TS SPE DEVOIR MAISON no 5 correction

TS SPE DEVOIR MAISON no5correction
SYSTEME RSA
On se propose d’étudier une procédure de cryptage à clé publique.
L’idée est que chaque utilisateur possède deux clés ; l’une publique et l’autre privée. Pour envoyer un message, on le code
avec la clé publique que n’importe qui peut connaitre, mais que seul le récepteur peut déchiffrer avec sa clé privée.
L’avantage est que la clé privée ne circule jamais par les moyens de communication.
L’un de ces procédes est le sytème RSA du nom des trois mathématiciens, Rivest, Shamir et Adleman qui l’ont mis au point
en 1978.
Rappel : (Petit théorème de Fermat) : si pest un nombre premier et aest un nombre non divisible par palors :
ap−1≡1 (mod p).
A. Principe du RSA
•clé publique : on choisit 2 nombres premiers pet qtrès grands et on calcule n=pq
on pose m= (p−1)(q−1)
on choisit un entier epremier avec m
La clé publique est le couple (n,e) (cette clé est connue de tous)
•chiffrement : un entier xest chiffré par un entier ytel que : y≡xe(mod n)
•déchiffrement : on détermine l’entier dtel que de ≡1 (mod m)
la clé privée est l’entier d
un entier yest chiffré par l’entier xtel que : x≡yd(mod n)
Dans la pratique pq est public mais pas pet q(ils sont gardés secrets).
Si l’on ne peut pas factoriser pq alors on ne peut calculer m= (p−1)(q−1) et il est impossible de déchiffrer.
Le sécurité du sytème RSA repose donc sur la difficulté à factoriser l’entier pq.
B. Deux exemples
1. Alex choisit une clé publique (n,e) et sa clé privée det veut envoyer un message à Bob.
Il prend p= 37 q= 13 donc n= 481 (pet qsont volontairement petits).
a. m= (p−1)(q−1) = 36 ×12 = 432
432 n’est pas divisible par 7 qui est premier. 432 et 7 sont premiers entre eux donc e= 7 convient.
b. Les lettres de l’alphabet sont chiffrées par : A correspond à 01, B à 02 et ainsi de suite, Z correspond à 26.
Alex crypte le message "CRYPTOGRAPHIE".
lettre C R Y P T O G R A P H I E
entier 3 18 25 16 20 15 7 18 1 16 8 9 15
entier codé 263 346 324 419 318 479 071 346 001 419 473 386 203
2. Bob reçoit un deuxième message d’Alex. Alex a choisit p= 3, q= 13 donc n= 39. e= 29 convient. Pour décrypter
ce message, il faut déterminer l’entier dtel que 29d≡1 (mod 24)
a. p= 3 q= 13 n=pq = 39 m= 2 ×12 = 24
e= 29 est un nombre premier donc 29 est premier avec 24 .
29 et 24 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe 2 entiers det vtels que : 29d+24v= 1
donc il existe un entier dtel que : 29d≡1 (mod 24)
b. 29u−24v= 1
Le couple (5 ; 6) convient

c. On résout l’équation : 29u−24v= 1 (résolution classique ! ! !)
Les couples solutions sont de la forme (5 + 24k; 6 + 29k) avec kentier relatif.
dest de la forme 5 + 24kdonc une valeur possible de dest 5 (pour k= 0)
d.
entier codé 15 05 12 03 09 03 11 01 11 03 06 14 28
entier décodé 6 5 12 9 3 9 20 1 20 9 15 14 19
lettre F E L I C I T A T I O N S
C. Une justification
On pose n=pq avec pet qdeux nombres premiers.
On pose m= (p−1)(q−1) et eun entier premier avec m.
1. a. eest premier avec mdonc d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers uet vtels que : eu −mv = 1
(u0,v0) est une solution particulière ce cette équation.
On résout l’équation : eu −mv = 1 (résolution classique ! ! !)
Les couples solutions sont de la forme (u0+mk ;v0+ek) avec kentier relatif.
b. dest de la forme : d=u0+mk.
On veut d>0
u0+mk >0
k>
−u0
m
•si
−u0
mest un entier alors on prend k=
−u0
m
•si
−u0
mn’est pas un entier alors on prend pour kle premier entier supérieur à
−u0
m
2. Soit xun entier.
a. •pest premier et si xn’est pas divisible par palors d’après le petit théorème de Fermat :
xp−1≡1 (mod p)
xp−1(q−1)
≡1q−1≡1 (mod p)
xm≡1 (mod p)
(xm)v≡1 (mod p)
xmv ≡1 (mod p)
•comme ed = 1 + mv alors xed =x×xmv ≡x×1≡x(mod p)
b. Si xest divisible par palors x≡0 (mod p) et de même xed ≡0 (mod p)
Donc xed ≡x(mod p)
c. Même raisonnement
d. D’après les 2 questions précédentes : xed ≡x(mod p) et xed ≡x(mod q)
Donc xed −xest divisible par pet par q
Comme pet qsont premiers alors xed −xest divisible par pq =n

soit xed −x≡0 (mod n)
soit xed ≡x(mod n)