Acyclicité de l`ensemble des trajectoires d`une équation

Séminaire Jean Leray.
Sur les équations aux
dérivées partielles
J EAN M ICHEL L ASRY
R AOUL ROBERT
Acyclicité de l’ensemble des trajectoires d’une équation
différentielle multivoque
Séminaire Jean Leray, no 1 (1973-1977), exp. no 4, p. 1-10
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ACYCLICITE DE L’ENSEMBLE DES TRAJECTOIRES
D’UNE EQUATION DIFFERENTIELLE MULTIVOQUE.
par Jean Michel LASRY et Raoul ROBERT.
Nous
l’équation différentielle multivoque :i à (t) E r (x(t)) , x (0) = y.
proposons de montrer que sous les hypothèses usuelles qui assurent l’exis-
E
Soit
nous
tence d’une solution de
pour la
Ô(y) .
l’ensemble
Cech. Ce résultat
de
cohomologie
E ,
va nous
de
ces
solutions est
permettre,
via
une
acyclique
notion de degré
pour certains couples de fonctions, d’établir des résultats
solutions périodiques et des théorèmes d’accessibilité en théorie du
convenable
topologique
d’existence de
controle.
Notations
compactes
(i.e.
Pour la
non
[o, T’
dans
R
vides de
(Rn) borné) .
r
Par solution de
-
suite,
E ,
Rn
nous
R
dans
est
T
désignera
r
un
semi-continue
nombre strictement
x
de
x
presque tout
t
,
*
Ce
et bornée
positif fixé.
entendons toute fonction absolument continue
telle que
convexes
supérieurement (i)
(o) = y et x (t) E r (x(t)) pour
10 , TI.
dans
Enfin
§
multi-application à valeurs
une
v
désigne
H’
le foncteur
cohomologie de Cech à coefficients
dans Z
Q .
ou
1. LE THEOREME D’ ACYCLICITE.
paragraphe est consacré à l’énoncé et à la démonstration abrégée
du théorème
°
suivant.
,
THEOREME 1.1‘
Rn
de
dans
acycliques
C
(o,
ï ;;
non
Avec les notations
C
(o ,
T ;;
vides. De
Rn)
plus
précédentes,
est semi-continue
si
B
la
multi-application
supérieurement
(B)
est borné dans
Rn ) .
y -
ë (y)
à valeurs compactes
est
compact
dans
’
Avant d’entamer la démonstration de
ce
théorème,
donnons
quelques conséquences immé-
diates.
COROLLAIRE 1.2.
Pour tout
y E
Rn ,
l’ensemble des états accessibles à partir de
.
(1)
,
.
c’est 3 dire : pour tout ouvert 0
de
n
R ,
1
,
?
est ouvert.
2
(y) = {x (’f) 1
y , A
1
’u(y) }
E
x
est
compact
un
vide, la multi-appli-
connexe non
est compact.
supérieurement et si B est borné,
est définie sur tout
Dans le théorème 1.1. nous avons fait l’hypothèse que r
l’espace et que r est bornée. Ces hypothèses ne sont restrictives qu’en apparence :
les hypothèses qui assurent l’existence de solutions permettent en général de se
ramener au cas où
r est bornée et partout définie . Pour préciser cette idée,
cation
A
est semi-continue
donnons le corollaire suivant.
multi-application de ~a, T ] X Rn dans Rn, semicontinue supérieurement, à valeurs convexes compactes non vides. On suppose qu’il
existe deux réels strictement positifs a et fi tels que :
Soit
COROLLAIRE 1.3.
r
une
>
impliquent
Pour
tout y E
rentielle
y
soit eu (y)
+ f3
l’ensemble des solutions
’
multivoque :
y ~ ~~ ~y~
à valeurs
supérieurement
REMARQUE 1.4.
Comme
des états accessibles à
réduit à
rème 1.1.
se
ARONSZAJN
[1].
partir
Dans le
REMARQUE 1.5.
peut
on
un
Dans le
cas
dans
C
compactes acycliques
non
le voir
de
d’une
trajectoires
généralement
particulier où
a
est
r
avec
(0 ,
est semi-
T ;
vides.
une
pas
fonction
On étend facilement le théorème 1.1.
au
(y)
continue, le théo-
des méthodes différentes par
[4]’
~7~ .
été établie par KIKUCHI
été démontrée
A
acyclique .
équation différentielle multivoque,
a
y
exemples simples, l’ensemble
des
n’est
y
de l’ensemble des états accessibles
l’ensemble des
sur
résultat obtenu
cas
R
de
=
~o , T]
t E
pour presque tout
Alors la multi-application
(0)
x
absolument continue,y
continue
l’équation diffé-
de
x
par
VALADIER
la connexité
La connexité de
d’équations différentielles multivoques
cas
sur les variétés.
Soit
V
une
variété compacte de dimension
l’espace tangent à
moins
au
x :*.
ne
,
un
[o , T Î
dépend
V
plongement
4
V
pas du
est
v E V
point
au
~ : V -~
Rk
.
et
pour
lipschitzienne si ~
plongement
k
t E [0,
,
classe C2.
le fibré
T V
est
x
tangent à
Ou note
TvV
V. Il existe
grand. On dira qu’une fonction
assez
o x
choisi. La fonction
pour presque tout
et de
n
lipschitzienne. Cette définition
possède
alors une dérivée
3
Pour tout
( t , v~ ,
r
v E V
t E
et tout
10 ,
l’espace tangent
dans
on
V
Tv
au
se
donne
point
un
connexe
compact
non
vide ,
on suppose que :
v .
’
est
un
~o , T~
de
compact
THEOREME 1.6.
différentielle
X T v .
Pour tout
l’ensemble
1,(v)
des solutions de
multivoque ::_
compact acycliquenon vide de C (0 , T ;; V). En outre , v~ -~
est une multi-application semi-continue supérieurement de V dans
est
l’équation
un
1
;~ (v)
C (0 ,
T ;
V).
’
Démonstration :
Par plong
ement
plongement
c kpk
V C
on su
ose
suppose
longement convenable
de
r
,
R~
à
l’
applique
on a
,
·m 1.1.
1 1.
â
à
alors le théorème
un
ro-.
pro-
.
~
Démonstration du Théorème 1.1.
Cette démonstration
-
On construit
converge
-
vers
une
se
décompose
suite
rn
étapes :
en
trois
de
multi-applications d’un type particulier qui
.
(lemme 1.7)
r
On démontre le théorème pour les
multi-applications
r
,
n
’
-
On passe à la limite.
LEMME
1.7.
Soit
X
un
espace
métrique compact,
G
une
multi-application
semin
continue
supérieurement à
Alors il existe
de
X
dans
Rn
une
valeur dans les
suite
G
n
de
convexes
compacts
non
vides de
Rn .
multi-applications semi-continues supérieurement
-
telle que :
la suite
distance de Hausdorff.
Gn (x)
converge
vers
G
(x)
pour la
4 -
(4)
G n (x)
les
convexes
p
désignent
sont de la forme
compacts
non
Rn
vides de
et
cpi
partition continue
une
de l’unité
°
sur X .
Pour la démonstration de
Ultérieurement
REMARQUE 1.8.
Rn .
dans
sur
Rn
On
lemme
ce
peut alors
appliquerons
nous
utiliser des
PROPOSITION
une
[6].
1.7. avec X
le lemme
=
B (o, r)
tout entier .
venant dans le lemme
où les
ou
partitions lipschitziennes de l’unité définies
Montrons maintenant le résultat pour le
outre,
[5J
pourra consulter
on
1.9.
Les notations et les
sont des
C.
inter-
multi-applications
1.7.
supposé que
on
de
type particulier
hypothèses
sont celles du théorème 1.1. En
est de la forme :
r
convexes
compacts
partition de l’unité composée
non
.
Rn ,
vides de
de fonctions
t
et où
lipschitziennes
CP1’...
sur
est
cp
Rn .
’
Même -conclusion que le théorème 1.1.
Démonstration de la proposition 1.9.
Notons
C’est
un
l’ ensemble des fonctions mesurables de
B uC
convexe
Pour tout
u
pour la
compact
(uly
’
....,
up)
topologie a
appartenant à
[o, r]
(11 (0,
dans
C1
x Cp .
X ...
’
Z (o,T;Rnp)).
T ;
la fonction
BC ,
définie par :
est
rapport à
t ...
L’équation
différentielle suivante :
admet donc
une
solution et
lipschitzienne
par
rapport à
a , mesurable par
.
_
une
seule. On note
~
(u , y)
cette solution .
- 5
On voit
c
(0, T ;
C
(0 @ 1_; Rn)
01’
est muni de la
Be
topologie
théorème de selection mesurable de Von Neumann,
Fixons
y E
nous
n ;
l’application de
A
’Ô(Y)
dans
Be
tinue et, surjective.
(y)
montrons que
Comme
est
Bc
est
on
plus, à l’aide du
compact
non
= ~
vide, il
en
y
acyclique. Soit
vide
non
A (u)
définie par
un
et
établit facilement que tout
compact
un
’
dans
a 1 100 )
faible
la convergence uniforme. De
topologie de
de la
B c x]R n
est continue de
peine que l’application y
sans
(u,y) .
A
est con-
résulte que
’
est
un
compact
vide.
non
/B71(x)
~(y)
~
est un convexe et donc acyl’image réciproque
clique. Donc, d’après le théorème de Vietoris-Begle (voir par exemple Spanier [9J
A de H q (Í 1 (y))
théorème 6.9.15) , l’homomorphisme
dans
le u est
Pour tout
x
(Be)
’
un
isomorphisme
~
Donc
Le
(y)
pour tout
q ë
est convexe,
Comme Be
est
Be
acyclique.
’
est
acyclique.
,
reste de la démonstration de
Ô (0 r )
une
la
proposition 1.9. est immédiat .
dernière étape de la démonstration du théorème
Passons maintenant à la
Soit
o.
..
boule fermée de
Rn.
Il suffit de montrer les
1.1.
propriétés
,
énoncées dans le théorème 1.1. pour la restriction de
un
réel positif tel que
0n
en
déduÉt,
d’après
On
applique
r
à X .
le
ç qui
Rn
lemme 1 .7.
(1,2,3,4)
avec
G
n
+ r T
avec
une
B
sur
rn
X .
B (0 , r o ).
à
Soit
r
(o, r) .
pour tout
É (B (o, ro))
t E [0 , T].
est relativement
,
X =~
suite
du lemme
dans la
interviennent
de telle sorte que
Coïncide
r0
On trouve ainsi
les conditions
c:
le théorème d’Ascoli, que
(t) B1
compact e t que
(,n)
r
~
B (o , r 0 + r T)
G~
1.7. En
propriété
et
avec
G
=
restriction
de
multi-applications qui vérifient
outre on peut supposer que les fonctions
de
(4)
définie par :’
sont
Lipschitziennes
et définies
sur
6
On sait de
plus qu’on peut construire les
C.
et donc
à
.7. de
.ee
du
n (a) c B (o,r)
ce
que
pour tout
a
’
’
tout
n .
Il
résulte que les solutions de
et
.
’
en
vérifient
D’après
la
qui est
un
(En)
admet un ensemble de
proposition 1.9. l’équation
compact acyclique non vide et la multi-application
y
B (0 , r o)
dans
y
T ;;
Il
6. n (y)
vérifie
a un
graphe fermé . D’autre part
n É;’ n (y)
résulte que
est
[9] ).
De
[3J,
S.
où
cp
est
s’inspirant de cette méthode
pour certains
.un
on
en
procédé analogue
langage différent
Donnons directement la
Définition 2.1.
Soit
Y
est
(y)
est
(voir
difficultés
sans
un
on
B.Calvert définit de
X
et
Y
des espaces
[51 , [6]
pour
de Leray et
mais dans
un
y E Y .
cp
degré pour les
exposé détaillé.
du
qu’une appliest continue, surjective
topologiques.
monotone si
pour tout
degré
couples.
renvoyons à
topologiquement
acyclique
après).
degré topologique
façon voisine
définition et les principales propriétés
Nous
définition ci
dimension finie. On passe ensuite à la dimension
à celui utilisé pour définir le
F81
dimension infinie.
cation
obtient
indice de coïncidence des
un
monotone
topologiquement
couples
Schauder des fonctions. Dans
et
qui
Eilenberg et D. Montgomery définissent le nombre de Lefschetz d’un
(cpy W)
en
vide
que
Dans
couples
non
.
TOPOLOGIQUE POUR CERTAINS COUPLES DE FONCTIONS
infinie par
trivialement
plus le graphe de la multi-application
DEGRE
En
compact
’
n E N
§2
couple
un
on a
est fermé. Pour achever la démonstration du théorème 1.1. ,,
peine
sans
R)
en
acyclique (voir Spanier
y ~ n
.
(o.,
(y).
(y)C T
n
n+1
est
C
solutions (y)
de
(y)
On dira
-7-
d-quintuple
appellerons
Nous
Définition 2.2.
topologique métrisable
(i)
X
est
un
espace
(ii)
E
est
un
espace de Banach réel.
(iii)
0
est
un
ouvert
(iv)
cp
est
une
(X ,
la donnée de
non
Y)
E , 0.,
ou:
vide.
’
(i,
est propre
(v)
est
j
t ivement
x
vide de
E .
application topologiquement monotone de
l’image réciproque de tout compact est
e.
application continue de
une
X
dans
E
X
Q
sur
qui
de
plus
compacte).
telle
que y
(X)
soit rela-
c ompac t.
Pour tout
(vi)
non
d-quintuple
6X
et tout
et -p(x)
E Q
entier noté
point
a
~ E
tel quet
.
impliquent
ç (x) - j (x) # a on définit un
qui vérifie les principales propriétés suivantes
1
THEOREME 2.3.
(1)
Si
désigne
cp =
le
Id,
on
degré
de
a
d(a,
=
où le deuxième membre
a E
implique
(cp-~) (X)
Invariance par
Soit
(x , E ,
(p Wt)
(vi) po,ar
De
vérifie
a
que
(t , x) --. *t (x)
t E
d-quintuples pour
tout
[o , 1 j et les applications ( t ,
soient continues, la premiere étant propre
famille .de,
~
a
§3
[0 , 1], tels
(x) ,
x) (x)} étant
w
"
relativement compact dans
On
(a , I - Q)
et Schauder.
Leray
(2) d( a, [cr, cp- ,],0) 1 0
( 4)
d
E .
alors :
.
APPLICATIONS
Voici deux
applications typiques qui reposent
précédents.
THEOREME
de
vexes
sur
les résultats des
paragraphes
_
Soit
3.1.
C o , T ~ XRn
compactes
non
T
dans
un
réel strictement positif et
Rn bornée,
vides. Soit 0
un
semi-continue
ouvert borné
r
une
multi-application
supérieurement, a
non
vide de
valeurs
con
sa
- 8
frontière . Soit
E O.
a
On suppose que :
’absolument continue,
pour presque tout
implique
x
(t) f
Alors
l’équation :
admet
une
~o , T] .
t E
pour tout
a
solution.
°
’
DEMONSTRATION :
l’ensemble des solutions
Soit
X
Soit
cp : X -
Õ
le corollaire
Pour tout
2.3)
on a :
D’où
a
et
x
soit
tout
pour
ç
(x) =
est
(o).
x
X
L’espace
topologiquement
est
monotone
un
d’après
t
E[
o ,
l’application
1Irt
T].
l’énoncé,
de
Donc
on
d’après
X
de
~n
dans
implique
a : (p
les
définie par
propriétés
du
degré (théorème
-
.
E ~ T (X),
c’est à dire : il existe
une
solution
x
Q
telle que
(’r) = a .
Donnons maintenant
’
par
1.3.
t E
a
l’équation
et l’application cp
(x~ - x(t~ . D’après l’hypothèse
t (x~ ~
de
l’application définie
C ( o,T ;; R )
compact de
x
un
résultat d’existence de solutions
différentielles multivoques
1.6.
THEOREME 3.2.
Si la
nulle , il existe,
sur une
variété. les notations sont celles du théorème
caractéristique
pour tout
0, 0
périodiques d’équations
d’Euler-Poincaré de V, X
0 f--- T,
une
solution
x
(V) ,
de
est
non
l’équation :t
-9
DEMONSTRATION
Soit X
*
l’ensemble des solutions de
l’équation:
pour presque tout
et donc
t E
sur 1
on
D’après
le théorème 1.6. la
suivant
définit, pour
1
est
un
la fonction
fonction cp 0
Eilenberg-Montgomery [3] on peut
Comme, d’autre part,y il’ est immédiat que
Donc si
compact de
ont
une
est
topologiquement monotone,
et donc,
définir le nombre de Lefschetz du couple
et
cpo
sont
homotopes,
coincidence ; c’est à dire
on a :
il existe
x
E 1
10 -
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des
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(1970).
(1966).