Poly de cours - Lycée Pothier

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La forme forte rend parfois de précieux services :
P(0) est vraie
∀n∈N,(∀k∈J0; nK, P (k)) ⇒P(n+ 1) ⇒ ∀n∈N, P (n)est vraie.
Exemple : soit (un)n∈Nla suite définie par
u0= 1
∀n∈N, un+1 =Pn
k=0 uk.
Vérifier qu’on a : ∀n∈N∗, un= 2n−1.
C. Ensembles dénombrables
1. Définitions
❍Un ensemble Eest fini s’il existe une bijection de Esur l’ensemble d’entiers naturels
J1; nKpour un n∈N∗. L’entier nest alors le cardinal de l’ensemble E.
❍Un ensemble Eest dénombrable s’il existe une bijection de Esur l’ensemble N.
Exemples : les ensembles N∗,2N,Zet N2sont dénombrables.
2. Caractérisation et conséquences
Propriétés :
1. (Caractérisation) Un ensemble E(infini) est dénombrable si et seulement si on peut
écrire E={xn;n∈N}.
2. Soit Eun ensemble dénombrable. Alors tout sous-ensemble infini de Eest aussi
dénombrable.
3. L’ensemble Qest dénombrable.
4. Soient E1et E2deux ensembles dénombrables.
Alors le produit cartésien E1×E2est dénombrable.
5. Soit p∈N∗et E1, E2, ..., Epdes ensembles dénombrables.
Alors le produit cartésien E1×E2× · ·· × Epest dénombrable.
IV. STRUCTURES DE GROUPE,D’ANNEAU,DE CORPS
A. Groupe
1. Structure de groupe
On appelle groupe tout ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ∗vérifiant les
propriétés suivantes :
(i) Associativité. ∀(x, y, z)∈G3, x ∗(y∗z) = (x∗y)∗z;
(ii) Elément neutre. ∃e∈G/ ∀x∈G, a ∗e=e∗a=a;
(iii) Symétrique. ∀x∈G, ∃x′∈G/x ∗x′=x′∗x=e.
Le neutre eest alors unique, le symétrique x′d’un élément xaussi.
Si la loi ∗est en plus commutative (∀x, y ∈G, x ∗y=y∗x), alors le groupe est dit
commutatif ou abélien.
Remarque : la commutativité n’est pas forcément vérifiée.
Rappels sur les structures élémentaires
⋄⋄⋄
I. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
1. Définitions et notations
❍Ensemble vide. L’ensemble vide, noté ∅, est par définition l’ensemble qui n’a aucun
élément.
❍Inclusion. Si Aet Bsont deux ensembles, on dit que Aest inclus dans B, ou que A
est un sous-ensemble de B, et on note A⊂B, si tout élément de Aest aussi élément
de B. Cela s’écrit :
A⊂B⇔ ∀x∈A, x ∈B.
Par convention, l’ensemble vide est inclus dans tous les ensembles. De plus, on définit
l’égalité des deux ensembles Aet Bpar la double inclusion A⊂Bet B⊂A.
❍Intersection. Si Aet Bsont deux ensembles, on appelle intersection de Aet B
l’ensemble noté A∩B, formé des éléments qui sont à la fois dans Aet dans B.
Si l’intersection de deux ensembles est vide, on dit que les deux ensembles sont
disjoints.
❍Réunion. Si Aet Bsont deux ensembles, on appelle réunion de Aet Bl’ensemble noté
A∪B, formé des éléments qui appartiennent à l’un (au moins) des deux ensembles
Aet B.
❍Complémentaire. Si Aest un sous-ensemble de E, on appelle complémentaire de A
(dans E) le sous-ensemble de Enoté ∁Aou E\A, formé des éléments de Equi ne
sont pas dans A. On a alors :
A∩∁ A=∅et A∪∁ A=E.
❍Ensemble produit. Si E1,...,Ensont nensembles, on appelle ensemble produit des
Ei, noté E1× ··· × En, l’ensemble des n-uplets (x1,...,xn)avec xi∈Ei. Si, pour
tout i,Ei=E, l’ensemble est noté plus simplement En.
2. Propriétés élémentaires
Si A,Bet Csont trois ensembles, alors
•A∩(B∩C) = (A∩B)∩Cqu’on peut donc noter A∩B∩C;
•A∪(B∪C) = (A∪B)∪Cqu’on peut donc noter A∪B∪C;
•A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C);
•A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Si Eest un ensemble et Aet Bdeux sous-ensembles de E, alors
∁(A∩B) = ∁
A∪∁ B;∁(A∪B) = ∁ A∩∁ B;A⊂B⇔∁ B⊂∁ A.
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II. APPLICATIONS - FAMILLES
A. Applications
1. Rappel
Une application 1fest caractérisée par un triplet (E, F, G)où Eet Fsont deux ensembles
non vides et Gun sous-ensemble de E×Ftel que, pour tout xde E, l’ensemble {y∈
F/(x, y)∈ G} contienne exactement un élément, noté f(x), et appelé image de xpar f.
L’application est notée de la façon suivante :
f:E→F
x7→ f(x)
L’ensemble Eest l’ensemble de départ de f,Fl’ensemble d’arrivée et Gson graphe.
On notera F(E, F )l’ensemble des applications de Edans F.
2. Image - Image réciproque
Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de Edans F.
Si Aest un sous-ensemble de E, on appelle image de Apar fle sous-ensemble de Fdéfini
par
f(A) = {f(a); a∈A}.
Si Best un sous-ensemble de F, on appelle image réciproque de Bpar fle sous-ensemble
de Edéfini par
f−1(B) = {x∈E/f(x)∈B}.
3. Injectivité - Surjectivité
Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de Edans F.
❍L’application fest dite injective si deux éléments distincts de Es’envoient par fsur
deux éléments distincts de F. Cela s’écrit (avec la contraposée)
∀(a, b)∈E2, f(a) = f(b)⇒a=b.
❍L’application fest dite surjective si tout yde Fadmet au moins un antécédent dans
Epar l’application f, c’est-à-dire si
f(E) = F.
❍Si fest à la fois injective et surjective, on dit que fest bijective de Edans F, ce qui
revient à dire que tout yde Fest l’image d’un unique élément xde Epar f. Dans
ce cas, on peut définir une nouvelle application, notée f−1et appelée application
réciproque de f, qui à tout yde Ffait correspondre cet unique xde E.
Remarques :
1. Si fest bijective de Esur Fet si Best un sous-ensemble de F, alors l’image
réciproque de Bpar fest également l’image directe de Bpar f−1; cela évite toute
confusion, puisque ces deux ensembles sont notés de la même manière f−1(B).
2. Pour montrer que fest bijective, une manière classique de procéder est de montrer
que pour tout yde F, l’équation y=f(x)admet une unique solution xdans E
(l’existence correspondant à la surjectivité et l’unicité à l’injectivité).
1. On utilisera très souvent le mot fonction pour désigner une application, mais c’est un abus de
langage...
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4. Restriction - Prolongement
Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de Edans F.
❍Si Aest un sous-ensemble non vide de E, on appelle restriction de fàAl’application
f|A:A→F
x7→ f(x)
❍Si E′est un ensemble contenant E, on appelle prolongement de fàE′, toute applica-
tion de E′dans Fdont la restriction à Eest f.
B. Familles
Soient Iet Edeux ensembles non vides. On appelle famille d’éléments de Eindexée par I,
toute application i7→ xide Idans E. La famille est très souvent identifiée à son image et
est alors notée (xi)i∈I. Si J⊂I, la famille (xi)i∈Jest dite sous-famille ou famille extraite
de (xi)i∈I.
Si Iest un sous-ensemble de N, la famille est appelée une suite.
Contrairement à une partie d’un ensemble (notée entre accolades),
– l’ordre des éléments d’une famille a de l’importance : (1,5,7) et (5,1,7) sont deux
familles distinctes ;
– on peut avoir répétition d’un terme : (1,2,1) est une famille de trois nombres.
III. QUELQUES NOTIONS DE BASES
A. Relations binaires
Une relation d’équivalence Rsur un ensemble Eest une relation :
(i) réflexive : pour tout xde E,xRx;
(ii) symétrique : si x, y ∈Esont tels que xRy, alors yRx;
(iii) transitive : si x, y, z ∈Esont tels que xRyet yRz, alors xRz.
L’exemple le plus simple est celui de la relation d’égalité.
B. Ensemble N
1. Caractérisation
On dispose d’un ensemble ordonné (N,6)vérifiant les propriétés :
(1) Nn’a pas de plus grand élément.
(2) Toute partie non vide de Nadmet un minimum.
(3) Toute partie non vide de Net majorée admet un maximum.
2. Principe de récurrence
On considère une propriété P(n)correspondant à un entier naturel n. La forme simple
est la plus courante :
P(0) est vraie
∀n∈N, P (n)⇒P(n+ 1) ⇒ ∀n∈N, P (n)est vraie.

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VII. EXERCICES
1. Soit a∈Rtel que a+ 1/a ∈Z. Montrer que an+ 1/an∈Zpour tout n∈N.
2. Soient n∈Net α= exp 2iπ
5. Déterminer la partie imaginaire de (α+ 1)n.
3. Déterminer les nombres complexes ztels que les points d’affixes z,z3,z5soient
alignés.
4. Est-il possible de construire un triangle équilatéral dans le plan, dont les sommets
ont des coordonnées entières ?
5. On fixe x, y ∈R. Calculer Pn
k=0 cos(kx +y).
6. Montrer que l’on a l’équivalence suivante :
{|z|= 1 et z6=−1} ⇐⇒ ∃x∈R/ z =1 + ix
1−ix.
7. Résoudre dans Cl’équation iz2−3iz −3 + i= 0.
8. On considère les points Aet Bdu plan complexe, d’affixes respectives 1et i,Rla
rotation de centre Aet d’angle π/2, et Sla symétrie centrale de centre B.
Déterminer la nature de la transformation plane S ◦ R.
9. Montrer que la réunion d’un nombre fini d’ensembles dénombrables est encore un
ensemble dénombrable.
PSI 2016-2017 5
2. Exemples classiques
Les groupes suivants sont à connaître :
⋆Z,Q,Ret C, munis de la loi +, sont des groupes commutatifs.
⋆Q\{0},R\{0},R+\{0}et C\{0}, munis de la loi ×, sont des groupes commutatifs.
⋆L’ensemble Udes nombres complexes de module 1, muni de la loi ×, est un groupe
commutatif.
⋆L’ensemble Undes racines n-èmes de l’unité, muni de la loi ×, est un groupe commutatif.
⋆L’ensemble des permutations de {1,2,...,n}, muni de la loi ◦, est un groupe non
commutatif si n>3. On l’appelle le groupe symétrique d’ordre n.
3. Sous-groupe
Définition : soit (G, ∗)un groupe et H⊂G. On dit que Hest un sous-groupe de Gsi
Hest un groupe pour la restriction de la loi ∗àH.
Exemples : pour la loi +,Zest un sous-groupe de Q, lui-même sous-groupe de R,
lui-même sous-groupe de C.
Propriété : soit (G, ∗)un groupe de neutre eet Hun sous-ensemble de G. Alors :
Hsous-groupe de G⇔e∈H
∀(x, y)∈H2, x ∗y′∈H.
B. Anneau
1. Définition
On appelle anneau tout ensemble Amuni de deux lois de composition interne, notées ici
+et ×, vérifiant les propriétés suivantes :
1. (A, +) est un groupe commutatif ;
2. Associativité de ×.∀(x, y, z)∈A3, x ×(y×z) = (x×y)×z;
3. Distributivité de ×par rapport à +.∀(x, y, z)∈A3, x×(y+z) = (x×y)+(x×z)
et (x+y)×z= (x×z) + (y×z);
4. Neutre pour ×.∃α∈A/ ∀x∈A, x ×α=α×x=x.
Remarques :
•l’élément neutre pour +se note 0ou 0A; celui pour ×se note 1A;
•si la loi ×est commutative, l’anneau Aest dit commutatif.
Exemples : les ensembles Z,Q,Ret Csont des anneaux commutatifs pour les lois +et
×usuelles.
2. Intégrité
Soit Aun anneau. On montre facilement que, pour tout xde A,0×x=x×0 = 0. On
dit que Aest intègre si 0est le seul élément vérifiant cela, autrement dit, si
x×y= 0 ⇔x= 0 ou y= 0.
Exemples : tous les anneaux cités précédemment sont intègres.
Exercice : pour tout n>2, montrer que Mn(C)est un anneau qui n’est pas intègre.

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C. Corps
1. Définition
On appelle corps tout anneau Kdans lequel tout élément non nul est inversible. Si cet
anneau est commutatif, on dit que le corps est commutatif. Par exemple, Q,Ret Csont
des corps commutatifs.
Remarque : un corps est toujours un anneau intègre.
Exercice : pour n∈N∗,Mn(C)est-il un corps ?
V. LE CORPS RDES NOMBRES RÉELS
A. Intervalles de R
Définition : une partie Ide Rest un intervalle si ∀(x, y)∈I2,[x;y]⊂I.
Cela se traduit en disant qu’un intervalle est un ensemble de R« en un morceau ».
B. Densité de Q
Définition : la partie Ade Rest dense si et seulement si Arencontre tout intervalle
ouvert non vide.
Théorème : D(ensemble des nombres décimaux), Qet
R\Qsont des parties denses de R.
Cela se traduit en disant qu’entre deux réels distincts, on peut toujours trouver un nombre
rationnel et un nombre irrationnel.
Exemple : approximation d’un nombre réel par une suite de nombres décimaux.
C. Bornes supérieure et inférieure
Théorème : toute partie Anon vide et bornée de R, admet une borne supérieure
et une borne inférieure dans R.
Remarques :
– pour une partie majorée, on a existence d’une borne supérieure ;
– pour une partie minorée, on a existence d’une borne inférieure.
Applications :
– une suite réelle (un)n, croissante et majorée, converge vers sa borne supérieure.
– une suite réelle (un)n, décroissante et minorée, converge vers sa borne inférieure.
D. Double inégalité triangulaire
Propriété : ∀x, y ∈R,|x| − |y|6|x+y|6|x|+|y|.
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VI. LE CORPS CDES NOMBRES COMPLEXES
A. Rappels
Définition : l’ensemble Cest un corps contenant 2Ret contenant un élément iqui vérifie
i2=−1, et tel que tout z∈Cs’écrit de manière unique z=x+iy avec (x, y)∈R2. On
note x= Re (z)et y= Im (z).
Du point de vue de l’algèbre linéaire, Cest un R-espace vectoriel de dimension 2, de base
{1; i}.
Exercice : si ω∈C\R,(1, ω)est aussi une base de Ccomme R-espace vectoriel.
B. Conjugaison et module
Définition : si z=x+iy,z=x−iy et |z|=px2+y2. En particulier, pour tout z∈C,
on a |z|2=z·z.
Propriétés : z∈R⇐⇒ z=zet zimaginaire pur ⇐⇒ z=−z.
C. Décomposition polaire
Tout nombre complexe s’écrit sous la forme z=reiθ avec r∈R+et θ∈R. On a alors
r=|z|et unicité de θmod (2π)si z6= 0.
Application : racines n-èmes de l’unité (n∈N∗).
Un={z∈C/ zn= 1}={e2ikπ/n,06k6n−1}={ωk
n,06k6n−1}
où on a posé ωn=e2iπ/n.
Interprétation géométrique : polygône régulier à ncôtés.
Théorème : si a∈C∗et n∈N∗, l’équation zn=aadmet nsolutions distinctes
dans C.
2. contenant Rveut dire en fait qu’il y a aussi prolongement des lois +et ·, et pas seulement inclusion
d’un ensemble dans un autre...

12 Fabrice Blache - Lycée Pothier
4. Si Eest de dimension finie n, une famille libre a au plus néléments, et une famille
génératrice a au moins néléments.
Enfin, les deux résultats qui suivent sont fondamentaux. On suppose toujours que Eest
de dimension finie n.
Théorème de la base incomplète : si (e1,...,ep)est une famille libre de E, alors
il existe des vecteurs ep+1,...,entels que (e1,...,en)soit une base de E.
Théorème de la base extraite : si (ei)i∈Iest une famille génératrice de E, il existe
des indices i1,...,intels que (ei1,...,ein)soit une base de E.
4. Base adaptée
Définition : si Fest un sev de E, on appelle base adaptée à Ftoute base de Ede la
forme B= (B1,B2), où B1est une base de F.
On verra dans le suite du cours l’utilité des bases adaptées dans l’écriture matricielle
des applications linéaires.
Exemple : soit E=R3et Fle sev d’équation x+y+z= 0. Donner une base de E
adaptée à F.
D. Deux résultats essentiels
1. Composantes suivant une base
Définition : soit Eun K-espace vectoriel, de base B= (e1,...,en). Alors, pour tout
vecteur xde E, il existe une unique famille (x1,...,xn)de scalaires tels que xs’écrive
sous la forme
x=
n
X
i=1
xi·ei.
Ces nscalaires sont appelés les composantes de xdans la base B.
Remarques :
•les composantes de xdépendent de la base Bchoisie.
•Tout vecteur de Ese ramène donc à nnombres, et c’est ce qui nous permettra d’intro-
duire l’écriture matricielle...
2. Dimension des sev
Propriété : soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Alors
– si Fest un sev de E,Fest aussi de dimension finie, et dim F6dim E.
– si Fet Gsont 2sev de E, alors
F=G⇔F⊂G
dim F= dim G.
E. Rang d’une famille de vecteurs
On considère un K-espace vectoriel Eet x1,...,xnnvecteurs de E.
Chapitre 1
Espaces vectoriels
⋄⋄⋄
Cadre : le corps de base sera toujours K=Rou K=C.
I. RAPPELS
A. Espace vectoriel - Algèbre
1. Définition
Le triplet (E, +,·)est un K-espace vectoriel si (E, +) est un groupe abélien (de neutre
0E) et ·une loi externe de Ksur Evérifiant les 4axiomes suivants :
∀(α, β, x, y)∈K2×E2,
(i) (αβ)·x=α·(β·x)
(ii) (α+β)·x=α·x+β·x
(iii)α·(x+y) = α·x+α·y
(iv) 1K·x=x.
Exemples :
⋆Ret Csont des R-ev mais Rn’est pas un C-ev !
⋆pour tout ensemble non vide X,F(X, K)est un K-ev ;
⋆l’ensemble des polynômes sur K, noté K[X], est un K-ev ;
⋆l’ensemble des suites à valeurs dans le corps Kest un K-ev.
2. Calculs dans un K-ev
Propriété fondamentale : ∀(λ, x)∈K×E, λ·x= 0E⇔λ= 0Kou x= 0E.
Notion de combinaison linéaire (c.l.) : si (xi)i∈Iest une famille de vecteurs de E,
(λi)i∈Iune famille de scalaires et J⊂Iun sous-ensemble fini de I, alors le vecteur
x=Pi∈Jλixiest une combinaison linéaire de la famille (xi)i∈I.
Remarque fondamentale : la famille (xi)i∈Ipeut être infinie, mais la somme intervenant
dans une combinaison linéaire est toujours finie.
3. Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels
Si pour i∈J1; pK,(Ei,+,·)est un K-ev, on munit le produit E1×···×Epde la structure
de K-ev définie de façon naturelle à partir des structures de chaque Ei.
Exemples : pour tout entier n>1,Rnest un R-ev et Cnun C-ev.
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