NOMBRES RELATIFS EN ECRITURE FRACTIONNAIRE FRACTIONS I) Egalité de quotients : 1) Quotients égaux : Propriété : Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Soit a un nombre relatif b un nombre relatif non nul k un nombre relatif non nul ୟ ୠ = ୟ×୩ ୠ×୩ = ୟ÷୩ ୠ÷୩ Exemples : 8 8 × 3 24 = = 18 18 × 3 54 8 8÷2 4 = = 18 18 ÷ 2 9 Complétez 12 − =− 15 60 − 2) Egalité des produits en croix : Propriété : Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs b et d étant non nuls ୟ Si ୡ =ୢ ୠ alors a × d = b × c ୟ Si a × d = b × c alors ୡ =ୢ ୠ 1 12 4 =− 15 Justification : Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs, b et d étant non nuls. a c a×d c×b Si = alors = b d b×d d×b On a deux fractions ayant le même dénominateur égales donc leurs numérateurs sont égaux donc a × d = c × b . a ×d b×c a c = Si a × d = b × c alors et donc = . b×d b×d b d Exemples : Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifier. a) 198 270 et 187 255 b) 167 13 et 14 182 c) − 15 45 et 49 147 II) Addition et soustraction de fractions : 1) Règle 1 : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur : - On additionne (ou on soustrait) les numérateurs - On garde le dénominateur commun Soit a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul ୟ ୠ +ୡ= ୡ ୟାୠ ୟ ୠ −ୡ= ୡ ୡ Exemples : −9 3 −9+3 −6 3 + = = =− 14 14 14 14 7 ୟିୠ ୡ 2 4 2−4 2 − = =− 3 3 3 3 2 2) Règle 2 : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur, on doit d’abord les réduire au même dénominateur. Exemples : 3 7 + 4 5 On recherche un multiple commun à 4 et 5 : 20 3 × 5 15 7 × 4 28 = = 4 × 5 20 5 × 4 20 On a alors 3 7 15 28 15 + 28 43 + = + = = 4 5 20 20 20 20 Calculer 5 11 − 6 4 Remarque : Prendre, de préférence, le plus petit multiple commun ; cela évite d’avoir à simplifier le résultat. III) Multiplication de fractions : 1) Régle1 : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs, b et d étant non nuls a c a×c × = b d b×d Exemple : 3 (−5) 3 × (−5) − 15 × = = 4 6 4×6 24 3 2) Cas particulier : Soient a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul a× b a×b = c c Justification : Soient a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul b a b a×b a×b a× = × = = c 1 c 1× c c Exemple : (−2) 5 × (−2) − 10 5× = = 11 11 11 IV) Division de fractions : 1) Inverse d’un nombre relatif non nul : a) Définition : Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à 1. Exemples : 5 × 0,2 = 1 donc 0,2 est l’inverse de 5 ou 5 est l’inverse de 0,2. −10 × (− 0,1) = 1 donc − 0,1 est l’inverse de −10. 4 × (− 0,25) = −1 ≠ 1 donc − 0,25 n’est pas l’inverse de 4. Remarque : Il n’existe aucun nombre qui, multiplié par 0, donne 1 donc 0 n’a pas d’inverse. b) Activité : c) Propriété 1: Soit a un nombre relatif non nul. L’inverse de a est 4 1 a . Justification : Soit a un nombre relatif non nul 1 a ×1 a a× = = =1 a a a Exemples : 1 L’inverse de 3 est . 3 L’inverse de −7 est 1 1 =− . −7 7 Remarque : Il ne faut pas confondre inverse et opposé. L’opposé de 5 est . L’inverse de 5 est . d) Propriété 2: ୟ Soit a et b deux nombres relatifs non nuls. L’inverse de ୠ est b a . Justification : Soit a et b deux nombres relatifs non nuls a b a×b × = =1 b a b×a Exemples : L’inverse de 4 5 est . 4 5 L’inverse de − 2 7 est − . 2 7 2) Division de fractions: a) Propriété 1 : Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse. Soit a et b deux nombres relatifs, b étant non nul. a∶b= Exemples: 4 1 4 : 11 = = 4 × 11 11 5 a 1 =a× b b b) Propriété 2 : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Exemples : 2 −5: = 3 7 8: = 4 c) Cas particulier: Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs, b ,c et d étant non nuls. a a c b a d ∶ = = × b d c b c d Exemples : 3 2 = 3 × − 11 = − 33 8 2 8 16 − 11 4 5 = 4×1= 4 3 5 3 15 d) Remarque : Pour tout nombre relatif a non nul 1 =a 1 a Justification : Soit a un nombre relatif non nul 1 a = 1× = a 1 1 a Exemples : 1 = −2 1 − 2 1 =7 1 7 V) Schéma récapitulatif : 6