1
A
A et
1"::)
B :::l B avec
1
A f\ B .. 13 •
1
1
Theorime 3
Soit X un espace sspare. Etant donnee une suite (An) de parties sousliniennes
deux
a
deux disjointes. il existe une suite (Bn) de Doreliens de X deux
a
deux
-120-
disjoints tels que An C B • pour tout n •
n
Montrons tout d'llIbord Ie lenrne sui vant
Lemme 2.-
I
(An)..!!.! (8 ) deux suites de parties d'un espaes topologique X •
m
5i pout tout n !! m • An!! B soot
m
A· U A
de mAme pour
n
et
8·
n--
U
m
par des
alora 11 en est
B
m
Preuve du lemme
5i
E •
ElM:::> An
U f'I
n
m
E
at
mn
Fmn :::> Bm sont des
et
n
F·
U
F
separent A at B respactivemant. C.Q.F.O.
mn
n m
separant An lilt Bm •
Preuve du thAorillme 3
Soit alors A et A' daux partias de X sousliniannes disjointes. non
par des
at (Cn• Pn'
crtblage de A' • Puisque
<Pn)
un criblage de
U
/fo
(c)
at
c·
A •
CE CO
existe. d'apres Ie lemms 2. cD E. C
0
na puissant Itra
'f1
[c )
1
c
et
1
e:
If;
V'o
(c ) •
0
at
C
1
[cP
U
lf 1 [c)
cEC
1
po[c)-c o
c.j E. C.j
un
(c') • 11
If'0
'f o (c) at If
[c')
0
at
ne pouvant Itra
If n
De plus V'n (cn)
converge vers
(cn)
et
par des
a E. A •
V de
vers
c ' · (c')
C'n
n E lim
_
C V' • es qui mantra que les
I
tels
par des
a' Eo A'
a I a' •
at
A et un wisinage ouvert V' de a'
V {\ V' • '" • Or. pour n assaz grand. on a
• d'oO la contradiction.
et
ne soient pas
Il existe donc un voisinage ouvert
<P.j [c' i.
c' E. C.j
Po [c1) • Co • p'o [c')
1 - c'o '
c· (cn ) E. lim
Cn
_
que pour tout n •
U
•
(c'
tals qua
On construit par
tale que
e: C'0
C't
tels que
•
par des
De mAme puisque
11 axista
U
et A' •
0
If
A•
If n
(C
n
)C V
V at V' separant
rn
at
(c
n)
et
-121-
RBvsnons
un borel1Bn
O'apres CB qui preCedB, 11 Bx1stB, pour tout n,
En::::;l An
u
m<n
E )
m
et na
repond
eucun dBS
Am [m # n l • La su1tB
la qUBst1on. C.Q.F.O.
51 un BspaCB sspare admst unB partition dsnombrablB formee d'BnsBmblBs sous11n1Bns, CBS BnsBmblBs sont borel1Bns.
En part1cul1Br, s1 X BSt
Bt s1 A Bt X "A sont sousl1n1Bns, alors A
BSt borel1Bn.
51
re
2
Bt
ce,
BOot deux topologiBs sousl1n1BnnBs comparablBs sur X , alors
les tribus borel1ennBs
5upposons
-e,
A est
A
9)
93 ['b)
plus fine qUB
donc
[<G)
9)[C')
Bt
d'oLJ
sont idBntiquBs.
93
c !P.:>
ce,) . 50it
A IS
93
-souslinien et puisqu'il an est de mArne pour AC ,
d'apres IB corollMre 1.
Nous allons stablir ma1ntBnant une rsciproquB dB la proposition 4.
Theorems 4
Une
X BSt boreliBnnB.
lusiniBnnB A d'un
OBmonstration
Soit C • [Cn' Pn' Ifn ) un
strict dB A Bt f
Cn sur A • 5i, pour tout n, Bt pour tout
c E Cn ' on POSB
BSt
[c) • f [qn [c))
O'apres
b1jBct1on cont1nuB dB
I
lim Cn
Bt
BSt lusinien, donc sousl1niBn.
Ie theorems 3 appl1que
de boreliBns de X deux
U
'f o [c) , 11 BxistB unB sUitB
c E: Co
dBUX disjoints tels que
[c) C
• Plus
A·
a
i,
-122-
n
generalement. pour tout n. il existe une suite (Bel
e t C de borel1ens deux a
n
n
n
n
deux disjoints tels que <Pn (e)e Be • Quitte a remplacer Be par Be 1"\ If n (el •
on peut supposer
I
SoU alors B A-
\j
eE Cn
If'n
(c l
<Pn (c l
(\
n
n
C Be C
U
eECn
---If
n (e) pour tout n et pour tout
Bn • Naturellement Best bore11en et
e
C B • En fait,on a
existe un unique
tel que
I
A - B , car s1
x E B, pour tout n • 11
n • done
en
x EO B
Supposons que la base de filtre (10
rn Ic n II n
a 'I x • Il existe deux
converge vers
ouverta d1aJoints Va et V contenent respect1vement a et x • Pour n asaez grand,
x
'fn (c n) C Va d'oO
Vxll
If n (c n)
-13, et
¢. CPn
x
(enl, ce qu1 eat contradie-
t01re. Done, a - x EA. C.Q.F.D.
Remarque.- Le reaultat precedent eat faux ai A est aouslinien. Noua verrons cependent que ai X eat completement regulier. une partie aoualin1enne eat un1versellement meaurable pour les mesures de Radon sur X •
Corollaire 1
Dans un eapeee lus1n1en, un sous eapace est lus1nien 51 et seulement si il
est borel1en.
Corolle1re 2
Toute reun10n d'une suite de soua especea lusiniens d'un eapsee sspsre est
un aoua espaee luain1en.
51 (An) est une telle suite, alors on app11que Ie eorollaire de Ie propos1tion 2,
a
la suits (Bn 1 00
du lusinien An •
n • An"
B
U
m<n
B
m
eat lusinien en tent que borel1en
Corolleire 3
Sait
X un sapsce lus1nien. Y un eapeee sspars et
f
une 1nJection
-123-
continue de X 2!!!! Y • L' :Image i' (8) de tout bonHien 8
Exemple : l"espace
£!! X est un borlHlen de Y.
l{. [0. 1] des i'onctions numllriques continues sur [0. 1J est
un bonHien de l'espaee J)t ([0. 1])
des distrIbutions sur [0.
1J •
Proposition 7
i' une application d'un espaee
Ie graphe
a)
X dans un eapaee sapere
G est un borel1en ou un sousl1nIen de
Xx Y •
Y dont
:
X est aouslinien. l':lmege reciproque d'un souslinien de Y est un so uslinien de X
b) si Y est souslinien. l'image d'un souslinien de X est un souslinien de Y.
IJ9monstration
IJ9s1gnons par .1 et 1r
2
les projections de
X x Y sur X et Y.
a) Remarquons tout d'obord que s1 5 est une part1e de Y •
f-
1
ts: •
1r [G /\ (X x 5)] •
1
5i 5 est sous11nien. 1r
G borel1en
-1
2
1
(5)· X x 5
G 1"\
11:
-1
(5)
2
-1
G sousl1n1en :::::=:') G f\.2
1r
11
(5)
[G /\ 1r;1 (5)J
l'est aussi. Or
boral1en de 1r
-1
2
(5):::::=:') G 1'\ 1r
-1
(5)
2
sousl1n1en;
sousl1nien
1
1 atant continue. f- (5) est alors souslinien.
b) Dans ce cas. f (5) • 1r
2
(G f\
(5»
•
11
2
[G/\(5 x V)] est
egalement souslinien si 5 est souslinien de Y. C.Q.F.D.
Remarque.- 51 i' est une application borelienne de X dens Y. alors
G
EO:
3) (X) @
'J)(y)
C
(X x V).
Proposition B
i' une application borel1enne d'un Bspace souslinien X dans un Bspaee
sousl1n1en Y • .§! 5 est un sous espaee sousl1nien de X (resp. de Y)
f
(5)
-124-
lresp. f-
1[S)]
est un sous espeCB souslinien de Y [resp. de Xl.
bijective. pour tout
f est de plus
B de X • f [Bl est un borelien de Y •
DBmonstretion
partie
La
Si
2> [Xl
B E
de la remarque
et de la proposition 7.
alors f (Bl est un sousl1nien de Y
c)
c
f [B • f [Bl
J
mais f etant bijective
est aussi un souslinien de Y • donc en vertu du corollaire 1 du
3. f [B) E.
P.>
[Y1 •
Proposition 9
Etant donnas un espece souslinien
X et une suite
[f)
n
de fonctions nume-
riques boreliennes dafinies sur X • separent les points de X • la tribu engendree
par les
f
n
est identique
la tribu borelienne de X •
ll8monstration
Sait f • [fnl
® P.> [
n
IR
P.>
nl.
produit de X dans
[url
ou IR
IR
n•
• Puisque :
pour tout n • f est
plus injective. f [Xl est souslinien. CB qui atablit
Etant de
la proposition B une
bijection entre les bore liens de X et ceux de f [Xl qui sont exactement les traces
sur f [Xl des
de
• C.Q.F.O.
Remarques
al Le proposition 9 n'est vraie que pour les suites comme on le voit si X est non
danontJrable pour la faml1le des indicetrices des points de X
I
f x • 1{x} .xEX.
bl Si X est polonaise il existe une suite de fonctions numeriques separant les
points de X
X et [x
n)
I
en designant par dune distance competible avec le topologie de
une suite pertout dense. on prend f
n
[x) • d [x. xnl •
-125-
N° 4 - EXEMPLES O'ESPACES LUSINIENS
De paragraphe est consacre
la demonstration d'un theoreme de L. Schwartz
qui mantre que de nombreux espaces de l'analyse sont lusiniens. La proposition
suivante n'est qu'un cas particulier du dit theoreme, mais fait °sentirO la
utilisee.
Proposition 10
E est un espace lusinien dans chacun des cas suivants
I
(1) E est la limite inductive stricte d'une suite (En) de Frechets separables
J
(2) E est Ie dual d'un Frechet separable F , muni de la topologie de la convergence compacte
J
(3) E est Ie dual de la limite inductive stricte d'une suite (Fn) de Frechets
separables, muni de la topologie de la convergence compacte.
DBmanstration
(1) est immediat car E est la reunion d'une suite d'espaces lusiniens, donc
lui-mAme lusinien d'apres Ie corollaire 2 du theorOme 4.
Montrons (2). Si (Un) est une suite fondamentale decroissante de voisin ages
O
o
de 0 dans F , la suite (Un)
des pol aires croit vers E • Or pour tout n , Un est
compact dans E muni de la topologie de la convergence compacte (theoreme d'Asco11). De plus cette topologie sur UO est metrisable car elle co!ncide avec la
n
topolog1e de la convergence simple sur un ensemble partout dense de F qui dans
ce cas est denombrable.
est alors polonais et E •
U
lusinien.
n
Montrons (3). Soit En Ie dual de Frechet separable Fn ' muni de la topologie
de la convergence compacte, et E Ie dual de F •
On a alors : E •
si
u
i
E:
Fn muni de la mAme topologie.
En • En effet, l'egalite est vraie algebriquement. De plus,
E converge vers zero uniformement sur tout compact de F , alors
converge vers zero dans En pour tout n , et reciproquement.
E
n
etant lus1nien d'apres (2), E est lusinien puisqu'1l est fermS dans
c.Q.F.O.
-126-
Remerque.- Le dual faible d'un Fr6chet s6parable est alors lusinien. la topologie
faible 6tant moins fine que la topologie de la convergence compacte.
Thl10 rilme 5
E une limite inductive d'une suite (En) de Fr6chets sl1parables telle
a) En
E •
t
b) tout compact de E est compact dans un En •
F un e.l.c. s6pare. reunion d'une suite croissante (Fn) de Fr6chets s6parables telle gus
I
a') Fn est ferm6 dans F pour tout n •
b') la topologie de F est moins fine gue la topologie limite inductive.
l'espace
Jec
(E. F) des applications lin6aires continues de E
F • muni de la topologie de convergence compacte. est lusinien.
D!imonstration
Elle se fait en quatre etapes.
1)
E • Frechet s6parable
J
f
• Banach s6parable
D!isignons par 0 une partie dl1nombrable part out dense de E et par B la boule
unit6 de F • Sait (Un) une suite fondamentale d6croissante de voisinages de zero
de E • En posant
I
An • {u
on voit que
.:£
E
:£
(E. F)
(E. F) • U An
J
U
(Un) C B}
et 11 suffit donc de montrer que
An
est polonais
n
pour la topologie de convergence compacte.
- An est m6trisable
I
car An est 6quicontinu et sur An la structure uniforms
de la convergence compacte est identique
la structure uniforms de la convergence
simple dans 0 qui est d6nombrable.
- An est complet : tout d'abord E 6tant m9trisable. et F
est complet. Ensuite An est ferm6 dans
si
ui
+
u dans
:£c
(E. F)
car si
(E. F)
u E An • ui E: An
;£ c (E. F) • pour tout x E: Un et pour tout
£
>
et
0 il existe
-127-
i tsl que
V
£
I
u (x) - u (x) E
i
B • On a elora
£
> 0 • u Ix J E B + £ B •
[1+£} B ,
u (x) E B • B •
d'olJ
- An
sst separable
si F sst ds dimension finis. alors An est compact
I
puiaque An (x) - {u (x). u E An} sat borne pour tout x E E • Plus generalement
montrons que
F}
muni de la topologie de la convergence simple dans 0
[D-convergence) est separable.
Tout d' abord. I' aspace E'
fini est dense dans
e:t'o
®F
des applications lineeirss continues de rang
(E. F) • Sait enauits F0 un aoua-ensemble deoombrable
partout dense de F • De plus E' est faiblement separable car il est lusinien
[proposition 10} pour la topologie faible. Soit alors
un ensemble denombrable
faiblement partout dense dans E I . Soit enfin u E ci'[E. F} •
Pour ai • i - 1, ••• n
e' E E' • on e
v
dans 0 • f' e E'
0
v
g E F • f e F et
0
v
v
st
I
n
II u
(a i) -
L
v·1
II u
(ai) -
L
v*1
n
f'v ® gv [aili
e' (8)f
jI
v (a i) II
I • II u
n
+
n
L < f'v
v-1
• ai
> gv l l
L 1<
s' -f' • ai
v
v
L 1<
e' • ai
v
>1
at
on en deduit
v-1
n
+
v-1
En choisissant convenablemant
(a i) -
f v' gv '
f'
v
$
>1 1/ gvll
I/f v - gv 1/
.
I
pour tout i - 1, ••• n •
Le sous-ensemble {f'®g, f'e
• ge:F o}
de
o'f(E. F)
est denombrable
et part out dense pour la D-convergence. ce qui achave Ie denomstration du premier
point.
2)E et F Frachets separables
Soit (Vnl une suite fondamentale de voisinages de 0 de F , convexes. equilibras et fermes. Si F
Vn
est l'espaca de Banach associe
a
Vn ' alors
F
= lim
+--
FV
n
-128-
En d6s1gnant par -n l'app11cat1on canon1que de F dens FV • une application l1nen
aire u
alors
E
I
+ F
est continue si et seulement si
(E, F) .. lim
I
F
1r
Vn ) et de mime
Pour conclure il suffit de remarquer que
u est continue. On en deduit
"
n
(E, F) .. lim,;t (E, F
c
--
c
Vn
i.
est lusinien en vertu du
(E, F
Vn
premier point.
3) E .. Frechet separable J F satisfait aux conditions du theoreme
Montrons tout d' abord Que : :iCE, F)
os
U
n
:£ (E,
Fn )
J
pour
u E :;feE. F)
E .. u- 1 (F ) • E etant un espace de Baire et la su1te des sous-espaces
n
n
soit
o
vector1els fermBs En etant tel Ie que E .. U En' i1 exists n tel que En I
5i
E"
x
E
o
En ' 11 existe un voisinage
U
U
n
de
x
•
0
tal qua
UC
En ' d'oQ
k U .. En • O'apres 1a theoreme du graphe farme, u an tant qu'applica-
k lN
tion l1neaire de E dans Ie frechet F est continua si elle l'est pour. una topolon
gie moins fine sur Fn • Or la topologie induite par celIe de F est mains fine que
celIe induite par la topologie limite inductive, qui elle est moins fine que la
topologie d'espace de Frechet de Fn • On a alors
£c
Ensu1te. puisqua
(E, F)
n
I
u
E
:;feE, Fn).
est lusinian an vertu du deuxiems point, 11 Ie
resta pou rune topologia moins fina. an particulier pour celIe induite par
(E, F) reunion denOllbrable d'aspaces lusiniens est
4)
done
:tc (E.f).
lusin1en.
Cas general
On
a evidemment
I
/t,(E.
f) .. lim .t(E , F) • De plus tout compact de
<fn
E
etant compact dans un En
:tc
(E, F) .. lim.t
_
c (En' F) •
11 suffit alors de remarquar que
:t:c
(En' F) est lusinian d'apres 3). C.Q.F.O.
Remarques
1) Las conditions a) et b) du theorems 5 sont verifiees si E est limite induct1ve
stricte d'une suite de Frechets separables.
2) L.5CHWARTZ a donne un resultat analogue avec des conditions mains strictas sur
F •
-129-
N- 5 - ESPACES RAOONIENS
D6f1nlt1on B
Un espace completement regu11er X est dlt radon1en sl toute mesure bore11enne
sur X est de Radon.
Pour -mesure borellenne- • nous entendrons mesure
pos1t1ve et
D6f1n1t1on 9
Salt X un espace completement regu11er.
Un sous-ensemble de X est d1t un1versellement mesurable dans X, s'11 est
pour toute mesure bore11enne
sur X •
Un sous-ensemble de X est dlt un1versellement Lus1n-mesurable dans X s'11 est
pour toute mesure de Radon
sur X •
Exemple : Tout espace polona1s est radon1en, comme Ie sait depuls longtemps tout
probab111ste (vo1r NEVEU [11J ou HALMOS - Measure theory, par exemple).
Proposlt1on 11
1)
X un espace radonlen et Y un sous-ensemble de X unlversellement
Lusln-mesurable dans X •
Y • munl de la topologle lndulte est radonlen.
2) Salt X un espace completement reguller et Y un sous-espace topologigue de
X radonien. Alors Y est unlversellement mesurable dans X •
D6monstration
1) Sa1t 1 l'injection canonique de Y dans X • 1 est mesurable relativement aux
tribus boreliennes de X et Y • Salt
v • i
une mesure borellenne finie sur Y , et
la mesure borelienne sur X , image de
par i (mesure image au Bans de
la theorie abstralte de la mesurel.
X
radonlen. vest une mesure de Radon sur X • D'autre part,
v-mesurable, soit
Y etant
la mesure (de Radon) induite par v sur Y • Or tout borelien
A de Y est, consldere comme sous-ensemble de X • v-mesurable. Donc
(Al =
(A).
-130-
Alns1
colnc1dent et
est de Radon.
2) Sa1t m une mesure bore11enne sur X • Sa1t Z un bore11en de X tel que
et
YC Z
JII
(m
(Y)
mJl.
m (ll •
(y) •
dthigne ici la borne
des m
boms est atte1nte en vertu de la
(U) ,
borel1en de X , Y cU. Cetts
U
de m).
m 1ndu1t sur Z une mesure bore11enne m' (pour la topolog1s 1ndu1te). Ma1ntenant en
rl
vertu de
m
(Y) •
(Z) •
m'
m' 1ndu1t sur
(Z) ,
Y
une mesure borel1enne
;n
s s1
B est un bore11en de Y , on a
m(B)
r.
• m (Y
B') ,
ou B' est un bore11en de Z •
Or, Y
mest de Radon et
radon1en,
m (Y)
Ma1s, s1
K
JII
m
•
sup {iii'
(Y) •
est un compact de
(K) J K
on a
Y •
par
compact, x c
m(K)
•
m
Y}
•
(K)
•
que Y est m-mesurable. C.Q.F.D.
On en
Proposition 12
!!:!!!
X
f\
nE IN
un espace topolog1gue et (An)nEIN une suite de sous-espaces rado-
V
et
A
n
nelN
• Cheque (An)
sur X • donc
(\
sont alors redon1ens.
A
n
radon1en. est u-mesurable pour toute mesure
An
p
est un1versellement mesurable dans X •
nEIN
On en
alors que
/\
A
n 61N
n
est universellement Lus1n-mesurable
(en prenant la mesure 1mage par l'injection canon1que
radonien.
n
nEIN
• Sa1t B •
A
n
U An
Les
An
A .... X) • Donc, A1
1
est radon1en [propos1tion 11-1) ).
• On peut
A' • A f\ [
n
A1
n
n
B·
L
avec
c
A1 ) •
universellement mesurables dans X • 11 en est de mArne des
•
-131-
Et cheque
'tant un so us espace de An ' on en d'duit. comme plus haut que
est radonien.
Ce1a 'tanto soit m une mesure bore1ienne sur B et aait. pour tout n • mn sa
a
restriction
(ce1a a un sens car
est m-mesurab1e).
etent radonien, mn
est de Radon.
1a mesure sur B image de m par ltinjection canonique de
n
Soit
Chaque mnt
nelN
de Radon.C.Q.F.O.
dans B • Alors
'tant de Radon, on en deduit faci1ement que
m-
m est
Proposition 13
Soit
I
(Xn)nelN
une suite dtespaces radoniens possedant 1a propriete sui-
-Tout compact de Xn est metrisab1e-.
Xn est radonien.
IT
nelN
D lmonstration
X
X est alors completement regulier. Soit wn 1a projecIT
n
nelN
tian canonique de X sur Xn et eait
une mesure bore1ienne sur X • Pasons
Soit
X·
- 1I'n (II) -
II
I
0
ctest une mesure borelienne sur Xn • Donc Xn etent
radonien. lin est de Radon.
Soit donc K
un compact (metrieab1e) de
n
et soit
K·
faisant
(X \
IT
n,,[N
K • K
n
Xn
tel que
lin
(X
n
\
K ) < _t_
n
2n
est ainsi un compact metrisab1e. donc radanien t satis-
K)
En prenant e -
+
(n • 1. 2, • t.) on peut donc construire une suite crois-
sante de compacts (C de X telle que
n)
i) u (X \
I
C ) < _1_
n
n
ii) 1a restriction de II
a
Cn • sait
•
est de Radan.
-132-
Solt dors A un borel1en de X et soit An • A f"I C • On e
n
(An) •
Or
p
(An) t
p
I
(A).
(An) peut Itre
euss1 pres que l'on veut par
un compact de An • Or Bn est euss1 un compact de X et
(Bn)
(Bn) •
p
ou Bn est
(B • O'ou Ie
n)
rhultat •
Remerque.- La cond1tion de Ie propos1t10n 13 est
s1 cheque Xn a une base
ou est mOtr1seble. ou est sous11n1en.
Propos1tion 14
Tout espacs lus1n1en completement regu11er est redonien.
rat10n
So1t donc
(X.
<»
un espacs lus1n1en complirltement regulier et
10g1e sur X plus f1ne que {;
borel1ennes
P>
$.
et
telle que (X.'C,·). X'
'C
pour
et
'C.
(X,
<t) •
les mimes (corolla1re 2 du
C'est une mesure borel1enne sur
radon1en. c'est une mesure de Radon. A fort10ri
une topo-
s01t polonais. Les tr1bus
3). Les mesureS boreliennes sur X et X' sont les mimes. So1t donc
borU1enne sur
'to
p
(X.
p
une mesure
'G') , donc
est de Radon pour
X·
'tent
• C.Q.F.O.
Oonnons maintenant Ie resultat Ie plus d1ffic1le de Ie theorie des especss
radon1ens.
TMoreme 6
Tout espace souslin1en complirltement regu11er est redon1en.
II suff1t de demontrer que pour tout espace souslinien complirltement regu11er
X • on a
u (X) • sup
{p (K) • K compact. Kc X}
pour toute mesure bore11enne
p
(1 )
sur X • En effet, s1 X est sousl1n1en, et s1 Best
un borelien de X • B est un espece souslin1en. S01t P Ie mesure induite sur B
B
-133-
par
[au Bene de la thsorie -abstra1te-). Alors
super1eure des
=
[B)
[B) sera la borne
[K) pour K sous ensemble compact dans B • done de
(K) pour K
compact de X • K contenu dans B •
06montrons done (1)
X stant sous11n1en est l'1mage d'un espace polona1s P par une surject10n cont1nue
f
: P'" X • On peut supposer que
1'1
P est un K " de [0. 1]1N •
a ..,
[0.
compacts de
Sa1t
P C [0. 1JlN • done que P est un G dans [0. 1]1N •
6
m
m
P V K oil les K sont des
m-1 n-1
n
n
1]1N et pour tout m •
est une su1te cro1ssante.
la mesure extsrieure de CARATHEOOORY associee
(P[Xl'"
[A)
- An ex> 'r/n
Soit alors
[B)
0 tel que
A >
j
IN • An t A _
La suite d'ensembles
1
c'est une applicat10n de
ayant les proprietes su1vantes :
- AC B
donc n
a
'v' A •
B EO:
[An)
(jJ [X)
[Al
t
A < u(X).
(f (K
1
n
Pll
n :.
IN
est une suite croissant vers X • II existe
entier tel que
croit vers
De mAme le suite d' ensembles
existe done n
tel que
2
II
[f [K
2
n
() K
1
n
2
1
Posons
C -
Posons
(\
j
En outre
[C lj
j
On • f
II
[K
j
n
n
1
(\ Pl > A •
En procedant par recurrence. il existe une suite (n j ljelN
[f
1f'1P.11
K
d'ent1ers telle que
n
j
i
K
ni
• les C sont non v1des et sont des compacts de [0. 1]lN •
j
est decrois.ante. C·
(C () P)
n
J
(\
jEIN
C C P
j
et
C
111 •
alors (Onln est decroissante et par consequent
• 11m
n+-
II
1Il
[0 )
n
-134-
(car. les On
(Dnl •
Montrons alors que f
En outre. f (Cl
(c) • ( \
n
0
n
(Dnll.
• Triv1alernent. f (Clc
Dr f
n
n
compact est l'intersection des voisinages
(Vl est un·voisinage fenm6 de C dans P
W de C dans [D.
tel que
tel que C C W
n
J
J
il existe donc un voisinage fenm6
nC
Wn P • f- 1 (Vl • Puisque
par
C {\ PeW
n
o
de f (Cl.
V de f (Cl tel que x ¢ V •
Donc s1 x EX' f (Cl • 11 existe un voisinage
-1
nO.
1\
P • f-
1
n n
• C • 11 existe n
0
(Vl • Donc
0
f (C {\ Pl C V • Dr V
n
o
On a donc bien f (Cl •
fenm6 • f (C f\ Pl C V
n
donc
J
0
(\0n
'f-
n
n
•
n
Donc. en
pour tout
soit f (Cl •
A<
la mesure est
(Xl • on a
a A•
un compact de X •
C.Q.F.D.
Corollaire 1
sait Y un espace
et X un sous-espace de Y souslinien.
Alor. X est universellement mesurable dans Y •
Cela
de la proposition 11. 2l.
Corollaire 2
Scient
deux topologies canp18tement
sousl1niennes et
compar8bles sur un ensemble X • Elles ont mArne mesures de Radon.
Diimcnstration
Dels
du fait qu'il y a
entre mesures
et mesures
de Radon sur un espacs souslinien et que deux topologies sousliniennes comparables
ont mArne tribu
(corollaire 2 du
Remargue.- Dans la
des espacss radoniens. la proposition 14. Ie
rame 6 on a mis la condition • completement
n'avons
3l.
uniquement parce que nous
les mesures de Radon que sur ces espacss. Dr on peut
les
-135-
mseures de Radon sur les eapaces topo1oglques que1conques et alors la restrlctlon
r'guller- tombe.
Comms nous ntaurens besoln que des espaces
regullers, nous
renvoyons au 11vre de SCHWARTZ le 1ecteur
de conna!tre la
rale des mssures de Radon.
N- 6 - COMPLEMENT AU THEORE[1E DE PROKHOROFF
Le
dulre
6 de Itexpose nO 5 et le theoreme 5 ci-dessus pourralent con-
a penser
que le
de Prokhoreff est vral pour les aspaces luslnlens,
ctest-a-dire :
si
X
est un espace lusinien, toute partie
tivement compacte
(i)
sup
A
de
1a condition de Prokhoreff
JIlL;
(X)
etreitement rele-
I
P (X) < +
PEA
compact X tel que
(11 )
sup
(X \. K ) <
E:
pEA
Or Fernique a
E: •
qu'il nten est rien. Son contre-example s'appuie sur
un lemma que l'on peut
de la
suivante :
Lemme.- SOU un ensemble X et un espaee vectorial E de fonction numerigues
nies sur X tel que la topologie lnitiale sur X
En munissant X de cette topo1ogie, une suite (P n ) de pre-
completement
bebllitb dans dl'l+a
sl
aux fonctlons de E !2!i
(X)
converge etreitement vers
(x
o
E X)
si et seulement
I
11m P
n
n
Ix e. X
pour tout
Conditlon neee.sa1re
Pour f
E , posons
I
U • {x
I
If (x) - f (xo)l < 1}
f
E •
-136-
Z • {x
If
I
tx l -
f
(x ) I
1} •
o
Ie corollaire de la proposition 1 de l'expose nO 5
lim
inf
\I
n
d'oO
(U)
n
I
11m
n
\I
n
(U) •
et
1
Condition suffisente
If
SoH
£
n
> 0 •
et
fj
II If II••
m-
s
n
no
-
....
-
1
s
Or, par
sup
lEX
E , j • 1 ,
If j (x I - f j Ix 0 ) I
sup
(Zl - 1 •
\J
I
Eo eoc(Xl
11 existe pour
lim
n
£
k
-2- +
n
-
etant continue en x
o '
If (x o) I
I 'fIx)
L
j-1
, j
. If
telles que:
k
I If (x)
sur les \An ' il existe n E
o
On en deduit alors que, si
I «P(xII
rn
tel que
<
£
"2
- «P(x
o
)1
d
\J
n
(x).
I
• 1, • , •• k •
no '
Corollaire (Fernique)
Soit X Ie dual faible d'un e.l.c. separS E • Une suite (\Jnl de probabilites
de Radon sur X converge etroitement vers 6 si et seulement si
11m \J
n
n
{x e X
I
1<
x, If'
>
I
1} - 1
pour tout
I
If e E •
Supposons maintenant que E est un espace de Hilbert separable et X son
dual faible. qui est lusinien (voir expose nO 8).
Nous allons construire une suite etroitement convergente
de probab1l1tes
-137-
(de
a la
Radon) sur X ne sat1sfa1sant pes
cond1t1on de Prokhoroff rappelee c1-
dessus.
So1t (en) une base orthonormee de E et (an) une su1te de nombres reels telle
que
I
o<
an
li....
11
n
..
;
n2 log a • 0 .
n
lim
Posons
, Vn
< 1
I
(1 -
p·o
a nP
a )
n
IS
1).
(n
ne p
• Montrons que eette suite de probab111tss de Radon sur X converge bien
etro1tement vers 6
51
If..
Pu1sque
ne
...
r
p"O
P
0
Y'
P
verif10ns pour eela Ie cond1tion du lemme precedent •
•
e E
P
I If P I
est dans lC s1 et seulement
L
1 - \In (Ll • \In (lc) ..
avec
Ir.p I
A "{PEINI
n
(1 -
PEAn
1
>
}
n
Mais, s1 C est un entler super1eur
d'oU (la suite
1 - lin (ll
p
+
.
a
II <p 11 2
n
n
2
>
x, '" > I '1} •
1
n'
on a
l!Pn
an)
a P stant dScroisBante)
(1 - an)
I<
soit l • {x EX.
E •
,
11 est cla1r que card An
.s
Ii
2
C•
I
c-1
L
p·O
On en deduit a1nsi que
11m inf \In
n
(l)
11m exp (n 2 c log an) .. 1 •
n
• O'autre part, la suite
{II } ne sat1sfa1t pes Ie cond1tion de Prokhoroff
n
car, pour tout compact K de X , 11 existe n
1 tel que 11 (K)
est contenu dans une boule B de centre 0 et de rayon
m
n
>
m•
II
0 •
m et lin (Bm)
En effet, K
II
0
51
-138-
Remerque.- Le contre-exemple de Fernique se
Soit
E. lq
Soit
(en)
(1 < q <
et
00)
X. lq'
comme suit :
son dual fatble
(_1_
q
+
_1_ • 1) •
q'
la base canonique de X • On considt)re une suite de nombres reels (an)
q
telle que: 0 < an < 1 , lim n log an • 0 •
no-
En posant
(1
satisfaire
-
a )
•
n
IJ
n
converge etroitement vers 6 sans
la condition de Prokhoroff.
N° 7 - UN DERNIER RESULTAT SUR LES ESPACES SOUSLINIENS
Dans
suivant. nous aurons besoin du r tsultat suivant
Proposition 15
Soit X un espace separ t sousl1nien et (fi)i!!!:I une famille d'appl1cations
continues de X dans un espace topologique separ t
existe un ensemble
DC I
y
separant les points de X •
tel que la famdlle
(fi)iE 0
.!!
separe les
"points de X •
Ddmonstrat ion
L'espace
da
(f
i
X x X est sQUslinien. Soit A la diagonale de
y x Y • Pour tout
(x, x')
(x) , f
A' •
i
(x'))
t
¢
A
11 existe. par hypothese
Mats cela signifie que la famille d'ouverts
decrit
I
forme un recouvrsment de l'ouvert AC
en extraire un recouvrsment
i E I
celIe
tel que
f
(A' c) • U 00 i
i
i, i)-1
Maintenant. je dis qu'on peut
(f
•
En effet, soit P un espace polonais et
g une surjection de P sur X x X • les
du sous-ensemble
X x X et A'
-1
ouvert de P • g
CUi)
forment un recouvrement ouvert
c
c
(A).
Or g-1 (A),
muni de la topologie
induite par celIe de Pest polonais, donc
extraire un recouvrement denombrable
-1
g
a
base
Donc on peut
-139-
un recouvremsnt de b
C
•
On en
que les
(filiED
les points de
X • C.Q.F.D.
Corollalre
Salt
E un espace vectoriel topologigue loealemsnt convexe
E la tribu
coIncide avec Ie tribu
souslipar les ensem-
bles cyllndrlgues.
DAmanstretlon
Salt
F
Ie duel de E • Les
de
F,
sur E separent evidemment les points de E •
ci-dessus, il existe un sous-ensemble
0
de
F tel que les
comme fonctlons
la proposition
de
D
seperent les points de E • Melntenent Ie proposition (9) nous permet d'affirmer
que Ie tribu
de
rabIes les fonctlons de
E est identique a la plus petite tribu rendant mesu-
O. Comme cette trlbu est malns fine que Ie tribu engen-
par les cyllndrlques. on en deduit que Ie tribu borelienne est mains fine
que celIe
par les ensembles cylindriques. Comma elle est egalement plus
fine, elle lul est done identique. C.Q.F.D.
Le resultat reste vrai, d'epres le corollaire 2 du
topologie souslinienne sur
E
3. pour toute
compareble avec sa topologie initiale (en parti-
culier pour Ie topologie affaiblie).