Triangles isométriques

◆ I. DÉFINITION
Dire que deux triangles du plan sont isométriques signifie que
l’un est l’image de l’autre par une symétrie orthogonale, une trans-
lation, une rotation ou une succession de telles transformations.
Exemple :
Dans la figure ci-contre, les quadrilatères ABCD et
DCFE sont deux parallélogrammes.
Les triangles ADE et BCF sont isométriques.
En effet, les points B, C, et F sont les images
respectives des points A, D, et E par la translation de
vecteur rAB.
On dira que les points A et B sont deux sommets
homologues des triangles isométriques ADE et BCF (de
même pour les sommets D et C, et pour les sommets E
et F)
TRIANGLES ISOMÉTRIQUES.
DOCUMENTS À L’INTENTION
DU PROFESSEUR
Par Patrick LOBRY
Professeur de mathématiques
Lycée Watteau, Valenciennes
5
Janvier 2001, n° 43
Ce document propose à l’intention du professeur de la classe de seconde du
lycée, un plan cohérent d’exposition des triangles isométriques.
On y trouvera notamment une démonstration possible de chaque cas
d’isométrie, réinvestissant des outils géométriques importants du collège :
– les transformations du plan
– le théorème de Pythagore
– la trigonométrie dans un triangle rectangle.
Si le professeur adopte ce plan d’exposition, il en adaptera les contenus à sa
classe. Ainsi, conformément aux commentaires figurant dans le document
d’accompagnement du programme de mathématiques de la classe de seconde,
le professeur pourra admettre certains résultats qui sont démontrés dans ce
document, en respectant toutefois l’ordre dans lequel ils sont présentés, et en
précisant clairement qu’ils sont admis.
AB
DC
EF
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1. Le troisième dans
les années 50 et 60.
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Les revues pédagogiques
de la Mission Laïque Française
Activités mathématiques et scientifiques
Dans la suite de ce document, lorsque deux triangles seront
isométriques, les sommets homologues occuperont la même
place dans les écritures des deux triangles.
◆ II. CONDITIONS NÉCESSAIRES
Si deux triangles du plan sont isométriques, alors leurs trois
côtés sont respectivement de même longueur et leurs trois angles
sont respectivement de même mesure.
Par exemple, soit ABC et A′B′C′deux triangles isométriques.
ABA′B′
ACA′C′
BCB′C′
On a : kABCvA′B′C′
kBACvB′A′C′
kACBvA′C′B′
Démonstration
Les symétries orthogonales, les translations, et les rotations
conservent les distances et les angles géométriques.
◆ III. CONDITIONS SUFFISANTES :
LES TROIS CAS D’ISOMÉTRIE
1. PREMIER CAS D’ISOMÉTRIE1
Si deux triangles du plan ont leurs trois côtés respectivement
de même longueur, alors ces deux triangles sont isométriques.
Démonstration
Une démarche pour les élèves conduisant à cette démonstration est
proposée dans l’annexe I de ce document.
Soit ABC et A′B′C′deux triangles du plan tels que ABA′B′,
ACA′C′, et BCB′C′.
Démontrons que les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
• premier cas : AA′et BB′et CC′
Le triangle A′B′C′est l’image du triangle ABC par la
translation de vecteur nul.
Donc les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
• deuxième cas : AA′ou BB′ou CC′
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Supposons par exemple AA′.
Soit (∆) la médiatrice du segment [AA′] et S1la symétrie
orthogonale d’axe (∆).
On a S1(A)A′.
On note B1S1(B) et C1S1(C)
Le triangle A′B1C1est l’image du triangle ABC par S1. Donc les
triangles ABC et A′B1C1sont isométriques.
Deux cas à nouveau se présentent :
• B1B′et C1C′
Les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
• B1B′ou C1C′
Supposons par exemple B1B′.
Soit (∆′) la médiatrice du segment [B1B′].
Démontrons que A′est un point la droite (∆′).
D’après les données, on a ABA′B′.
De plus comme S1conserve les distances,
ABA′B1.
Par suite A′B1A′B′et A′est un point de la
droite (∆′).
Soit S2la symétrie orthogonale d’axe (∆′).
On note C2S2(C1).
On a S2(A′)A′et S2(B1)B′.
Par suite le triangle A′B′C2est l’image par S2du triangle
A′B1C1.
Or le triangle A′B1C1est l’image par S1du triangle ABC.
Donc le triangle A′B′C2est l’image du
triangle ABC par la succession des symétries
orthogonales S1et S2(dans cet ordre). Donc les
triangles ABC et A′B′C2sont isométriques.
Deux cas à nouveau se présentent :
• C2C′
Les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
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Janvier 2001, n° 43
AA
B
C
B
CC1
B1
B1
AA
B
B
CC1
( )
( )
B1
AA
B
C
B
CC1
C2
( )
( )
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• C2C′
D’après les données les points A′et
B′sont distincts.
On note S3la symétrie orthogonale
d’axe (A′B′).
Démontrons que S3(C2)C′.
Les symétries S1et S2conservant les
distances, on a ACA′C1et
A′C1A′C2.
Or d’après les données ACA′C′.
Donc A′C2A′C′.
De même, on a BC = B1C1et
B1C1B′C2.
Or d’après les données, BCB′C′.
Donc B′C2B′C′.
Par suite la droite (A′B′) est la médiatrice du segment [C2C′].
Donc S3(C2)C′.
On en déduit que le triangle A′B′C′est l’image par S3du
triangle A′B′C2.
Par suite le triangle A′B′C′est l’image du triangle ABC par la
succession des trois symétries orthogonales S1, S2, et S3(dans cet
ordre).
Donc les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
2. DEUXIÈME CAS D’ISOMÉTRIE2
Si deux triangles du plan ont un angle de même mesure
compris entre deux côtés respectivement de même longueur,
alors ces deux triangles sont isométriques.
Démonstration
Soit ABC et A′B′C′deux triangles du plan tels que ABA′B′,
ACA′C′, et kBACvB′A′C′.
Démontrons que les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Il suffit de démontrer que BCB′C′. On applique ensuite le
premier cas.
Pour démontrer que BCB′C′, on utilise le théorème de
Pythagore si l’angle tA est droit ou «les» formules d’Al-Kashi si
l’angle tA est aigu ou obtus3.
On établira «ces» formules au préalable, par exemple dans un
devoir maison ou dans une activité faite en classe (outils du
collège réinvestis : le théorème de Pythagore, les produits
remarquables, et la trigonométrie dans un triangle rectangle.
(Voir annexe II).
La démonstration explicite est laissée au lecteur.
2. Le premier dans
les années 50
et 60.
3. Dans le cadre de
ce document, j’ai
supposé que les
élèves ne
connaissent pas les
lignes
trigonométriques
d’un angle obtus.
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Activités mathématiques et scientifiques
B1
AA
B
C
B
CC1
C2
( )
( )
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3. TROISIÈME CAS D’ISOMÉTRIE
Si deux triangles du plan ont un côté de même longueur
adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors
ces deux triangles sont isométriques.
Démonstration
Soit ABC et A′B′C′deux triangles du plan tels que BCB′C′,
kABCvA′B′C′et kACBvA′C′B′.
Démontrons que les triangles ABC et A′B′C′sont
isométriques.
Il suffit de démontrer que ABA′B′. On applique ensuite le
deuxième cas.
Des égalités kABCvA′B′C′, et kACBvA′C′B′, on en déduit
l’égalité kBACvB′A′C′.
Donc les trois angles des triangles ABC et A′B′C′sont
respectivement de même mesure.
Distinguons deux cas :
• Les triangles ABC et A′B′C′sont rectangles.
Pour démontrer que ABA′B′, on utilise des lignes
trigonométriques dans les triangles rectangles ABC et A′B′C′.
La démonstration explicite est laissée au lecteur.
• Les triangles ABC et A′B′C′ne sont pas rectangles.
Pour démontrer que ABA′B′, on utilise :
les égalités et si les angles tA et tC
sont aigus
ou les égalités 
et si l’angle tA est obtus,
ou les égalités 
et si l’angle tC est obtus.
On établira ces égalités au préalable, par exemple dans un
devoir maison ou dans une activité faite en classe (outil du
collège réinvesti : trigonométrie dans un triangle rectangle. Voir
annexe II ).
La démonstration explicite est laissée au lecteur.
sin (180°tC′)
A′B′
sin tA′
B′C′
sin (180°tC)
AB
sin tA
BC
sin tC′
A′B′
sin (180°tA′)
B′C′
sin tC
AB
sin (180°tA)
BC
sin tC′
A′B′
sin tA′
B′C′
sin tC
AB
sin tA
BC
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