Fonctions usuelles

Fonctions usuelles
Rappels de BCPST 1
Généralités sur les fonctions
Dans ce qui suit, fdésigne une fonction définie sur une partie Dde l’ensemble Rdes
réels et à valeurs dans R. Dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,−→ i , −→ j)l’ensemble des
points de coordonnées (x, f (x)) pour xvariant dans Dest appelé la courbe représentative de
fet sera noté Cf.
Parité, périodicité
Définition 1
On suppose que l’ensemble de définition Dde fest tel que ∀x∈D,−x∈D.
•La fonction fest dite paire si ∀x∈D, f(−x) = f(x).
•La fonction fest dite impaire si ∀x∈D, f(−x) = −f(x).
Définition 1
Remarque La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Dans le cadre de l’étude d’une fonction, cette remarque permet de réduire le domaine d’étude
de la fonction.
Concrètement, pour obtenir la courbe représentative d’une fonction paire (resp. impaire), on
trace fsur D∩R+et on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (resp. par
rapport à l’origine).
Définition 2
Soit T∈R∗
+. On suppose que l’ensemble de définition Dde fest tel que
∀x∈D, x + T ∈D.
La fonction fest dite périodique de période Tsi ∀x∈D, f(x+ T) = f(x).
Définition 2
Remarque Si une fonction est périodique de période T, elle est aussi périodique de période
2T,3T, ... Généralement, on travaille avec la plus petite période possible. La périodicité d’une
fonction permet également de restreindre son domaine d’étude.
Concrètement, pour obtenir la courbe représentative d’une fonction périodique de période T,
on trace fsur D∩Ioù Iest un intervalle de longueur Tet on complète par les translations
de vecteur kT−→ ipour k∈Z.
Fonctions majorées, minorées, borneés
Définition 3
•La fonction fest dite majorée si : ∃M∈R,∀x∈D, f(x)6M.
•La fonction fest dite minorée si : ∃m∈R,∀x∈D, f(x)>m.
•La fonction fest dite bornée si elle minorée et majorée ; ou, de façon équivalente,
si : ∃C∈R,∀x∈D,|f(x)|6C.
Définition 3
1

Monotonie
L’étude de la monotonie d’une fonction permet de comprendre comment celle-ci varie.
Définition 4
•La fonction fest croissante (resp. strictement croissante) si :
∀(x, y)∈D2, x 6y=⇒f(x)6f(y)(resp. ∀(x, y)∈D2, x < y =⇒f(x)< f(y)).
•La fonction fest décroissante (resp. strictement décroissante) si :
∀(x, y)∈D2, x 6y=⇒f(x)>f(y)(resp. ∀(x, y)∈D2, x < y =⇒f(x)> f(y)).
•La fonction fest constante si : ∃k∈R,∀x∈D, f(x) = k.
•Une fonction est alors dite monotone (resp. strictement monotone) sur Dsi elle
croissante sur Dou décroissante sur D(resp. strictement croissante sur Dou
strictement décroissante sur D).
Définition 4
Remarque Pour étudier la monotonie d’une fonction, on peut essayer de vérifier les défini-
tions « à la main » ou bien, dans le cas d’une fonction dérivable, tenter de dériver la fonction
et d’étudier le signe de sa dérivée.
Opérations algébriques
Soient fet gdeux fonctions définies sur une même partie Det à valeurs dans R. Soit λ
un réel. Il est possible de définir les opérations algébriques suivantes :
•la somme :h=f+gest la fonction définie sur Dpar
∀x∈D, h(x) = f(x) + g(x)
•le produit par un scalaire :h=λf est la fonction définie sur Dpar
∀x∈D, h(x) = λf(x)
•le produit :h=fg est la fonction définie sur Dpar
∀x∈D, h(x) = f(x)g(x)
•le quotient : si g(x)6= 0 pour tout x∈D,h=f
gest la fonction définie sur Dpar
∀x∈D, h(x) = f(x)
g(x)
Fonctions usuelles
Fonctions puissances d’exposant entier
On étudie ici les fonctions x7→ xnpour n∈Z. Dans le cas n= 0, la fonction est constante
égale à 1et l’étude est triviale. Nous allons discerner les cas où n > 0et n < 0(pour n < 0,
la fonction puissance a un problème de définition en 0).
2

Proposition 5
Soit n∈N∗.
•La fonction f:x7→ xnest définie et dérivable sur Rde dérivée f0:x7→ nxn−1.
•Si nest pair, la fonction fest paire, strictement décroissante sur R−et strictement
croissante sur R+.
•Si nest impair, la fonction fest impaire et constitue une bijection strictement
croissante de Rsur lui-même.
Proposition 5
Les représentations graphiques associées pour les cas n= 2,n= 4 et n= 3,n= 5 sont les
suivantes. Dans le cas pair, la courbe représentative est une parabole.
−2−1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x2
x4
−2−1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x3
x5
On rappelle que pour n > 0et x∈R∗, on pose x−n=1
xn.
Proposition 6
Soit n∈N∗.
•La fonction f:x7→ x−n=1
xnest définie et dérivable sur R∗de dérivée
f0:x7→ −nx−n−1=−n
xn+1 .
•Si nest pair, la fonction fest paire, strictement croissante sur R−et strictement
décroissante sur R+.
•Si nest impair, la fonction fest impaire, strictement décroissante sur R−et
strictement décroissante sur R+.
Proposition 6
Les représentations graphiques associées pour les cas n= 1 et n= 2 sont les suivantes. Dans
le cas impair, la courbe représentative est une hyperbole.
3

−2−1 1 2
−3
−2
−1
1
2
3
x−1
−2−1 1 2
−3
−2
−1
1
2
3
x−2
Fonction racine carrée
Proposition 7
La restriction de la fonction carré x7→ x2àR+est une bijection strictement crois-
sante de R+sur R+. Sa fonction réciproque est appelée fonction racine carrée et est
notée x7→ √x.
La fonction racine carrée est une bijection strictement croissante de R+sur R+,
dérivable sur R∗
+de dérivée x7→ 1
2√x.
Proposition 7
Proposition 8
Soient xet ydeux réels positifs.
•(√x)2=xet √x2=x•√xy =√x√y•Si y6= 0,rx
y=√x
√y
Proposition 8
Remarque – Attention ! –Si xest un réel (pas nécessairement positif, cette fois), √x2=|x|.
Les fonctions carré et racine carrée étant réciproques l’une de l’autre, leurs courbes représen-
tatives sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
1 2 3 4 5
0
1
2
3
√x
x2y=x
4

Exponentielle et logarithme népérien
Définition 9
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive sur R∗
+de la fonction
inverse x7→ 1
xs’annulant en 1.
Autrement dit : ∀x∈R∗
+,ln(x) = Zx
1
dt
t
Définition 9
Proposition 10
•La fonction ln est définie et dérivable sur R∗
+de dérivée ln0:x7→ 1
x.
•Le logarithme népérien est une bijection strictement croissante de R∗
+sur R.
Proposition 10
Proposition 11
Soient xet ydeux réels strictement positifs.
•ln(xy) = ln(x) + ln(y)•ln 1
x=−ln(x)•ln x y= ln(x)−ln(y)
Proposition 11
Remarque On déduit immédiatement de cette proposition que si x∈R∗
+et n∈Z, on a
ln(xn) = nln(x).
Définition 12
Le logarithme népérien réalisant une bijection de R∗
+sur R, on appelle fonction
exponentielle, notée exp, sa fonction réciproque.
Définition 12
Remarque Pour simplifier la notation, on introduit le nombre réel e= exp(1) et on notera,
pour tout réel x,exp(x) = ex.
Proposition 13
Soient x∈Ret y∈R∗
+.
•ln(ex) = x•eln(y)=y
Proposition 13
Proposition 14
•La fonction exponentielle est définie et dérivable sur Rde dérivée exp0:x7→ exp x.
•La fonction exponentielle est une bijection strictement croissante de Rsur R∗
+.
Proposition 14
Remarque Une exponentielle est toujours strictement positive : pour tout réel x,ex>0.
Proposition 15
Soient xet ydeux réels.
•ex+y=exey•e−x=1
ex•ex−y=ex ey
Proposition 15
5