ELEMENTS DE COMBINATOIRES/ PROBABILITÉS/ LOIS DE

ELEMENTS DE COMBINATOIRES/ PROBABILITÉS/ LOIS DE PROBABILITES
Contenus :
-dénombrer des listes
-combinaisons
-formules sur les combinaisons
-triangle de pascal
-Formule du binôme
-rappels de probabilités
-probabilités conditionnelles
-probabilités totales
-indépendances de deux événements
-expériences indépendantes
-indépendances de deux variables aléatoires
-Statistique et modélisation
-lois de probabilités
-loi binomiale
Liste des savoir-faire :
-vous devez savoir dénombrer des objets ordonnés sans répétitions
-vous devez savoir dénombrer des objets ordonnés avec répétitions
-vous devez savoir calculer avec des factorielles
-vous devez savoir dénombrer des objets non ordonnés
-vous devez connaître les valeurs remarquables des combinaisons
-vous devez savoir appliquer la formule du binôme
-vous devez savoir utiliser le symbole sygma
-vous devez savoir utiliser des représentations d’ensemble
-vous devez connaître des modèles d’équiprobabilité
-vous devez savoir définir une loi d’une variable aléatoire
-vous devez connaître E(X) et les jeux
-vous devez savoir lire et utiliser un arbre
-vous devez savoir utiliser les règles des arbres pondérés
-vous devez savoir calculer la probabilité d’une intersection
-vous devez savoir démontrer l’indépendance de deux événements
-vous devez savoir trouver la loi du couple (X; Y)
- vous devez savoir calculer une probabilité lors du lancer de trois pièces, de n lancers successifs
-vous devez savoir calculer des probabilités lors de tirages avec remise
-vous devez savoir utiliser les propriétés des combinaisons
-vous devez savoir utiliser la loi binomiale
-vous devez savoir calculer une probabilité lors du lancer simultané de pièces
1-VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS :
1°)Vocabulaire :
Lorsque, sur une situation donnée, on réalise une expérience aléatoire (action soumise au hasard),
on obtient un résultat ;on parle aussi d'éventualité ou d'issue. L'ensemble de tous les résultats possibles
est I'univers des probables.
Une partie A de ces résultats, liée à une propriété, un caractère..., est un événement ; on parle
aussi de résultats favorables à un événement.
2°) Éxemples :
Situation :Un paquet de bonbons contient des caramels et des mentholés.
Action : on prend, au hasard, deux bonbons du paquet.
Résultat : on obtient deux bonbons (soit deux caramels, soit deux mentholés, soit un caramel et
un mentholé)
Événement :on obtient deux bonbons de même type (par exemple).
3°) Événements particuliers :
• L'événement Ω formé de tous les résultats possibles est I'événement certain.
• L'événement ∅ ne contenant aucun résultat de I'univers est l'évènement impossible.
• Un événement wi ne contenant qu'un seul résultat wi de I'univers est un événement éIémentaire
: il y a autant d'événements éIémentaires différents que de résultats dans I'univers des possibles.
• Deux événements A et B n'ayant aucun résultat en
commun sont incompatibles.
• Deux événements n'ayant aucun résultat en commun et formant à eux deux la totalité des
résultats possibles sont contraires.
L' événement contraire de A se note Ā, lu " non-A ", ou "A barre".Tous les résultats favorables à
I'événement Ā sont les résultats défavorables à I'événement A.
exemples :
• Les événements A : " obtenir deux caramels "et B :obtenir un caramel et un mentholé sont deux
événements incompatibles, mais ne sont pas contraires.
• L'événement Ā : " obtenir au moins un mentholé " est l'événement contraire de l'événement A.
2- Combinatoire :
Activités 1 et 2 p.236 et 237
1°) Factorielle :
On appelle factorielle n ( n entier ≥ 1), le produit de tous les entiers de 1 à n , on le note
n! = n × (n − 1) × ... × 3 × 2 × 1.
0! = 1 par convention
exemples p. 239
Soit E un ensemble non vide à n éléments.
Définition :
une liste est une énumération qui suit un ordre : il y a un premier élément, un deuxième, etc
...
Une permutation de E est une liste des n éléments de E.
propriété :
Le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments, n > 1, est égal à : n × (n − 1) ×
(n − 2) × ... × 2 × 1.
Soit n!.
Définition et propriété:
Une liste sans répétitions de p éléments de E est une liste de p éléments de E deux à deux
distincts (1 6 p 6 n). Alors le nombre de liste sans répétitions de p éléments de E, est
n × (n − 1) × (n − 2) × ... × (n − (p − 1)).
Proposition :
Le le nombre de liste avec répétitions de p éléments de E, p étant un entier quelconque, p > 1,
est np .
Faire exos p. 239
2°) Combinaison :
E est un ensemble de n éléments et p un entier tel que
0≤ p ≤ n. Une combinaison
de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments.
On la note Cnp ou np
exemple : p. 240
théorème : pour tout entier n > 1 et tout entier p tel que : 0 < p 6 n, on a :
n
n!
n(n − 1)...(n − p + 1)
=
=
.
p
p!(n − p)!
p!
DÈmo p. 240 :
Utiliser les calculatrices p. 240.
Faire exos p. 241
Propriétés des np et triangle de Pascal :
- pour tous entiers naturels n et p, 0≤ p ≤ n
n
n
=
.
n−p
p
- pour tous entiers naturels n et p, 1 ≤ p ≤ n -1
n−1
n−1
n
+
=
.
p−1
p
p
DÈmo p. 242
- triangle de Pascal : p. 242
Formule du binôme
(a + b)n =
DÈmo voir p. 242
n n
n n−1
n n−p p
n
a +
a
b + .... +
a
b + ... +
abn−1 + bn .
0
1
p
n−1
3-PROBABILITÉS :
1°) Définition :
On considère I'univers Ω des résultats probables liés à une expérience aIéatoire.
• La probabilité d'un événement éIémentaire est un nombre de I'intervalle [0; 1] .
• La somme des probabilités de tous les événements éIémentaires de I'univers est 1
• la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements éIémentaires qui le
composent, et la probabilité de I'événement impossible est nulle.
2°) Notation :
Si A un événement, on note p(A) la probabilité de A.
si wi est un résultat, on note p(wi) la probabilité de I'événement élementaire correspondant wi .
p est une fonction qui, à toute partie A de l'univers Ω , associe un nombre réel de l'intervalle [0; 1] :
p : A → p(A).
ainsi p(∅) = 0 ; p(Ω) = 1 et p(A) ∈ [0; 1]
3°) Situation d'équiprobabilité
Lorsgue tous les événements éIémentaires ont la méme probabilité (c'est-à dire lorsque tous les
résultats ont la même chance d'apparaitre). on dit qu'il y a équiprobabilité de ces résultats, ou que les
résultats sont équiprobables.
Dans ce cas, la probabilité d'un événement A de I'univers est:
p(A) =
nombre de résultats favorables à A
nombre de résultats possibles de Ω
•On a une situation d'équiprobabilité (on parle aussi de probabilite uniforme) lorsque l'on a :
un dé équilibré, une pièce parfaite, un jeu de cartes bien battu, des boules indiscernables au
toucher...
• De même, on a équiprobabilité lorsque I'action s'effectue " au hasard ".
• Dans le cas des sondages on a toujours l'équiprobabilité.
4°)-VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS :
Événement " A et B " , " A ou B " :
• événement A ∩ B :
il est constitué de tous les résultats favorables à la fois à l'événement A et à l'événement B.
• événement A ∪ B :
il est constitué de tous les résultats favorables à l'un au moins des événements A ou B.
exemples p .255
Propriétés :
A et B sont deux évémements d'un même univers
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
si les 2 événements sont incompatibles, A et B n'ont pas de résultat en commun ; l' événement A
et B est impossible donc
p(A ∩ B) = 0 d'où
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
5°) Evénements contraires :
la probabilité de l'événement contraire à l'événement A est égale à : p(Ā) = 1 − p(A)
NB : il est parfois plus facile de calculer la p(Ā) que celle de p(A).
6°) Arbres pondérés :
voir 256
règle d'utilisation : la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Loi des nœuds :De plus la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un
même nœud est toujours égale à 1.
Faire exo 3 p. 257
4- Probabilité conditionnelle: voir p. 256
1°) Définition :
Soit A un événement quelconque et B un événement de probabilité non nulle.
La probabilité que l'événement A soit réalisé sachant que B est réalisé est une probabilité conditionnelle.
On le note :
pB (A) =
p(A ∩ B)
p(B)
2°) propriété :
Si p(B) 6= 0,
p(A ∩ B) = p(B) × pB (A)
3°) Exo 4 p. 257
4°) Indépendance de deux événements :
Définition :
A et B sont deux évémements indépendants ssi
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
voir : p. 260 et faire exo 7 p. 261
5°) Formule des probabilités totales :
exemple p. 258
B1 , B2 , ..., Bn forment une partition de Ω'ensemble des éventualités d'une expérience aléatoire ( c'est à dire que les Bi sont deux à deux disjoints et leur réunion est égale à Ω).
Alors
p(A) = p(A ∩ B1) + p(A ∩ B2) + ... + p(A ∩ Bn)
où si les p(Bi ) 6= 0 pour tout i :
p(A) = p(B1 )pB1 (A) + p(B2 )pB2 (A) + .... + p(Bn )pBn (A)
Conséquence :
la probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à
E.
Faire l’illustration des probabilités totales.
Faire exos p. 259.
5-Variable aléatoire : voir p. 254
1°) Définition :
Définir une variable aléatoire sur un univers probabilisé fini Ω revient à associer un réel à
chaque éventualité. Une variable aléatoire définie sur un universΩ est une application X de Ω
dans R.
Si Ω est un univers fini, X est une variable aléatoire discrète.
X ( Ω ) est l'ensemble image de Ω par X , ie l'ensemble des valeurs prises par X.
2°) Loi de probabilité:
Définir la loi de probabilité de X, c’est trouver l’ensemble I, I = {x1 , x2 ; ...; xk } des valeurs
prises par X puis associer à chaque élément xi de I la probabilité de l’événement " X prend la
valeur xi ", probabilité notée p(X = xi ).
Exo : p.255
3°) Espérance mathematique. Variance. Ecart- type:
-L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X est le nombre noté E ( X ), défini
par :
E(X) = x1 p(X = x1 ) + x2 p(X = x2 ) + ..... + xn p(X = xn ).
- La variance de X est le nombre noté V ( X ), défini par :
V (X) = [x1 − E(X)]2 p(X = x1 ) + .... + [xk − E(X)]2 p(X = xk ).
- L'écart-type de X noté (X) est la racine carrée de la variance :
p
(X) = (V (X)).
NB : si X désigne des gains lors d'un jeu de hasard, alors E ( X ) traduit l'espoir de gain
moyen par partie si l'on joue un grand nombre de fois : si E ( X ) > 0, le jeu est avantageux
; si E ( X ) < 0 le jeu est désaventageux ; si E ( X ) = 0 alors le jeu est équitable.
4°) Indépendance de deux variables aléatoires :
exemple voir p. 260
Définition :
X et Y sont deux variables aléatoires sur un univers Ω prenant respectivement les valeurs xi
( 1 6 n) et yj (1 6 q).
Dire que X et Y sont indépendantes signifie que pour tout i et tout j, les événements ”X = xi ”
et Y = yj " sont indépendants.
Faire exo 8 p. 261.
6-Loi de probabilité de référence : p.285 à 314
-Expériences indépendantes :
Parfois une expérience consiste à effectuer une suite d’expériences partielles. Dans bien des
cas on peut considérer, à priori, que l’issue d’une expérience partielle ne dépend pas des issues
de toutes les expériences qui l’ont précédée. On dit alors que ces expériences partielles sont
indépendantes.
Voir exemple p. 262
Lorsque toutes ces expériences partielles sont identiques, c’est à dire définies sur le même
univers et affectées de la même loi de probabilité, alors elles sont appelées épreuves.
Faire exos p. 263.
a) Loi de Bernoulli : activité 1 p. 286-287
Lorsque dans une expérience aléatoire, on s'intéresse uniquement à la réalisation d'un certain
événement S ( appelé succés ) ou à sa non réalisation ( appelé échec ) on dit que cette
expérience est une épreuve de Bernoulli.
voir exemple p. 288.
X est une variable de Bernoulli, définie par X(S) = 1 et X(S̄) = 0, la loi de X est :
P ( X = 1 ) = p et P ( X = 0 ) = q = 1 -p
On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p et on la note : B ( p )
Paramètres caractéristiques :
E(X)=p
V ( X ) = pq
Faire exos p. 289
b) Loi Binomiale :
Si l'on effectue n expériences successives de ce type ( succés et échec), indépendantes les
unes des autres, on dit que l'on effectue un schéma ou épreuve de Bernoulli et la variable
aléatoire égale au nombre de succés obtenus au cours de n expériences vérifie : X prend les
valeurs de {0; 1; 2; ...; n}
: Théorème :
Dans une telle expérience, la loi de X est définie par :
n k n−k
P (X = k) =
p q
,
k
pour tout entier k, o 6 k 6 n.
: ainsi la probabilité d’obtenir k succés au terme des n épreuves est égale à :
n k n−k
p q
k
X suit la loi binomiale de paramètres n et p ( 0 < p <1 ), notée B ( n , p )
Paramètres caractéristiques :
E ( X ) = np
V ( X ) =npq
Démo : voir p. 290
Faire exos p. 291
La répétition d'un schéma de Bernoulli s'illustre par un arbre dans lequel :
- de chaque noeud partent 2 branches ;
- toutes les branches aboutissant à un succés portent la même probabilité p
-toutes les branches aboutissant à un échec portent la même probabilité 1 - p.
Utilisation de loi binomiale : p . 291