ELEMENTS DE COMBINATOIRES/ PROBABILITÉS/ LOIS DE

ELEMENTS DE COMBINATOIRES/ PROBABILITÉS/ LOIS DE PROBABILITES
Contenus :
-dénombrer des listes
-combinaisons
-formules sur les combinaisons
-triangle de pascal
-Formule du binôme
-rappels de probabilités
-probabilités conditionnelles
-probabilités totales
-indépendances de deux événements
-expériences indépendantes
-indépendances de deux variables aléatoires
-Statistique et modélisation
-lois de probabilités
-loi binomiale
Liste des savoir-faire :
-vous devez savoir dénombrer des objets ordonnés sans répétitions
-vous devez savoir dénombrer des objets ordonnés avec répétitions
-vous devez savoir calculer avec des factorielles
-vous devez savoir dénombrer des objets non ordonnés
-vous devez connaître les valeurs remarquables des combinaisons
-vous devez savoir appliquer la formule du binôme
-vous devez savoir utiliser le symbole sygma
-vous devez savoir utiliser des représentations d’ensemble
-vous devez connaître des modèles d’équiprobabilité
-vous devez savoir définir une loi d’une variable aléatoire
-vous devez connaître E(X) et les jeux
-vous devez savoir lire et utiliser un arbre
-vous devez savoir utiliser les règles des arbres pondérés
-vous devez savoir calculer la probabilité d’une intersection
-vous devez savoir démontrer l’indépendance de deux événements
-vous devez savoir trouver la loi du couple (X; Y)
- vous devez savoir calculer une probabilité lors du lancer de trois pièces, de n lancers successifs
-vous devez savoir calculer des probabilités lors de tirages avec remise
-vous devez savoir utiliser les propriétés des combinaisons
-vous devez savoir utiliser la loi binomiale
-vous devez savoir calculer une probabilité lors du lancer simultané de pièces
1-VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS :
1°)Vocabulaire :
Lorsque, sur une situation donnée, on réalise une expérience aléatoire (action soumise au hasard),
on obtient un résultat ;on parle aussi d'éventualité ou d'issue. L'ensemble de tous les résultats possibles
est I'univers des probables.
Une partie A de ces résultats, liée à une propriété, un caractère..., est un événement ; on parle
aussi de résultats favorables à un événement.
2°) Éxemples :
Situation :Un paquet de bonbons contient des caramels et des mentholés.
Action : on prend, au hasard, deux bonbons du paquet.
Résultat : on obtient deux bonbons (soit deux caramels, soit deux mentholés, soit un caramel et
un mentholé)
Événement :on obtient deux bonbons de même type (par exemple).
3°) Événements particuliers :
•L'événement Ωformé de tous les résultats possibles est I'événement certain.
•L'événement ∅ne contenant aucun résultat de I'univers est l'évènement impossible.

•Un événement wi ne contenant qu'un seul résultat wi de I'univers est un événement éIémentaire
: il y a autant d'événements éIémentaires différents que de résultats dans I'univers des possibles.
•Deux événements A et B n'ayant aucun résultat en
commun sont incompatibles.
•Deux événements n'ayant aucun résultat en commun et formant à eux deux la totalité des
résultats possibles sont contraires.
L'événement contraire de A se note ¯ A, lu " non-A ", ou "A barre".Tous les résultats favorables à
I'événement ¯ Asont les résultats défavorables à I'événement A.
exemples :
•Les événements A : " obtenir deux caramels "et B :obtenir un caramel et un mentholé sont deux
événements incompatibles, mais ne sont pas contraires.
•L'événement ¯ A: " obtenir au moins un mentholé " est l'événement contraire de l'événement A.
2- Combinatoire :
Activités 1 et 2 p.236 et 237
1°) Factorielle :
On appelle factorielle n ( n entier ≥1), le produit de tous les entiers de 1 à n , on le note
n! = n×(n−1) ×... ×3×2×1.
0! = 1 par convention
exemples p. 239

Soit E un ensemble non vide à n éléments.
Définition :
une liste est une énumération qui suit un ordre : il y a un premier élément, un deuxième, etc
...
Une permutation de E est une liste des n éléments de E.
propriété :
Le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments, n>1, est égal à : n×(n−1) ×
(n−2) ×... ×2×1.
Soit n!.
Définition et propriété:
Une liste sans répétitions de p éléments de E est une liste de p éléments de E deux à deux
distincts (16p6n). Alors le nombre de liste sans répétitions de p éléments de E, est
n×(n−1) ×(n−2) ×... ×(n−(p−1)).
Proposition :
Le le nombre de liste avec répétitions de p éléments de E, p étant un entier quelconque, p>1,
est np.
Faire exos p. 239

2°) Combinaison :
E est un ensemble de n éléments et p un entier tel que
0≤p≤n. Une combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments.
On la note Cp
nou n
p
exemple : p. 240
théorème : pour tout entier n>1et tout entier p tel que : 0< p 6n, on a :
n
p=n! p!(n−p)! =n(n−1)...(n−p+ 1) p!.
DÈmo p. 240 :
Utiliser les calculatrices p. 240.
Faire exos p. 241

Propriétés des n
pet triangle de Pascal :
- pour tous entiers naturels n et p, 0≤p≤n
n
n−p=n p.
- pour tous entiers naturels n et p, 1 ≤p≤n -1
n−1
p−1+n−1 p=n p.
DÈmo p. 242
- triangle de Pascal : p. 242
Formule du binôme
(a+b)n=n
0an+n 1an−1b+.... +n pan−pbp+... +n n−1abn−1+bn.
DÈmo voir p. 242