Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques

Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Algorithme et suite :
Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Suite :
Épreuve de rattrapage de Bac S - Mathématiques - session 2014
Fonctions :
On considère la fonction g définie sur l’ensemble IR des nombres réels par :
1. Calculer les limites de g en −∞ et en +∞.
2. Soit g′ la fonction dérivée de g .
a. Calculer, pour tout x réel, g′(x).
b. En déduire le tableau de variations de g .
3. Calculer l'intégrale de g(x) entre 0 et 3.
−2x
g ( x)=x −1+e
.
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Probabilités : L'attente au téléphone
On s'intéresse aux appels à un standard téléphonique d'un grand magasin dont la durée d'attente est comprise entre
10 secondes et 1 minute. On note D la variable aléatoire qui, à un tel appel pris au hasard, associe la durée de
l'attente. On admet que D suit la loi uniforme sur l'intervalle [10 ; 60].
1. Calculer les probabilité des événements suivants :
A : « La durée d'attente est inférieur à 20 secondes »
B : « La durée attente est supérieure à 40 secondes »
C : « La durée attente est comprise entre 20 à 40 secondes »
2. Déterminer l’espérance E(D)
3. Sachant que l'on a déjà attendu 20 secondes, quelle est la probabilité d'attendre plus de 20 secondes.
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Complexes :
Pour chacune des propositions choisir la bonne réponse. Vous devrez justifier vos choix devant l'examinateur.
1. Dans le plan complexe,
on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2 + 3i, −3 − i et 2,08 + 1,98i. Le triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle
(c) : rectangle et isocèle
(b) : rectangle et non isocèle
(d) : ni rectangle ni isocèle
−i π
4
2. z=2e
.
Le carré de z est égal à :
(a) : -4i
(b) : -4
(c) : -2i
3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2.
L’inverse de z est égal à:
π
−i
(a) : 1 e 4
2
(b) : −2e
−i π
4
(c) : 2 e
(d) : 4
iπ
4
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Complexes :
Résoudre dans ℂ les équations d’inconnue z : a) 4 z−3 i+4=8−2 z+i
b) 2 z −3+4 i=2 iz+1
c) 2z2=4z−10
mettre les résultats sous forme algébrique puis exponentielle.
π
i
(d) : 1 e 4
2
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Probabilités / Loi exponentielle : Durée de vie de tubes fluorescents
T est une variable aléatoire qui, à tout tube d'un certain type prélevé au hasard dans un stock important, associé sa
durée
de bon fonctionnement (en heure). On suppose que T suit une loi exponentielle de paramètre 0,0015.
1. Donner la fonction de densité de T.
2. Calculer les probabilité des événements suivants :
A : « La durée de bon fonctionnement du tube prélevé est comprise entre 600 heures et 700 heures. »
B : « La durée de bon fonctionnement du tube prélevé est inférieure à 800 heures. »
C : « Le tube prélevé fonctionne encore après 750 heures. »
D : « Le tube prélevé arrête de fonctionner à l'instant 670 h. »
3. Déterminer l’espérance E(T) et donner une interprétation du résultat dans le contexte de l'énoncé.
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Fonctions :
Pour chacune des affirmations dire si elle est vraie ou fausse. Vous devrez justifier vos choix devant
l'examinateur.
(3 x+2)
On considère la fonction f définie sur D par f (x )=ln
(5 x )
f
(x
)=ln
(3
x+2)
– ln ( x )−ln( 5) .
1)
Pour tout x appartenant à D, on a
(
2)
Pour tout x appartenant à D, on a f ' ( x)=
3)
On a f (x )=0 si, et seulement si x=1 .
)
3 5x
.
5 (3 x+2)
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Complexes :
A] On considère l’équation (E) d’inconnue z : (2 − i) z=2 −6 i .
a. Résoudre dans C l’équation (E). On notera z 1 la solution de (E) que l’on écrira sous forme algébrique.
b. Déterminer la forme exponentielle de z 1 .
−i π
2
c. Soit z 2 le nombre complexe défini par : z 2=e × z 1 .
Déterminer les formes exponentielle et algébrique de z 2 .
2z2=4z−10
B] Résoudre dans ℂ l'équation d’inconnue z :
mettre les résultats sous forme algébrique puis exponentielle.
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Fonctions :
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] 0 ;+∞ [ par : g ( x)=2 x 3−1+2 ln( x)
1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ] 0 ;+∞ [.
2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g ( α ) = 0. Donner une valeur approchée de α , arrondie au
centième.
3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ] 0 ;+∞ [.
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Complexes :
On considère le polynôme P défini sur ℂ par P (z )=z 3 −(2+i √ 2) z 2+2(1+i √ 2) z−2 i √ 2
1. Montrer que le nombre complexe z 0 =i √ 2 est solution de l’équation P(z) = 0.
2. a. Déterminer les réels a et b tels que P ( z )=( z−i √ 2)(z 2+az +b) .
b. En déduire les solutions dans ℂ de l’équation P(z) = 0
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Algorithme et suite :
A] : On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non
nul N.
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N −1
Affecter à U la valeur 3U −2k +3
Fin pour
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Sortie
Afficher U
B] On considère la suite (u n ) définie par u 0=0 et, pour tout entier naturel n, u n+ 1=3u n − 2 n+3 .
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n ⩾n .
b) En déduire la limite de la suite (u n ) .
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Algorithme / Suite :
1.
L’algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d’une suite que l’on appellera ( u n ).
Entrée : Saisir la valeur de l’entier naturel n
Traitement : Affecter 2 à la variable u
Pour i variant de 1 à n
Affecter 1,5u à u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l’on saisit n = 1, puis n = 2 et enfin n =3 ?
2. On considère la suite ( u n ) définie par u 0 =2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 =1,5 u n .
a. Quelle est la nature de la suite ( u n )? Préciser ses éléments caractéristiques.
b. Pour tout entier naturel n, donner l’expression du terme un en fonction de n.
n
3. On considère la suite ( S n ) définie pour tout entier naturel n par : S n =∑ u k =u0 +u 1+u 2+...+u n .
0
a. Calculer les valeurs des termes S 0 , S 1 et S 2 .
b. Quelles modifications doit-on faire à l’algorithme précédent pour qu’il affiche la valeur du terme S n pour un
n donné ?
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Intégration :
1
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : f ( x )= − ln(x ) .
x
Soit H la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : H (x )=x −( x − 1) ln ( x) .
a. Montrer que H est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
b. Déterminer la primitive de f qui s'annule en 1.
e
c. Calculer
∫ f (x)d x .
1
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Complexes :
u ; ⃗v .
Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; ⃗
On note A et B les points d'affixes respectives −32i et 5−3 i. On considère l'application f qui à tous points M
z+3− 2 i
différents de B et ayant pour affixe z, associe le point M ' d'affixe z ' définie par : z ' =
z −5+3 i
1) Déterminer Re  z '  et Im z '  en fonction de x= Re  z et y=Im  z.
2) Déterminer puis construire les ensembles suivants :
a) E 1 ensemble des points M tels que z ' soit un réel.
b) E 2 ensemble des points M tels que z ' est un imaginaire pur.
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Loi exponentielle :
La durée de vie, exprimée en heure, d'un composant implanté dans un appareil électroménager jusqu'à survienne
la première panne est modélisée par la loi exponentielle de paramètre λ=0,002 .
1. Quelle est la fonction de densité relative à cette loi.
2. Quelle est la probabilité qu'une communication n'excède pas 20 minutes ?
3. Quelle est la probabilité qu'un tel composant ait une durée de vie supérieure à 1000 heures ?
4. Quelle est la durée de vie moyenne d'un tel composant, exprimée en heures ?
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Loi exponentielle :
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus sans crevaison par un pneu d'un type
donné. On fait l'hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre λ .
1. Quelle est la fonction de densité relative à cette loi.
2. Si l'espérance de X vaut 5 alors combien vaut λ
3
e −1
p(
X
⩽5)=
3. a) Si
alors combien vaut λ ?
e3
b)Calculer alors P (2≤ X ≤10)
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Intégration :
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; 1] par : f ( x)=( 1− x2 )e x .
Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
1. Pour tout réel x de l’intervalle [−1 ; 1], on pose F ( x)=(−1+2x− x 2) e x .
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 1].
2. Calculer l’aire exacte, en unité d’aire, de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (C), les droites
d’équations x = −1 et x = 1.
3. En déduire l’aire exacte, en cm², de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (C), les droites
d’équations x = −1 et x = 1.
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Complexes : Le plan est rapporté au repère orthonormé ( O ; ⃗u ; ⃗v ).On note i le nombre complexe de module
π
1 et d’argument
.
2
a. En prenant comme unité graphique 1 cm,
représenter dans le plan les points A, B et C d’affixes respectives : z A=2+2 i , z B =2− 2i , et z C =4 .
b. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z A , z B et z C .
c. Démontrer que le triangle AOB est rectangle isocèle.
d. Démontrer que le quadrilatère OBCA est un carré.
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Loi exponentielle :
On utilise une machine électronique. Afin de tirer les cubes au hasard. Le temps de fonctionnement sans
dérèglement, en jours, de cette machine est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. On sait que la probabilité que la machine électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913.
En déduire la valeur de λ arrondie au millième. Dans toute la suite on prendra λ= 0,003.
2. Quelle est la probabilité que la machine électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours,
sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
3. Le vendeur de cette machine électronique assure qu’il y avait une chance sur deux pour que la machine ne se
dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
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loi exponentielle :
Un client met en moyenne 5 minutes pour décider quel arbre va-t-il acheter. Soit Y la variable aléatoire qui à
chaque client associe le temps en minute passé à se décider. On sait que Y suit une loi exponentielle de paramètre
λ.
a. Déterminer la valeur de λ .
b. Calculer P (2≤ X ≤10) .
c. Sachant que le client n'avait encore rien décidé au bout de 5 minutes, quelle est la probabilité qu'il se décide
avant 10 minutes.
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Espace :
1) Soient A ( -1 ; 1 ; 3 ) et B ( 1 ; 0 ; 7 ), déterminer une représentation paramétrique de (AB).
2) Soient C ( 3 ; -4 ; 9 ) et u⃗ ( -1 ; 2 ; -1 ), déterminer une représentation paramétrique de la droite de vecteur
u passant par le point C.
directeur ⃗
3) C'est deux droites sont-elles parallèles ?
4) Sont-elles sécantes ? Démontrer-le.
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Espace :
Soient D et D' de représentations paramétriques respectives :
Démontrer que les droites D et D' ne sont pas coplanaires.
{
1
x= +t
3
x=−1−2t '
,
t∈ℝ
, t '∈ℝ .
et y= 5+t '
t
y= 2−
z= 2−4 t '
4
z= 3 t
{
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Suites :
Soient
u 0=
(u n)n≥0
un
pour tout entier naturel n et de terme initial
1+2 u n
1
la suite définie par la relation v n= +1 pour tout entier naturel n .
un
la suite définie par la relation u n+1=
1 et (v )
n n≥0
2
1)
Calculer les trois premiers termes de chacune des deux suites.
2)
Que conjecturez-vous sur la suite
3)
Exprimez
4)
En déduire l’expression
vn
(vn )n≥0
? Prouvez-le.
en fonction de n.
un
en fonction de n.
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Suites :
Soit
(u n )n≥0
une suite arithmétique telle que : u 5=125
et u 16 =48 .
1) Calculer la raison de cette suite et son premier terme u 0 .
2) En déduire l’expression de
(u n)n≥0
3) Calculer le 30iéme terme de la suite
4) Montrer qu’il n’existe pas de valeur
en fonction de n.
(u n)n≥0 .
n∈ℕ
pour laquelle
u n =−649 .
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Loi normale :
Dans cet exercice, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable
aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance μ = 800 et d’écart-type σ = 40.
1. Déterminer P(760 < D < 840).
2. Déterminer P(D < 880).
3. L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n’aura pas plus de 1% de chance d’être
en rupture de stock. A-t-il raison?
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Probabilités :
Une entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine
donnée durant une semaine d’épidémie est égale à p = 0,05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématique μ et l’écart type σ de la variable aléatoire X.
b. On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire X −μ par la loi normale centrée
σ
réduite c’est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l’évènement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x.
x
−1,55
−1,24
−0,93
−0,62
−0,31
0
0.31
0.62
0.93
1.24
1.55
0000.00 0.061
00
0.108
0.177
0.268
0.379
0.500
0.621
0.732
0.823
0.892
0.939
Calculer, au moyen de l’approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10−2 près de la
probabilité de l’évènement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est
supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
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loi normale :
b
P(X < b)
140
0.001
150
0.006
160
0.023
On pourra utiliser le tableau fourni ci contre dans lequel les valeurs
sont arrondies
au millième le plus proche.
170
0.067
180
0.159
190
0.309
On écoute un morceau musical au hasard.
1. Donner une valeur approchée à 10−3 près de P(180 < X < 6220).
2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité que le
morceau écouté dure plus de 4 minutes
200
0.500
210
0.691
220
0.841
230
0.933
240
0.977
250
0.994
260
0.999
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stocké sur
le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit
que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.