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Serdica Math. J. 24 (1998), 307-318
LA CLASSE BOR´ ELIENNE NE D´ ETERMINE PAS LE TYPE
TOPOLOGIQUE DE CP(X)
Robert Cauty
Communicated by S. P. Gul’ko
Abstract. We prove that, for every countable ordinal α≥3, there exists
countable completely regular spaces Xαand Yαsuch that the spaces Cp(Xα)
and Cp(Yα) are borelian of class exactly Mα, but are not homeomorphic.
1. Introduction. Pour un espace r´egulier d´enombrable X, soit Cp(X)
l’espace des fonctions r´eelles continues sur X, avec la topologie de la convergence
simple. Il est prouv´e dans [5] et [8] que, si Xest m´etrisable, alors Cp(X) est
hom´eomorphe au produit Σω, o`u Σ est le sous-ensemble de Rωform´e des suites
born´ees. Ce r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e dans [9] o`u il est prouv´e que, si Cp(X)
est un Fσδ absolu, alors Cp(X) est hom´eomorphe `a Σω, et cela a conduit les
auteurs de [9] `a conjecturer que la classe bor´elienne de Cp(X) d´eterminait son
type topologique. Nous nous proposons ici de r´efuter cette conjecture.
Pour tout espace topologique Y, nous notons F0(Y) la classe des espaces
hom´eomorphes `a des ferm´es de Y. Pour tout ordinal d´enombrable α, nous no-
tons Mα, (resp. Aα) la collection des espaces m´etriques s´eparables qui sont
des bor´eliens absolus de classe multiplicative (resp. additive) α. Il est prouv´e
1991 Mathematics Subject Classification: 54C35, 54H05
Key words: espaces de fonctions Cp(X), classe bor´elienne

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dans [7] que, pour tout ordinal d´enombrable α≥2, il existe un espace r´egulier
d´enombrable Xαtel que Cp(Xα) soit hom´eomorphe `a Ωα, l’ensemble absorbant
au sens de Bestvina-Mogilski [2] pour la classe Mα. En outre, comme il est re-
marqu´e `a la section 6 de [7], Cp(X) est hom´eomorphe `a Ωαsi, et seulement si,
F0(Cp(X)) = Mα. Nous montrerons ici que, pour tout α≥3, il existe un espace
r´egulier d´enombrable Yαtel que Cp(Yα)∈ Mα\ Aα, mais que Cp(Yα) ne soit pas
A2-universel (i.e. F0(Cp(Yα)) ne contient pas A2). Puisque A2est contenue dans
Mα, pour α≥3, les espaces Cp(Xα) et Cp(Yα) ne peuvent ˆetre hom´eomorphes,
bien qu’ayant la mˆeme classe bor´elienne.
Soient Tun ensemble d´enombrable, ∞un point n’appartenant pas `a Tet
Fun filtre sur Tcontenant les compl´ementaires des ensembles finis. D´efinissons
une topologie sur T∪ {∞} en convenant que chaque point de Test isol´e et que
les voisinages de ∞sont les ensembles de la forme {∞} ∪ A, o`u A∈F. L’espace
topologique ainsi obtenu sera not´e NF. Il est connu (voir par exemple [11, lemme
2.1]) que Cp(NF) est hom´eomorphe `a cF, o`u
cF={f∈RT/(∀ε > 0) (∃A∈F) [|f(t)| ≤ ε∀t∈A]}.
Les espaces Yαseront de la forme NF, o`u Fest un filtre du type construit
dans [10]. Pour n≥1, soit Tnl’ensemble des fonctions de {0,1,...,n−1}dans
{0,1}. Soit T=∞ ∪
n=1 Tn. Pour toute fonction x:ω→ {0,1}, notons x|nsa
restriction `a l’ensemble {0,1,...,n−1}, et soit Bx={x|n/n = 1,2,...}. Pour
tout sous-ensemble Ade l’ensemble de Cantor 2ω, soit FAle filtre sur Tayant
pour base la famille des ensembles de la forme {T\(Bx1∪...∪Bxn∪S)/n ≥1,
xi∈Aet Sun sous-ensemble fini de T}. Nous prouverons le r´esultat suivant.
Th´eor`eme. Pour tout sous-ensemble Ade 2ω,cFAn’est pas A2-univer-
sel.
Si A∈ Mα\ Aα,α≥3, alors cFA∈ Mα\ Aα(voir [3], [4] et [9], section
[4]). Nous pouvons donc prendre pour Yαun espace NFAαo`u Aα∈ Mα\ Aα.
Pour tout filtre Fsur T, soit sF={f∈RT/(∃A∈F) [f(x) = 0,∀x∈
A]}. D’apr`es la proposition 7.6 de [7], cFest hom´eomorphe `a un ferm´e du produit
sω
F, donc si cFest A2-universel, sω Fl’est aussi. Mais alors, le couple (RT)ω, sω F
est (M0,A2)-universel, i.e., pour tout compact Ket tout sous-ensemble Cde K
appartenant `a A2, il existe un plongement ϕde Kdans (RT)ωtel que ϕ−1(sω
F)=C
(c’est un cas particulier d’un r´esultat de [1], dont la d´emonstration a ´et´e repro-
duite au lemme 1 de [6]).
Soient Q= [−1,1]ωle cube de Hilbert, s=] −1,1[ωson pseudo-int´erieur,
et W(Q, s) le sous-ensemble de Qωform´e des points n’ayant qu’un nombre fini de

La classe bor´elienne ne d´etermine pas le type topologique de Cp(X) 309
coordonn´ees dans Q\s. Evidemment, W(Q, s) appartient `a A2, donc le th´eor`eme
r´esultera du lemme suivant.
Lemme 1. Si Aest un sous-ensemble de 2ω, alors il n’existe aucune
fonction continue ϕde Qωdans (RT)ωtelle que ϕ−1(sω
FA) = W(Q, s).
2. Quelques lemmes d’homologie. Pour tout entier q≥0, nous
notons Hq(X) le qi`eme groupe d’homologie singuli`ere d’un espace X(r´eduite en
dimension z´ero, de sorte que H0(X) = 0 si, et seulement si, Xest connexe par
arcs), et nous posons H∗(X) = ∞ ⊕
q=0 Hq(X). Si B⊂Asont des ferm´es du cube de
Hilbert Q, nous notons jA
Bl’homomorphisme de H∗(Q\A) dans H∗(Q\B) induit
par l’inclusion. Nous dirons qu’un ferm´e Ade Qest une barri`ere irr´eductible
pour un ´el´ement αde Hq(Q\A) si α6= 0 et si jA
B(α) = 0 pour tout ferm´e propre
Bde A.
Lemme 2. Soient Aun ferm´e de Qet αun ´el´ement non nul de Hq(Q\A).
Alors Acontient un ferm´e Bqui est une barri`ere irr´eductible pour jA
B(α).
D ´e m o n s t r a t i o n. Soit Bl’ensemble des ferm´es Bde Atels que jA
B(α)6=
0. Ordonnons Ben convenant que B≤B′si B⊃B′. Soit {Bi/i ∈I}un sous-
ensemble totalement ordonn´e de B, et soit B′=∩
i∈IBi. Alors Q\B′est r´eunion de
la famille, totalement ordonn´ee par inclusion, des ouverts Q\Bi, donc Hq(Q\B′)
est la limite inductive des groupes Hq(Q\Bi). Puisque jA
Bi(α)6= 0 pour tout i,
nous avons aussi jA
B′(α)6= 0, donc B′appartient `a B. Le lemme en r´esulte. 
Par un sous-cube du cube de Hilbert, nous entendons un ensemble de
la forme
∞
Q
i=0
Ii, o`u Iiest un sous-intervalle ferm´e non d´eg´en´er´e de [−1,1] et o`u
Ii= [−1,1] pour presque tout i.
Lemme 3. Supposons que le ferm´e Ade Qsoit une barri`ere irr´eductible
pour un ´el´ement αde Hq(Q\A). Alors
(i)si Best un ferm´e de Atel que A\Bne soit pas connexe, alors Hq+1(Q\B)6= 0;
en particulier, Aest connexe,
(ii)A∩sest dense dans A,
(iii)si Pest un sous-cube de Qdont l’int´erieur rencontre A, alors Hq(P\A)6= 0.
D ´e m o n s t r a t i o n. (i) Soit A\B=U∪Vo`u Uet Vsont disjoints, non
vides et ouverts dans A. Les ensembles C=U∪Bet D=V∪Bsont ferm´es, et
la suite de Mayer-Vietoris du couple (Q\C, Q\D) contient la portion
Hq+1(Q\B)d →Hq(Q\A)f →Hq(Q\C)⊕Hq(Q\D).

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Puisque Aest une barri`ere irr´eductible pour α, nous avons
f(α) = jA
C(α),−jA D(α)= (0,0), donc αest dans l’image de d. Puisque α6= 0,
(i) en r´esulte;
(ii) supposons au contraire qu’il existe un ouvert Utel que A∩U6=Ø=(A∩s)∩U.
Soit B=A\U. Alors s\A=s\B. Consid´erons le diagramme commutatif
Hq(Q\A)jA
B
−→ Hq(Q\B)
↑i1∗↑i2∗
Hq(s\A) = Hq(s\B)
o`u i1et i2sont des inclusions. Il est connu qu’il existe une homotopie h:Q×
[0,1] →Qtelle que h0=id et h(Q×]0,1]) ⊂s. Cela entraˆıne que, pour tout
ouvert Wde Q, il existe une homotopie h′:W×[0,1] →Wtelle que h′
0=
id et h′(W×]0,1]) ⊂W∩s; il en r´esulte que l’inclusion de W∩sdans W
est une ´equivalence homotopique. En particulier, i1et i2sont des ´equivalences
homotopiques, donc i1∗et i2∗des isomorphismes. Puisque α6= 0, nous avons
donc jA
B(α) = i2∗i−1
1∗(α)6= 0, ce qui est absurde puisque B6=A;
(iii) si Vest l’int´erieur de P, alors Hq(V\A)∼
=Hq(P\A); cela r´esulte du fait que,
Vcontenant le pseudo-int´erieur de P, il existe une homotopie k:P×[0,1] →P
telle que k0=id et k(P×]0,1]) ⊂V. Soit B=A\V. La suite de Mayer-Vietoris
du couple (Q\A, V ) contient la portion
Hq(V\A)f →Hq(Q\A)⊕Hq(V)j →Hq(Q\B).
L’homomorphisme jenvoie (α, 0) sur jA
B(α) = 0, donc (α, 0) est dans
l’image de f. Puisque α6= 0, (iii) en r´esulte. 
Dans le lemme suivant, (Q1, s1) et (Q2, s2) sont deux copies de (Q, s),
et Q=Q1×Q2. Nous notons π1et π2les projections de Qsur Q1et Q2
respectivement et, pour un point xde Q1et un sous-ensemble Ade Q, nous
posons Ax=π2(({x} × Q2)∩A).
Lemme 4. Soit Aun ferm´e de Qtel que Q2\Ax6= Ø pour tout x∈Q1.
Si H∗(Q\A)6= 0, alors il existe x∈Q1\s1tel que H∗(Q2\Ax)6= 0.
D ´e m o n s t r a t i o n. Soit qun entier tel que Hq(Q\A)6= 0. Nous pouvons
trouver un complexe simplicial fini Xde dimension q, un ´el´ement ede Hq(X)
et une fonction continue f= (f1, f2) : X→Q\Atels que f∗(e)6= 0 (voir [12,
page 293] et utiliser le fait que tout CW-complexe fini de dimension qa le type
d’homotopie d’un complexe simplicial fini de dimension q). Soit Yle cˆone de base