I Domaines de définition. Déterminer les domaines de définition des

MATHEMATIQUES TD N˚7 : CALCUL DIFFERENTIEL.
R&T Saint-Malo - 2ndee année -2009/2010
I Domaines de définition.
Déterminer les domaines de définition des fonctions ci-dessous.
1˚. xy/z 2˚. ln(x2+y2−1) 3˚. p1−x2−y24˚. ln(1 −x2y2)5˚. x
y4−4x6˚. ln(z−y) + xy sin z
7˚. 1
x2+y28˚. x x2+y29˚. p6−2x−3y10˚. x+y x−y11˚. √xyz 12˚. exp(pz−x2−y2)
II Dérivées partielles.
Pour chacune des fonctions ci dessous, calculer les dérivées partielles par rapport à chaque variable et indiquer le
domaine de définition de la fonction.
1˚. xy 2˚. 3x2y2−2xy 3˚. x2+y2+z24˚. x/y 5˚. x+y
x−y6˚. exsin y
7˚. (x2+y2)e−xy 8˚. x
x2+y29˚. sin(xy) x10˚. 1−cos √xy y11˚. xy +yz +zx 12˚. arctan y x
13˚. yex14˚. (x2+y2)3/215˚. ysin(xy)16˚. x2+y2
xy 17˚. xyz 18˚. x4+y4+ 6xy
III Matrice jacobienne.
Déterminer, pour chaque fonction, la matrice jacobienne et, lorsque cela est possible, le déterminant jacobien associé.
1˚. f(x, y) = sin(x2−y2)2˚. f(x, y) = x+y
x−y3˚. f(r, θ) = rcos θ rsin θ4˚. f(x, y) = xy 1/x 
5˚. f(x, y, z) = x2yz
z+xy 6˚. f(u, v, w) = 
vw
uw
uv
7˚. f(u, v) = 
eu+v
eu−v
uv
8˚. f(r, θ, φ) = 
rsin φcos θ
rsin φsin θ
rcos φ
IV Dérivées secondes.
Déterminer les dérivées partielles secondes des fonctions ci-dessous et indiquer celles pour lesquelles le théorème de
Schwarz s’applique.
1˚. xy 2˚. x2+y2+z23˚. ln(x2+y)4˚. xy
x+y
5˚. p2xy +y26˚. arctan x+y
1−xy 7˚. x2−y2 x2+y28˚. px2+y2+z2
V Limites.
Déterminer les limites suivantes :
1˚. lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2)2˚. lim (x,y)→(0,0) xy 3˚. lim (x,y)→(0,0)
1 + x+y
x2−y24˚. lim
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2
5˚. lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2) cos 1
xy 6˚. lim
(x,y)→(1,0)
1
1−x2−y27˚. lim
(x,y)→(0,0)
x3y
x2+y28˚. lim
(x,y)→(0,0)
xy
x+y
9˚. lim
(x,y)→(2,0)
xy −2y
x2+y2−4x+ 4 10˚. lim
(x,y)→(1,1) ln |1 + x2y2|11˚. lim (x,y)→(0,0)
x2+y2+ 3z2
x2+y2+z212˚. lim
(x,y,z)→(3,−2,2) exz cos y
VI Calculs d’opérateurs.
Déterminer le gradient et le laplacien de chacune des fonctions ci dessous au point considéré :
1˚. f(x, y) = xy2˚. f(x, y) = ln( 1
px2+y2)3˚. f(x, y) = arctan( x+y
1−xy )4˚. f(x, y, z) = 1
px2+y2+z2
Déterminer la divergence et le rotationnel de chacune des fonctions f(x, y, z)ci dessous au point considéré :
5˚. 
2x2y
2xy2
xyz
6˚. 
2x+y+z
x+ 2y+z
x+y+ 2z
7˚. 
x2−yz
y2−zx
z2−xy
8˚. 
sin(xy)
0
cos(zx)
1

VII Propriétés des opérateurs.
On considère des fonctions u:R3−→ R,v:R3−→ Ret φ:R3−→ R3.
Démontrer les propriétés suivantes :
1˚. grad(uv) = u×grad(v) + v×grad(u)2˚. div(uφ) = u×div(φ) + φ×grad(u)3˚. ∆u=grad(div(u)) −rot(rot(u))
4˚. div(grad(u)) = ∆u5˚. rot(grad(u)) = ~ 06˚. div(rot(φ)) = 0
VIII Champs newtoniens.
Un champ vectoriel ~ Vest un champ de gradient si rot ~ V=~ 0. C’est un champ de rotationnel si div ~ V= 0.
Un champ qui possède les deux propriétés précédentes est appelé champ newtonien.
1˚. Une particule de charge électrique qsituée dans l’espace euclidien R3en Ogénère au point M(x, y, z)un champ
vectoriel donné par ~ V=q
4πǫ0
−−→
OM
r3avec r=OM et ǫ0permitivité du vide. Autrement dit, on a :
~
V:R3−→ R3/
x
y
z
7→ ~
V(x, y, z) = q
4πǫ0
x
(x2+y2+z2)3/2
y
(x2+y2+z2)3/2
z
(x2+y2+z2)3/2
Démontrer que ~ Vest un champ de gradient. Soit U(x, y, z) = q
4πǫ0
1
px2+y2+z2.
Montrer que ~ V=−grad U. On dit alors que ~ Vdérive d’un potentiel.
2˚. Une particule de masse msituée dans l’espace euclidien R3en Ogénère au point M(x, y, z)un champ vectoriel
donné par ~ V=−km
r3−−→
OM avec r=OM et kconstante de la gravitation universelle. Ainsi,
~
V:R3−→ R3/
x
y
z
7→ ~
V(x, y, z) = −km
x
(x2+y2+z2)3/2
y
(x2+y2+z2)3/2
z
(x2+y2+z2)3/2
Démontrer que ~ Vest un champ newtonien. Soit U(x, y, z) = m
px2+y2+z2.
Calculer grad Uet ∆U
IX Extrema de fonctions de plusieurs variables.
Déterminer les extremas locaux des fonctions définies par :
1˚. x2+y22˚. x2−y23˚. x2+y2−xy 4˚. x3+y3−3x−12y+ 20
5˚. x2−y2−xy 6˚. x3+y3−x2y27˚. xy 8˚. x4+y2+z2−4x−2y−2z+ 4
9˚. 3y
x2+y2+ 1 10˚. x3−6xy + 8y311˚. x4+y4−4xy + 1 12˚. x2+y2−2x−6y+ 14
13˚. 3xy −x2y−xy214˚. (x2+y)ey/215˚. xye−y16˚. y2−y4−x2
X Exemples d’équations aux dérivées partielles.
1˚. On cherche les fonctions g:R2→R2de classe C1telles que
∂g
∂t (s, t) + s×g(s, t) = 0 ,∀(s, t)∈R2
et vérifiant en outre g(0, s) = s , ∀s∈R. On pose pour cela f(t) = g(t, s)pour sfixé. Déterminer fet en déduire les
solutions de l’équation.
2˚. Trouver toutes les fonctions de classe C2sur R2vérifiant ∂2f
∂x∂y (x, y) = 0 ,∀(x, y)∈R2
3˚. Soit E:x∂f
∂x +y∂f ∂y + 2f= 0. On pose x=rcos θ
y=rsin θet g(r, θ) = f(x, y)
Déterminer les dérivées partielles de gen fonction de celles de fet en déduire les solutions de E.
4˚. Soit E:x∂f
∂x +y∂f ∂y =x2−y2. On pose u=xy
v=y/x et g(u, v) = f(x, y)
2

Déterminer les dérivées partielles de gen fonction de celles de fet en déduire les solutions de E.
5˚. Soit E:∂2f
∂x2=∂2f ∂y2et g(u, v) = f(u+v, u −v) = f(x, y)
Montrer que ∂2g
∂u∂v = 0 ,∀(u, v)∈R2et en déduire les solutions de E.
XI Equation de la chaleur.
On considère une barre de longueur πet d’épaisseur négligeable devant sa longueur (elle sera représentée par le
segment [0, π]). Cette barre est à une température initiale h(x)en xavec h(0) = h(π) = 0 (par commodité pour les
calculs). Nous cherchons à déterminer l’évolution de la température de la barre au cours du temps.
Il s’agit de trouver les fonctions u(x, t)vérifiant :
•∂u
∂t (x, t) = ∂2u ∂x2∀(x, t)∈D= [0, π]×]0,+∞]
•u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t≥0
•u(x, 0) = h(x)∀x∈[0, π]
•h∈C1([0, π]), u ∈C2(D)
1˚. Une solution est stationnaire si u(x, t) = f(x)g(t). Montrer qu’alors f′′(x)
f(x)=g′(t) g(t)=λavec λ≤0
2˚. Montrer que f(x) = αnsin(nx)et que g(t) = βne−n2tavec αn, βn∈Ret n∈N
3˚. En déduire une famille un(x, t)de fonctions solutions du problème.
4˚. On pose, sous réserve de convergence, u(x, t) =
+∞
X
n=0
ωnsin(nx)e−n2t
On considère la fonction ˜ h,2π-périodique, impaire, définie sur [−π, π]et vérifiant :
˜
h(x) = h(x)∀x∈[0, π]et ˜ h(x) = −h(−x)∀x∈[−π, 0]
Calculer u(x, 0) et en déduire la signification des ωn.
5˚. Exprimer la solution si h(x) = 1 ∀x∈]0, π[
XII Equations de Maxwell.
On considère un champ électrique se propageant dans l’espace en fonction du temps. En un point M(x, y, z)et au
temps tle champ est représé par la fonction
E(x, y, z, t) = φ(x)ei(ωt−z)~ j
ωest un réel positif représentant la pulsation. D’après la formule ci-dessus, l’onde se propage suivant l’axe (Oy)et
possède une amplitude φ(x)variant uniquement suivant x. On peut donc considérer cette onde, à tfixé, comme une
fonction de R3dans R3donnée par
E: (x, y, z)−→ 
0
φ(x)ei(ωt−z)
0
Le champ magnétique Bengendré par Eest également une fonction de x, y, z et tet le lien entre Eet Best donné
par les équations de Maxwell. L’une d’elle indique que
rot E=−∂B
∂t
1˚. Calculer rot Eet en utilisant l’équation précédente, démontrer que
B(x, y, z) = 
−1
ωφ(x)ei(ωt−z)
0
i
ωφ′(x)ei(ωt−z)
2˚. Vérifier les deux équations de Maxwell div E= 0 et div B= 0
3˚. La quatrième équation de Maxwell est rot B=1
c2
∂E
∂t
creprésente la vitesse de propagation de l’onde.
En utilisant cette équation démontrer que φvérifie l’équation différentielle φ′′(x) + (ω2
c2−1)φ(x) = 0
4˚. En posant k2=ω2
c2−1, résoudre cette équation et en déduire φ(x)
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XIII Onde électromagnétique.
On considère une onde transverse électrique qui se propage dans le vide. Cette onde crée un champ électrique en
M(x, y, z)qui est défini par la fonction suivante :
E:R3−→ R3/(x, y, z)−→ E(x, y, z) = 
0
φ(z) cos(ωt −kx)
0
1˚. Donner l’expression du champ magnétique B(x, y, z)au point M(x, y, z).
2˚. Vérifier les deux équations de Maxwell divE= 0 et divB= 0
3˚. Démontrer que Eet Bsont solutions de l’équation des ondes donnée par :
∆E=1
c2
∂2E
∂t2et ∆B=1 c2
∂2B
∂t2
4˚. Démontrer que rot(rotE) = grad(div E)−∆E
XIV Equation des ondes.
Le but de ce problème est la résolution de l’équation des ondes à une dimension en utilisant la transformation de
Fourier. L’équation des ondes a pour forme
∂2
∂x2v(x, t) = 1 c2
∂2
∂t2v(x, t)
Dans laquelle v(x, t)représente la forme d’une onde au point xet à l’instant tet creprésente la célérité de l’onde
dans le milieu où elle se propage. Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide, creprésente la vitesse
de la lumière. L’équation des ondes est une équation aux dérivées partielles pilotant beaucoup de phénomènes
ondulatoires : propagation d’une onde électromagnétique, d’une onde sonore, vibrations d’une corde, etc. Le problème
revient à déterminer toutes les fonctions v(x, t)de classe C2vérifiant en outre les conditions initiales suivantes :
•v(0, t) = 0 ∀t > 0
•∂v
∂t (x, 0) = φ(x)∀x∈R
•v(x, 0) = ψ(x)∀x∈R
1˚. Démontrer que la fonction ci-dessous est solution de l’équation :
v(x, t) = 1
2(ψ(x+ct) + ψ(x−ct)) + 1 2cZx+ct
x−ct
φ(s)ds (1)
2˚. Expliquer sa forme et le terme d’onde progressive.
3˚. Fixons tet considérons la fonction x→v(x, t).
Soit ˆv(u, t)sa transformée de Fourier. En supposant que l’on peut permuter la dérivation avec l’intégrale (ce qui est
faux en rêgle général) démontrer que
∂2
∂t2ˆv(u, t) = Z+∞
−∞
∂2
∂t2v(x, t)×e−2πiuxdx
4˚. En utilisant les propriétés de la transformation de Fourier, démontrer que si v(x, t)est solution de l’équation des
ondes, alors
∂2
∂t2ˆv(u, t) + (2πuc)2׈v(u, t) = 0
5˚. A ufixé, cette équation est une équation différentielle à variables séparées. La résoudre et en déduire que
ˆv(u, t) = α(u) cos (2πuct) + β(u) sin (2πuct)
où αet βsont des fonctions de uuniquement.
6˚. En utilisant les conditions initiales, démontrer que
ˆv(u, t) = ˆ ψ(u) cos (2πuct) + ˆ
φ(u)
2πuc sin (2πuct)
7˚. Déterminer la transformée de Fourier des fonctions x→ψ(x+ct)et x→ψ(x−ct)en fonction de ˆ ψ(u)puis
déterminer la transformée de Fourier de la fonction 1
2c1[−ct,ct](x)
4

8˚. Déduire des deux questions précédentes la forme générale de la solution trouvée dans l’équation (1)
XV Equation des lignes.
Nous souhaitons étudier la propagation du courant électrique dans une ligne de transmission bifilaire (câble coaxial,
fil de cuivre, ou autre). Lorsque la longueur de la ligne est très grande devant la longueur d’onde λdu courant qui la
traverse, les lois classiques de l’électrocinétique ne s’appliquent plus et ce sont des phénomènes de propagation
d’ondes que l’on observe (c’est Hertz qui a mis en évidence ce phénomène). On décompose la ligne en une infinité de
segments de longueur dx (négligeable devant λ) ; chaque segment peut être considéré comme une cellule RLC et la
ligne se modélise alors par une succession de cellules RLC identiques, montées en cascade (on parle de circuit à
constantes réparties). Sous ces hypothèses, la ligne est caractérisée par :
•Rrésistance linéique (en Ω.m−1) dûe à la résistance des matériaux.
•Linductance linéique (H.m−1) dûe à la présence d’un courant dans la ligne.
•Ccapacité linéique (F.m−1) dûe à la présence d’un isolant entre les conducteurs.
•Gadmittance linéique (S.m−1) dûe aux défauts de l’isolant.
xx+dx
i(x,t) i(x+dx,t)
Rdx Ldx
v(x,t) v(x+dx,t)
Gdx Cdx
Figure 1 – Modèle d’une ligne de transmission.
On notera i(x, t)et v(x, t)l’intensité et la tension en un point xde la ligne, à l’instant t. On supposera que ces
fonctions sont de classe C2sur R×[0,+∞[
1˚. Pour un courant d’une fréquence de 50 Hz présent dans la ligne, déterminer la longueur d’onde λ. Faire de même
pour des courants de 300 Hz, 4KHz, 300 MHz et enfin 3GHz.
2˚. En utilisant la loi des noeuds et la loi des mailles dans un élément de longueur dx (cf. dessin), établir que v(x, t)
et i(x, t)sont solutions du système d’équations aux dérivées partielles suivant :
∂v
∂x(x, t) = −Ri(x, t)−L∂i ∂t(x, t)
∂i
∂x(x, t) = −Gv(x, t)−C∂v ∂t (x, t)
(⋆)
En déduire que v(x, t)et i(x, t)sont solutions de la même équation aux dérivées partielles donnée ci-dessous et
appelée équation des télégraphistes.
∂2v
∂x2(x, t) = RG ×v(x, t) + (RC +LG)∂v ∂t (x, t) + LC ∂2v ∂t2(x, t)
∂2i
∂x2(x, t) = RG ×i(x, t) + (RC +LG)∂i ∂t(x, t) + LC ∂2i ∂t2(x, t)
3˚. On considère que la ligne est sans perte lorsque le signal n’y est pas atténué. On a alors R= 0 et G= 0. C’est
dans ce cas que nous nous placerons par la suite. Etablir alors l’équation aux dérivées partielles vérifiée par i(x, t)et
v(x, t). Cette équation s’appelle l’équation des lignes.
On pose c=1
√LC , qui a la dimension d’une vitesse ; constater que l’on retrouve alors l’équation des ondes.
4˚. Posons u=t−x/c
s=t+x/c et g(u, s) = v(x, t)
Déterminer l’équation aux dérivées partielles dont gest solution, puis la résoudre. En déduire que la solution de
l’équation des lignes est de la forme
v(x, t) = F(x−ct) + G(x+ct)
Fet Gétant des fonctions arbitraires de classe C2sur R.
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