Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques

Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Algorithme et suite :
Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Suite :
Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Fonctions :
On considère la fonction g définie sur l’ensemble IR des nombres réels par :
g(x)=x −1+e−2x
.
1. Calculer les limites de g en −∞ et en +∞.
2. Soit g′ la fonction dérivée de g .
a. Calculer, pour tout x réel, g′(x).
b. En déduire le tableau de variations de g .
3. Calculer l'intégrale de g(x) entre 0 et 3.

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Probabilités : L'attente au téléphone
On s'intéresse aux appels à un standard téléphonique d'un grand magasin dont la durée d'attente est comprise entre
10 secondes et 1 minute. On note D la variable aléatoire qui, à un tel appel pris au hasard, associe la durée de
l'attente. On admet que D suit la loi uniforme sur l'intervalle [10 ; 60].
1. Calculer les probabilité des événements suivants :
A : « La durée d'attente est inférieur à 20 secondes »
B : « La durée attente est supérieure à 40 secondes »
C : « La durée attente est comprise entre 20 à 40 secondes »
2. Déterminer l’espérance E(D)
3. Sachant que l'on a déjà attendu 20 secondes, quelle est la probabilité d'attendre plus de 20 secondes.
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Complexes :
Pour chacune des propositions choisir la bonne réponse. Vous devrez justifier vos choix devant l'examinateur.
1. Dans le plan complexe,
on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2 + 3i, −3 − i et 2,08 + 1,98i. Le triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle
(c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle
2.
z=2e−iπ
4
.
Le carré de z est égal à :
(a) : -4i (b) : -4 (c) : -2i (d) : 4
3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2.
L’inverse de z est égal à:
(a) :
1
2e
−iπ
4
(b) :
−2e−iπ
4
(c) :
2e
iπ
4
(d) :
1
2e
iπ
4
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Complexes :
Résoudre dans
ℂ
les équations d’inconnue z : a)
4z−3i+4=8−2z+i
b)
2z−3+4i=2iz+1
c)
2z2=4z−10
mettre les résultats sous forme algébrique puis exponentielle.

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Probabilités / Loi exponentielle : Durée de vie de tubes fluorescents
T est une variable aléatoire qui, à tout tube d'un certain type prélevé au hasard dans un stock important, associé sa
durée
de bon fonctionnement (en heure). On suppose que T suit une loi exponentielle de paramètre 0,0015.
1. Donner la fonction de densité de T.
2. Calculer les probabilité des événements suivants :
A : « La durée de bon fonctionnement du tube prélevé est comprise entre 600 heures et 700 heures. »
B : « La durée de bon fonctionnement du tube prélevé est inférieure à 800 heures. »
C : « Le tube prélevé fonctionne encore après 750 heures. »
D : « Le tube prélevé arrête de fonctionner à l'instant 670 h. »
3. Déterminer l’espérance E(T) et donner une interprétation du résultat dans le contexte de l'énoncé.
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Fonctions :
Pour chacune des affirmations dire si elle est vraie ou fausse. Vous devrez justifier vos choix devant
l'examinateur.
On considère la fonction
f
définie sur D par
f(x)=ln
(
(3x+2)
(5x)
)
1) Pour tout x appartenant à D, on a
f(x)=ln(3x+2)–ln (x)−ln(5)
.
2) Pour tout x appartenant à D, on a
f ' (x)=3
5
5x
(3x+2)
.
3) On a
f(x)=0
si, et seulement si
x=1
.
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Complexes :
A] On considère l’équation (E) d’inconnue z :
(2− i)z=2−6i
.
a. Résoudre dans C l’équation (E). On notera
z1
la solution de (E) que l’on écrira sous forme algébrique.
b. Déterminer la forme exponentielle de
z1
.
c. Soit
z2
le nombre complexe défini par :
z2=e−iπ
2×z1
.
Déterminer les formes exponentielle et algébrique de
z2
.
B] Résoudre dans
ℂ
l'équation d’inconnue z :
2z2=4z−10
mettre les résultats sous forme algébrique puis exponentielle.

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Fonctions :
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]
0;+∞
[ par :
g(x)=2x3−1+2ln(x)
1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]
0;+∞
[.
2. Justifier qu’il existe un unique réel
α
tel que g (
α
) = 0. Donner une valeur approchée de
α
, arrondie au
centième.
3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]
0;+∞
[.
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Complexes :
On considère le polynôme P défini sur
ℂ
par
P(z)=z3−(2+i √ 2)z2+2(1+i √ 2)z−2i √ 2
1. Montrer que le nombre complexe
z0=i
√
2
est solution de l’équation P(z) = 0.
2. a. Déterminer les réels a et b tels que
P(z)=( z−i √ 2)(z2+az +b)
.
b. En déduire les solutions dans
ℂ
de l’équation P(z) = 0
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Algorithme et suite :
A] : On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non
nul N.
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N −1
Affecter à U la valeur 3U −2k +3
Fin pour
Sortie
Afficher U
B] On considère la suite
(un)
définie par
u0=0
et, pour tout entier naturel n,
un+1=3un−2n+3
.
1. Calculer
u1
et
u2
.
2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un⩾n
.
b) En déduire la limite de la suite
(un)
.

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Algorithme / Suite :
1. L’algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d’une suite que l’on appellera (
un
).
Entrée : Saisir la valeur de l’entier naturel n
Traitement : Affecter 2 à la variable u
Pour i variant de 1 à n
Affecter 1,5u à u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l’on saisit n = 1, puis n = 2 et enfin n =3 ?
2. On considère la suite (
un
) définie par
u0
=2 et, pour tout entier naturel n,
un+1
=1,5
un
.
a. Quelle est la nature de la suite (
un
)? Préciser ses éléments caractéristiques.
b. Pour tout entier naturel n, donner l’expression du terme un en fonction de n.
3. On considère la suite (
Sn
) définie pour tout entier naturel n par :
Sn=∑
0
n
uk=u0+u1+u2+...+un
.
a. Calculer les valeurs des termes
S0
,
S1
et
S2
.
b. Quelles modifications doit-on faire à l’algorithme précédent pour qu’il affiche la valeur du terme
Sn
pour un
n donné ?
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Intégration :
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x)= 1
x−ln(x)
.
Soit H la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
H(x)=x −(x − 1)ln(x)
.
a. Montrer que H est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
b. Déterminer la primitive de f qui s'annule en 1.
c. Calculer
∫
1
e
f(x)dx
.
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Complexes :
Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; 
⃗
u
;
⃗
v
.
On note A et B les points d'affixes respectives −3 2i et 5−3 i. On considère l'application f qui à tous points M
différents de B et ayant pour affixe z, associe le point M ' d'affixe z ' définie par :
z '=z+3−2i
z −5+3i
1) Déterminer Re z ' et Im z ' en fonction de x= Re z et y=Im z .       
2) Déterminer puis construire les ensembles suivants :
a)
E1
ensemble des points M tels que z ' soit un réel.
b)
E2
ensemble des points M tels que z ' est un imaginaire pur.