Intégrale Impropre - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur et des recherches scientifiques
Université Virtuelle de Tunis
Intitulé du chapitre :
Intégrale Impropre
Nom de l’auteur :
Houcine Chebli
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]a, b[
a b f : [a, b[→R
x[a, b[ [a, x]
F(x) = Zx
a
f(t)dt
f
[a, b[F(x)x b
lim
x→bZx
a
f(t)dt =Zb
a
f(t)dt
f[a, b[
f[a, b[F
bRb
af(t)dt
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Intégrale Impropre
Houcine Chebli

α f [0,1[
f(x) = (1 −x)α
F(x) = Zx
0
f(t)dt
α=−1F(x) = −Log(1 −x)F
f[0,1[
α6=−1
F(x) = −1
α+ 1[(1 −x)α+1 −1]
f[0,1[ α < −1
α > −1f
]a, b]
x]a, b]
[x, b]f
]a, b]F(x) =
Rb
xf(t)dt x a
Zb
a
f(t)dt = lim
x→aZb
x
f(t)dt
f:]0,1] →Rf(x) = 1/√x f
]0,1]
Z1
0
1
√tdt = lim
x→0Z1
x
1
√tdt = 2
]a, b[
[α, β]a < α < β < b
]a, b[a < c < b ]a, c] [c, b[
c
f: [a, b[→R
[a, b[ > 0
x[a, b[
x, y ∈[x, b[=⇒
Zy
x
f(t)dt
≤
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b F (x)
[a, b[Rf
f g [a, b[
f≤g=⇒Zb
a
f(t)dt ≤Zb
a
g(t)dt
f g
[a, b[f g
[a, b[x[a, b[
Zx
a
f(t)g0(t)dt = [f(t)g(t)]x
a−Zx
a
f0(t)g(t)dt
x
b
b
Zb
a
f(t)g0(t)dt = lim
x→bf(x)g(x)−f(a)g(a)−Zb
a
f0(t)g(t)dt
Z1
0
Log(t)dt
0< x ≤1 [x, 1]
Z1
x
Log(t)dt = [tLog(t)]1
x−Z1
x
dt =xLog(x)−(1 −x)
lim
x→0xLog(x) = 0
Z1
0
Log(t)dt =−1
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Houcine Chebli

Z1
0
cos(1/t)
tdt
tsin0(1/t) = −cos(1t)
t
Z1
x
cos(1/t)
tdt =xsin(1/x)−sin 1
xsin(1/x) 0 x
sin 1
f[a, b[
φ[α, β[ [a, b[
f◦φ[α, β[
x∈[α, β[
Zx
α
f(φ(t))φ0(t)dt =Zφ(x)
φ(α)
f(s)ds
x
b
Zb
a
f(φ(t))φ0(t)dt = lim
x→βZφ(x)
φ(α)
f(s)ds
]0,1] f
f(t) = cos(t)
√t
]0,1]
Z1
0
f(t)dt = lim
x→0Z1
√x
2 cos2(s)ds = 2 Z1
0
cos2(s)ds
Z1
−1
2t
1−t2dt
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