1 L`alg`ebre commutative K[ u], polynôme minimal

Polynômes d’endomorphismes en dimension finie. Applications
Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues.
Dans ce qui suit, le corps commutatif K est supposé infini et u est un endomorphisme de E.
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L’algèbre commutative K [u] , polynôme minimal
Pour tout u ∈ L (E) , la sous algèbre de L (E) engendrée par u est constituée des endomorphismes v = P (u) où P est
dans K [X] . On note naturellement K [u] cette algèbre qui est commutative.
On se donne u ∈ L (E) .
Théorème 1 Soit P ∈ K [X] . Pour toute valeur propre λ ∈ Sp (u) , P (λ) est valeur propre de P (u) .
Dans le cas où K est algébriquement clos, on a :
Sp (P (u)) = {P (λ) | λ ∈ Sp (u)}
©
ª
L’espace vectoriel L (E) étant de dimension n2 , la famille uk | 0 ≤ k ≤ n2 est liée et en conséquence, il existe un
polynôme P ∈ K [X] \ {0} tel que P (u) = 0. Il en résulte que l’ensemble :
Iu = {P ∈ K [X] | P (u) = 0}
n’est pas réduit au polynôme nul. Cet ensemble est le noyau du morphisme d’algèbres P 7→ P (u) , c’est donc un idéal de
l’anneau K [X] . Cet anneau étant principal, on peut donner la définition suivante.
Définition 1 On appelle idéal annulateur de u l’idéal Iu et polynôme minimal de u le générateur unitaire de cet idéal. On
note πu ce polynôme.
On définit de manière analogue l’idéal annulateur et le polynôme minimal d’une matrice A ∈ Mn (K) .
Remarque 1 En dimension infinie, on peut définir l’idéal annulateur Iu et le polynôme minimal πu à condition que Iu ne
soit pas réduit à {0} . Considérer l’endomorphisme de dérivation sur C ∞ (R, R) .
Remarque 2 Les homothéties sont les seuls endomorphismes ayant un polynôme minimal de degré égal à 1.
Exemple 1 Le polynôme minimal d’un endomorphisme nilpotent est X q et réciproquement.
Exemple 2 Le polynôme minimal d’un projecteur est πu (X) = X si u = 0, πu (X) = X − 1 si u = Id, πu (X) = X 2 − X
dans les autres cas.
Exercice 1 Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors le polynôme minimal de la restriction de
u à F divise celui de u.
Théorème 2 Pour tout polynôme annulateur P ∈ Iu , on a :
Sp (u) ⊂ P −1 {0}
et dans le cas particulier du polynôme minimal, on a :
Sp (u) = πu−1 {0}
En utilisant le théorème de division euclidienne dans K [X] , on a le résultat suivant.
¡ ¢
Théorème 3 L’espace vectoriel K [u] est de dimension égale au degré pu de πu , une base étant donnée par uk 0≤k≤pu −1 .
r
M
Exercice 2 Soient E1 , · · · , Er des sous-espaces de E non réduit à {0} , stables par u et tels que E =
Ek . Pour k compris
k=1
entre 1 et r, on désigne par uk ∈ L (Ek ) la restriction de u à Ek et par πk le polynôme minimal de uk . Montrer que
πu = π1 ∨ · · · ∨ πr (ppcm de π1 , · · · , π2 ).
Exercice 3 Soit A ∈ Mn (R) une matrice réelle. Cette matrice est aussi une matrice complexe. En désignant respectivement
par πA,R et πA,C le polynôme minimal de A dans R [X] et C [X] , montrer que πA,R = πA,C .
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Le théorème de Cayley-Hamilton
Théorème 4 (Cayley-Hamilton) Si Pu est le polynôme caractéristique de u, on a alors Pu (u) = 0.
Corollaire 1 Le polynôme minimal πu divise le polynôme caractéristique Pu . Il est donc de degré inférieur ou égal à n.
Remarque 3 Si le corps K est algébriquement clos, le polynôme caractéristique de u s’écrit alors :
p
Y
n
Pu (X) = (−1)
(X − λk )αk ,
k=1
avec αk ∈ N − {0} et les λk deux à deux distincts. Le polynôme minimal πu étant un diviseur de Pu avec les mêmes racines,
il s’écrit :
p
Y
πu (X) =
(X − λk )βk
k=1
avec 1 ≤ βk ≤ αk .
Remarque 4 Dans le cas où l’endomorphisme u est inversible, le théorème de Cayley-Hamilton nous donne un moyen de
calculer l’inverse de u, si on connaı̂t son polynôme caractéristique Pu .
n
P
En effet l’égalité Pu (u) = 0 avec Pu (X) =
ak X k donne :
k=0
u−1 = −
n
n
1 X
1 X
ak uk−1 = −
ak uk−1 .
a0
det (u)
k=1
k=1
On peut aussi remarquer que l’inverse de u est un polynôme en u.
Remarque 5 Le théorème de Cayley-Hamilton permet également de calculer up pour tout entier p supérieur ou égal à n en
n
P
n
n+1
fonction de Id, u, · · · , un−1 . En effet pour p = n, de Pu (u) =
ak uk = 0 avec an = (−1) , on déduit que un = (−1)
n−1
P
k=0
k
p
ak u et pour p > n la division euclidienne de X par Pu , X p = QPu + R avec R = 0 ou R 6= 0 et deg (R) < n, donne
k=0
p
u = R (u) .
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Le théorème de décomposition des noyaux
Théorème 5 Soient P1 , · · · , Pp des polynômes non nuls dans K [X] deux à deux premiers entre eux et P =
p
Y
Pk .
k=1
On a :
ker (P (u)) =
p
M
ker (Pk (u))
k=1
et les projecteurs πk : ker (P (u)) → ker (Pk (u)) , pour k compris entre 1 et p, sont des éléments de K [u] .
On peut remarquer que ce résultat est valable aussi pour E de dimension infinie.
En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, on obtient le critère de diagonalisation suivant.
Théorème 6 L’endomorphisme u est diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynôme annulateur de u qui est scindé
à racines simples.
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La décomposition de Dunford-Schwarz
Théorème 7 (Dunford-Schwarz) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K. Il
existe un unique couple (d, v) d’endomorphismes de E tel que d soit diagonalisable, v soit nilpotent, d et v commutent et
u = d + v. De plus d et v sont des polynômes en u.
Cette décomposition permet le calcul des puissances successives de u. En effet comme d et v commutent, on peut utiliser
la formule du binôme de Newton pour écrire :
r
∀r ≥ 1, ur = (d + v) =
r
X
Crk dk ◦ v r−k .
k=0
Exercice 4 Ecrire la décomposition de Dunford-Schwarz

1 0
 0 1
A=
 0 0
0 0
de :
−1
1
1
1
23

1
0 
 ∈ M4 (C)
0 
0