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Expose nO 8
ESPACES POLONAIS, LUSINIENS, SOUSLINIENS et RAOONIENS
par A, BAORIKIAN
red1ge par B, lVOL
Le contenu de cet expose a ete en large partie emprunte au livre de
L,
SCHWARTZ paraltre au TATA Institute.
N° 1 - ESPACES POLONAIS
OOfinition 1
Un espace topologique X est d1t polonais s'il est metrisable de type de-
nombrable et s'il existe une distance compatible avec la topologle de X pour
laquelle 11 est complete
Les
proprietes suivantes, rappelees sans demonstratlon, se trouvent dans I
Bourbaki, Topologle generale chapitre IX.
a)
tout sousespace ferme d'un espace polonais est polenals;
b) Ie prodult et la somme d'une familIa denombrable d'espaces polonals sent
polonals j
c) tout sousespace ouvert d' un espace polonals est polonals j
d) dans un aspace separe, l'lntersectlon d'une sulte de sousespaces polo-
nals est un sousespace polonals ;
e) un sousespaca d'un aspace polona1s X est polona15 51 at 5eulament sl
c'est un G
6
dans X
f) un espace topolog1que X est polonais si et seulement 51 X est homeo-
morphe un G
6du cube
!l, oil I deslgne l'intervalle [0, 1] de IR.

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N° 2 - ESPACES LUSINIENS - ESPACES SOUSLINIENS
Definition 2
Un espace topologique separS X est dit lusinien s'il existe un espace polo-
nais P et une bijection continue de P sur X • Une partie d'un espace topolo-
giqU8 est dite lusinienne si le sous-espace qu'elle definit est un espace lusinien.
Il revient au mArne de dire que si est la topologie ssparSe de X, il
existe une topologie sur X plus fine que pour laquelle X est polonais.
Tout espace polonais est lusinien et l'image d'un espace lusinien par une
application bijective continue est un espace lusinien.
Donnons quelques proprietes de permanence.
Proposition 1
Tout
sous-espace ouvert ou fermS d'un espace lusinien est lusinien.
En effet, soit P un polonais et f : P X une application continue bijective.
Si A est un ouvert (resp. ferme) de X , f-
1(A)
est un ouvert (resp. ferme) de P,
donc
polonais, et la restriction de f a f-
1(A)
est une bijection continue de
f-
1(A)
sur A •
Proposition 2
Tout
produit (resp. toute somme) denombrable d'espaces lusiniens est un
espace lusinien.
Demonstration
Soit, pour tout entier n, un lusinien
X
n' image
par
fn
d'un polonais
P •
n
L'application produit des f n (resp. l'application qui coIncide avec fndans Pn)
est une bijection de l'espace polonais IT
n
Pn
(resp. L
n
P )
n
sur IT
n
X
n
(resp.
Corollaire
Dans un espace topologique, la reunion d'une suite de parties lusiniennes

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d1sj01ntes est un espace lus1n1en.
En effet, une telle reun10n est homeomorphe a l'espace somma qu1 est lusi-
nien. On supprimera ulterieurement l'hypothese -disjointes-.
Proposi tion 3
L'intersection d'une suite {An' n 1} de parties lusiniennes d'un espace
topologique separe X est un espace lusinien.
Oemonstrat ion
Soit f l'application diagonale de Xdans
<,
c'est-a-d1re telle que
f
(x) •(Yn)n
awc
Y
n.. x
pour tout nE IN • fest
un homeomorphisme de X
sur la diagonale
t:.
de xN et f
((\ A ) ./),
(\
nA
est lusinien puisque
n n
nn
fermS
dans l'espace
lusinien
nA
n
n
Proposition 4
Tout borelien d'un espace lusinien est lusinien.
OBmonstration
II suffit de montrer que 91 .. {Ac XIA et A
C
lusiniens} est une tr1bu con-
tenant la tribu borel1enne. gf est evidemment stable par complementation. Soit
est A
n
est lus1n1en. et enune suite dans 9f •B .. A
n n
alors
\ U
appliquant Ie corollaire de la proposition 2 , on voit que
lusinien. De plus
est aussi lusinien • contient
n n
les ouwrts de X • C.O.F.O.
Definition 3
Un espace topologique separe est dit souslinien s'il existe un espace polo-
nais P et une surject10n continue de P sur X • Une part1e d'un espace topologique
est dite sous11n1enne s1 Ie sous-espace qu'elle def1nit est sous11n1en.
On a ev1demment les inclusions suivantes

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polonais lusinien souslinien
Les propri6t6s de stabilit6 des espaces lusiniens 6tablies pr6c6demment se
g6n6ralisent aux espaces sousliniens (d6monstration analogues). Donc I
- un sous espace ouvert ou fermS d'un espace souslinien est souslinien
- un produit d6nombrable et une somms d6nombrable d'espaces sousliniens Boot
sousliniens
Et l'on en d6duit comma pour les espaces lusiniens I
- tout bor61ien d'un espsce souslinien est souslinien.
En outre. une r6union d6nombrable de sous ensembles sousliniens d'un espace
separ6 X est souslinienne. car c'est l'image de la somma directe topologique par
une application continue.
Afin de caracteriser les espaces sousliniens, nous avons besoin de la defini-
tion suivante I
Definition 4
Un espace topologique est dit eparpille s'il est polonais et si tout point
un fondamental de voisinages a la fois ouverts et fermes.
Un espace eparpille est totalemsnt discontinu.
Exemple I etant muni ds la topologie discrete, l'espace muni de la topo-
logie produit est eparpille.
Plus generalemsnt, tout produit denombrable d'espaces 6parpilles est eparpille,
donc tout produit denombrable d'espaces denombrables discrets. On en deduit alors
que la limite projective d'un systems projsctif denombrable d'espaces discrets est
un sspace eparpille.
Lemme 1.- Etant donne un espace polonais P , il existe un espsce eparpille E et
une surjection continue f de E sur P.

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l»monstretion
P etant polonais. il existe un ensemble denombrable 01 et une suite
(A ) de fermSs non vides de P. de diamstre 1 telle que :
n1n1E01
A • De meme. pour tout
n1
n1E. 01• 11 existe un ensemble denombrable
OZ et une suite
n1
1
2" telles que
(A ) Z
n1nZnZ E. 0n1
AUz
n10
nZE n1
de parties fermees non vides de A de diemAtre
n1
En posant C
1=01
et C
Z•
n1E C
1
C
z
sur C
1
par P1 {(n 1• nz)} •n1•
on
definit une application P1 de
Supposons
definis les ensembles C
1
••••• C
k
et les surjections Pi : C
i+1+C
1•
Pour tout (n1 ••••• nk) EC
k• A
est un espace palonais et il existe
n
1·····n
k
1
de diametre 4t"""k'+'1' telle que :
A
n1• .... nk+1
un ensemble denombrable
de
parties fermees non vides de
tion de C
k+1
sur C
k
definie par :
On a donc constrult par recurrence un systems projectif (C
n•
d'espe-
ces topolog1ques. C
n
etant muni de la topologie
L (C) • C
n
est ainsi un espace eparpille.
De plus si w•(n1• (n1• nZ)' ••• )L(C). la suite de fermSs non vides
(A ) est decroissante. de d1ametre tendent vers 0 • Elle converge vers
n1 ..... nk