microeconomie repetitions

Répétitions de microéconomie
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MICROECONOMIE
REPETITIONS
Avertissement
Les séances de répétitions programmées au cours de ce quadrimestre ont pour
objectif, non pas de répéter toute la théorie vue au cours, mais plutôt d'acquérir un
savoir-faire quant à la résolution de problèmes économiques. Ce fascicule contient
dès lors essentiellement des exercices. Ils est vivement conseillé aux étudiants d'être
capables de les résoudre par eux-mêmes. Il en va de même pour les exercices
énoncés dans le livre de Hal R. Varian, Introduction à la microéconomie. Quelques
rappels théoriques ont tout de même été insérés dans ce fascicule1. Il va de soi
qu'une section théorique non vue aux répétitions ne signifie en aucun cas être sans
intérêt pour l'examen!
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Veuillez noter que les graphiques relatifs à ces rappels théoriques ne sont pas repris dans ce
fascicule.
Répétitions de microéconomie
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1ÈRE PARTIE : LE CONSOMMATEUR
1. La contrainte budgétaire
Lorsqu'il n'y a que deux biens, le panier de consommation d'un consommateur qui
consomme x1 unités de bien 1 et x2 unités de bien 2 est (x1,x2). Ce panier peut-être
représenté par un point dans un graphique à deux dimensions avec les quantités de
bien 1 représentées en abscisse et les quantités du bien 2 représentées en
ordonnée. Si les prix des deux biens sont respectivement p1 et p2, et si le
consommateur a un revenu m, alors il peut obtenir tous les paniers de consommation
(x1,x2) tels que p1x1+p2x2 ≤ m. Sur un graphique, la droite de budget est représentée
par le segment linéaire dont l'équation est p1x1+p2x2=m, avec x1 et x2 non négatifs. La
contrainte budgétaire est la frontière de l'ensemble budgétaire. Tous les points
accessibles par le consommateur sont d'un côté de la frontière; les points
inaccessibles de l'autre.
A partir des prix et revenu du consommateur, pour construire la contrainte
budgétaire, il suffit de trouver deux paniers de consommation que le consommateur
peut juste obtenir et de tracer la droite qui relie ces points.
Exercice 1
Un consommateur a un revenu de 40 francs. Deux biens peuvent être achetés. Le
bien 1 coûte 10 francs l'unité et le bien 2 coûte 5 francs l'unité.
(a) Écrivez la droite de budget de ce consommateur.
(b) Si le consommateur consacre la totalité de son revenu au bien 1, combien peut-il
en acheter?
(c) Même question avec le bien 2. Faites un graphique. Tracez la droite de budget.
(d) Supposez que le prix du bien 1 tombe à 5 francs, toutes autres choses restant
égales par ailleurs. Écrivez la nouvelle droite de budget. Représentez-la sur le
même graphique.
(e) Sur votre graphique, représentez l'ensemble des paniers de consommation que le
consommateur peut obtenir avec le budget de la question (d) mais qui n'est pas
accessible avec le budget de la question (a).
Exercice 2
Le budget d'un consommateur est tel que s'il dépense la totalité de son revenu, il
peut se procurer soit 4 unités de x et 6 unités de y, soit 12 unités de x et 2 unités de
y.
(a) Faites un graphique. Indiquez ces deux paniers de consommation et tracez la
droite de budget.
(b) Quel est le rapport entre le prix de x et le prix de y?
(c) Si le consommateur consacre la totalité de son revenu au bien x, combien
d'unités de x peut-il acheter?
(d) S'il consacre la totalité de son revenu au bien y, combien d'unités de y peut-il
acheter?
(e) Écrivez la contrainte budgétaire lorsque le prix de x est égal à 1.
Répétitions de microéconomie
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(f) Écrivez une autre équation donnant la même droite de budget mais lorsque le
prix de x est égal à 3.
Exercice 3
Un consommateur consomme 100 unités de X et 50 unités de Y. Le prix de X
augmente de 2 à 3. Le prix de Y reste égal à 4. Quelle doit être l'augmentation du
revenu de ce consommateur pour qu'il puisse toujours se procurer exactement 100
unités de X et 50 unités de Y ?
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2. Les préférences
Vous savez maintenant représenter graphiquement les paniers de consommation
qu'un consommateur peut obtenir. Il s'agit à présent d'intégrer les préférences du
consommateur. Ces préférences peuvent être dessinées sur un graphique au moyen
des courbes d'indifférence. Chacune d'entre elles indique les diverses combinaisons
des deux biens x1 et x2 procurant au consommateur une satisfaction égale. L'allure
que prennent ces courbes dépend du type de préférences, à savoir :
- les préférences normales : les deux biens désirables forment un ensemble
strictement convexe,
- les substituts parfaits, que le consommateur est disposé à substituer l'un à l'autre
à un taux constant,
- les compléments parfaits, qui sont toujours consommés ensemble dans des
proportions fixes,
- les biens indésirables, dont la consommation constitue un désagrément pour le
consommateur,
- et enfin, les biens neutres, dont le consommateur ne se préoccupe pas du tout.
La pente d'une courbe d'indifférence en un point particulier
∆x2
∆ x1
a une
interprétation économique intéressante : elle mesure le taux marginal de substitution,
c'est-à-dire le taux auquel le consommateur est disposé à substituer un bien à l'autre.
Ce taux est évidemment décroissant dans le cas des préférences normales.
Exercice 4
Deux courbes d'indifférence peuvent-elles se croiser ?
Exercice 5
Un consommateur utilise toujours 4 unités de bien 1 (x1) avec 3 unités de bien 2.
Comment peut-on qualifier ces types de biens? Représentez graphiquement
quelques-unes de leurs courbes d'indifférence.
Exercice 6
Pierre aime la bière, et il en boit chaque soir en regardant le journal télévisé. Il a de
la force dans la main et un grand réfrigérateur, si bien que la taille des canettes de
bière ne l'inquiète pas. Il est seulement intéressé par la quantité de bière qu'il peut
boire.
(a) Faites un graphique. Dessinez quelques courbes d'indifférence de Pierre entre
des canettes de 50 cl et des canettes de 25 cl.
(b) Sylvie, l'épouse de Pierre, apprécie également de boire de la bière devant le JT.
Elle s'autorise seulement des verres de 25 cl de bière. Elle-même détestant la
bière tiède, s'il y a plus de 25 cl dans la bouteille, elle vide le reste dans l'évier
(elle n'a aucun scrupule moral à gaspiller ainsi la bière!). Sur le même graphique,
tracez quelques-unes des courbes d'indifférence de Sylvie.
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Exercice 7
Marie aime passer son temps à regarder la TV et à faire du shopping. En fait, ses
courbes d'indifférence entre les heures passées à regarder la TV et celles passées à
faire du shopping sont des cercles concentriques autour de sa combinaison favorite
qui est 20 heures de TV et 15 heures de shopping par semaine. Lorsqu'elle se
rapproche de sa combinaison favorite, Marie voit sa satisfaction augmenter.
(a) Dessinez un graphique avec quelques courbes d'indifférence.
(b) Supposez que Marie ait l'habitude de regarder la TV pendant 25 heures et de
faire du shopping pendant 3 heures par semaine. Indiquez ce panier de
consommation sur le graphique. Expliquez comment Marie peut améliorer sa
satisfaction.
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3. L'utilité
La fonction d'utilité sert à décrire les préférences d'un individu. Ainsi, une valeur est
attribuée aux différents paniers de consommation d'une telle sorte que les paniers
plus désirables reçoivent des valeurs supérieures à ceux qui le sont moins.
Autrement dit, un panier (x1,x2) est préféré à un panier (y1,y2) si et seulement si le
niveau d'utilité de (x1,x2) est supérieur à celui de (y1,y2). Il s'agit là d'un concept
ordinal dans la mesure où seul le classement établi entre les paniers de biens
importe. Dès lors, il existe une infinité de façons de décrire les mêmes préférences
d'un consommateur (en fait, toute transformation monotone croissante d’une fonction
d’utilité représente les mêmes préférences que cette fonction d’utilité).
La dérivée de la fonction d'utilité par rapport à un bien i
∆U
indique l'utilité
∆xi
marginale de ce bien (Umi). Rappelons enfin que la pente de la courbe d'indifférence
passant par un point donné est le taux marginal de substitution. Celui-ci est égal à
∆x
Um1 .
l'opposé du rapport des utilités marginales : TMS= 2 = - Um
2
∆ x1
Exercice 8
(a) Définissez les concepts suivants : utilité totale, utilité marginale, taux marginal de
substitution.
(b) Pour les quelques fonctions d'utilité du tableau ci-dessous, calculez les utilités
marginales de chacun des deux biens ainsi que leurs taux marginaux de
substitution :
U(x1,x2)
3x1+7x2
x1+lnx2
x10,25 x20,75
x1+2 x 2
Um1
Um2
TMS
Exercice 9
Le bonheur de Julien, c'est d'écrire. Pour cela, Julien a besoin de feuilles de papier et
de stylos. Chaque stylo lui permet de griffonner 20 pages. Deux types de stylos lui
sont accessibles : des stylos bleus et des stylos noirs. Julien ne se préoccupe pas de
la couleur des stylos qu'il utilise. Donnez deux fonctions d'utilité représentant les
préférences de Julien.
Exercice 10
Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)=x1ax2b. Démontrez que la transformation
monotone consistant à prendre le logarithme népérien de cette fonction n'affecte pas
la valeur du taux marginal de substitution.
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Exercice 11
Considérez la fonction d'utilité U(x1,x 2 )= x1x 2 .
(a) Quel type de préférences représente-t-elle?
(b) La fonction d'utilité v(x1,x 2 )=x12x 2 est-elle une transformation monotone croissante
de U(x1,x2) ?
(c) Et la fonction w(x1,x 2 )=x12x 22 ?
Exercice 12
Luc aime organiser des soirées entre copains dans son kot. Selon lui, plus il y a de
monde, mieux on s'amuse. Cependant, il accorde une grande importance à ce qu'il y
ait autant de filles que de garçons. Les préférences de Luc quant à ses soirées
peuvent être représentées par la fonction d'utilité U(x,y)=min{x,y} , où x est le nombre
de femmes et y le nombre d'hommes présents à la soirée.
(a) Faites un graphique. Tracez la courbe d'indifférence pour laquelle l'utilité de Luc
est de 6.
(b) Supposez qu'il y ait 5 filles et 6 garçons à la soirée organisée par Luc. Pense-t-il
que cette soirée est mieux réussie ou moins réussie que si 2 filles
supplémentaires venaient à sa soirée?
Exercice 13
La fonction d'utilité d'un consommateur pour deux biens s'écrit : U(x1,x2)= x1+2x2.
(a) De quel type de préférences s'agit-il ?
(b) Représentez graphiquement quelques courbes d'indifférence, en y indiquant la
pente de celles-ci.
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4. Le choix
Selon la théorie économique, les consommateurs choisissent le panier qu'ils
préfèrent dans leur ensemble budgétaire. Dès lors, pour connaître le choix optimal
du consommateur, il suffit de trouver le panier accessible (étant donné les prix et le
revenu) qui atteint la courbe d'indifférence la plus élevée possible.
Trois types de solutions optimales existent : un point de tangence entre une courbe
d'indifférence et la droite de budget (cas général), un coude dans une courbe
d'indifférence, ou un coin lorsque le consommateur ne consomme qu'un seul des
deux biens.
Dans le cas général, le point (x1,x2) est un point de tangence entre la droite de
budget et une courbe d'indifférence si elles ont la même pente en ce point. La pente
d'une courbe d'indifférence mesure le taux marginal de substitution et est égale à
- Um1 Um 2 . De son côté, la pente de la droite de budget est -p1 . La résolution d'un
p2
système de deux équations à deux inconnues (dans lequel la contrainte budgétaire
est la seconde équation) constitue dès lors un premier moyen de trouver le panier
optimal (x1*,x2*).
Un autre moyen d'identifier ce panier optimal consiste à différencier la fonction de
Lagrange L= U(x1,x2)+λ(m-p1x1+p2x2) par rapport aux quantités x1 et x2, et par rapport
au multiplicateur de Lagrange λ.
Exercice 14
Si deux biens sont des substituts parfaits, quelle est la fonction de demande pour le
bien 1 ?
Exercice 15
Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)= x1x2. Le consommateur consacre son revenu
de 40 francs à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement 1 et 2
francs.
(a) Expliquez à l'aide d'un graphique comment ce consommateur va effectuer son
choix.
(b) Calculez le panier optimal de deux façons différentes.
Exercice 16
Sébastien, un consommateur de pommes et de poires, a une fonction d'utilité
U(x1,x 2 )=4 x1 +x 2 , où x1 est sa consommation de pommes et x2, sa consommation de
poires.
(a) Le panier (25,0) procure-t-il à Sébastien la même satisfaction que le panier
(16,4)?
(b) Citez quelques paniers pour lesquels Sébastien est indifférent par rapport au
panier (25,0).
(c) Sur un graphique, tracez quelques courbes d'indifférence.
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(d) Si le prix d'une pomme est de 1 et celui d'une poire est de 2, tracez sur le même
graphique la droite de budget de Sébastien dont le revenu s'élève à 24.
(e) Calculez le panier optimal et indiquez-le sur le graphique.
(f) Quel serait le panier optimal de consommation de Sébastien si son revenu
augmentait de 10?
Exercice 17
Un consommateur a la fonction d'utilité U(x,y)=x+3y.
(a) Faites un graphique représentant la courbe d'indifférence passant par le point
(3,3).
(b) Considérez les prix de x et de y de 1 et 2 respectivement, ainsi qu'un revenu de
8. Dessinez la contrainte budgétaire sur le même graphique. Quel panier le
consommateur décide-t-il de consommer. Indiquez ce panier optimal sur votre
graphique.
(c) Quel panier aurait-il choisi si le prix de y avait été de 4 (toutes autres choses
restant égales par ailleurs)?
Exercice 18
Si un consommateur a une fonction d'utilité U(x1,x2)= x1x24, quelle fraction de son
revenu va-t-il consacrer à chacun des deux biens ?
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5. La demande
Les fonctions de demande du consommateur expriment les quantités optimales
consommées de chaque bien en fonction des prix et du revenu auxquels le
consommateur est confronté. Elles prennent la forme x1=x1(p1,p2,m) et
x2=x2(p1,p2,m).
Ces fonctions de demande xi=xi(p1,…,pn,m) (∀i=1,…,n) satisfont un certain nombre
de propriétés. Celles-ci découlent de la contrainte budgétaire et sont les suivantes :
•
L’homogénéité de degré 0 : si on multiplie l’ensemble des prix et le revenu par un
facteur t, la demande de chaque bien ne varie pas.
Pour rappel, lorsqu’une fonction est homogène de degré r, vous avez :
f(tx1,…, txn) = tr f(x1,…,xn) = f(x1,…, xn) si r = 0.
n
Or, selon le théorème d’Euler,
‡”xifi' = rf(x1,..., xn )
= 0 si r = 0.
i=1
Une application de ce théorème aux fonctions de demande donne :
δxi
δxi
i
p1δδx
p1+p2 δp2 +m δm =0 . En divisant les deux membres de cette équation par xi, vous
trouvez : E x i, p1 +E x i, p 2 +E x i,m =0 (i=1, …, n).
•
La condition d’agrégation d’Engel : il s’agit d’une restriction sur les élasticitésrevenu.
Une dérivation de la contrainte budgétaire par rapport au revenu donne :
x1 +p2 δx2 ⇔ 1= p1x1 δx1 m + p2x2 δx2 m ⇔ 1=k1E x1,m +k 2E x 2,m où k est la part du
1=p1 δδm
i
δm
m δm x1 m δm x2
revenu consacrée au bien i.
•
Les conditions d’agrégation de Cournot : il s’agit de restrictions sur les élasticitéprix.
Une dérivation de la contrainte budgétaire par rapport au prix p1 donne :
p1x1 p12 x1 δx1 p1 p1p2 δx 2 1
δx
δx
+
+
x2
0 = x1 + p1 1 + p2 2 ⇔ 0=
δp1
δp1
δp1 x 2
m m p1 δp1 x1 m
⇔ 0=k1+k1E x1,p1+k 2E x 2,p1 pour le bien 1.
Un raisonnement similaire fournit pour le bien 2 :
0=k 2 +k1E x1,p 2 +k 2E x 2,p 2
Veuillez noter par ailleurs qu’une variation des prix ou du revenu peut avoir un impact
sur les quantités demandées de chacun des deux biens.
Ainsi, lorsque le revenu du consommateur varie (les prix restant inchangés), la
demande pour les biens normaux varie dans le même sens alors que celle pour les
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biens inférieurs varie en sens inverse. Parmi les biens normaux, une distinction peut
être opérée entre les biens de luxe et les biens de nécessité selon que leur demande
varie plus ou moins que proportionnellement au revenu.
Lorsque c’est le prix d'un bien qui varie, la demande pour ce bien varie en sens
inverse dans le cas d'un bien ordinaire, ou dans le même sens dans le cas d'un bien
de Giffen.
Souvenez-vous enfin que la demande d'un bien dépend généralement du prix des
autres biens. Dès lors, si la demande d'un bien varie dans le même sens que le prix
de l'autre bien, cela signifie que les deux biens sont substituts. Par contre, si la
variation de la demande d'un bien n'a pas le même signe que la variation du prix de
l'autre bien, les deux biens sont compléments.
Exercice 19
A l'aide d'un graphique, définissez les concepts suivants : chemin d'expansion du
revenu, courbe d'Engel, chemin d'expansion du prix, courbe de demande.
Exercice 20
Si un individu ne consomme que deux biens et dépense la totalité de son revenu, les
deux biens peuvent-ils être tous les deux des biens inférieurs ?
Exercice 21
Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)= x12x23. Le consommateur consacre son
revenu m à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement p1 et p2.
(a) Quelles sont les fonctions de demande pour chacun des deux biens de ce
consommateur ?
(b) Quelles parts du revenu sont consacrées à l'achat de chacun des deux biens ?
Exercice 22
Soient x1 et x2, deux biens substituts parfaits. Sur un graphique, représentez le
chemin d'expansion du prix du bien 1 ainsi que sa courbe de demande.
Exercice 23
Considérez la fonction d’utilité Cobb-Douglas U(x1,x2)= a lnx1 + b lnx2. Pour le bien
x1, calculez les élasticités-prix directe et croisée, ainsi que l’élasticité-revenu. Que
pouvez-vous déduire de ces valeurs ainsi calculées ?
Répétitions de microéconomie
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Exercice 24
Un consommateur consacre un revenu de 10 à l’achat de deux biens. Il dépense 2
pour le bien x1 et 8 pour le bien x2. Les données suivantes sont également connues :
Ex1, p1 =−8 , Ex1, p2 =−2 , et Ex1,m =10 .
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14
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(a) En utilisant la condition d’agrégation d’Engel, calculez l’élasticité-revenu de la
demande du bien x2.
(b) En utilisant les conditions d’agrégation de Cournot, calculez les élasticités-prix
(directe et croisée) de la demande de x2.
(c) Vérifiez que la demande du bien x2 est homogène de degré 0 par rapport aux prix
et au revenu.
Répétitions de microéconomie
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6. L'équation de Slutsky
La variation du prix d'un bien entraîne deux types d'effets : il y a, d'une part, une
modification du taux auquel vous pouvez échanger un bien contre un autre et, d'autre
part, une variation du pouvoir d'achat total que représente votre revenu. Le premier
effet est appelé effet de substitution; le second effet est appelé effet de revenu.
L'effet de substitution lié à une modification des prix est le changement de la
demande qui se produirait si le pouvoir d'achat (c-à-d le revenu réel) était maintenu
constant, de sorte que le panier optimal initial demeure accessible2.
L'effet de revenu lié à une modification des prix représente pour sa part l'effet du à la
variation du revenu réel, après la modification des termes de l'échange.
L'addition de l'effet de substitution et de l'effet de revenu fournit la variation totale de
la demande. Cette équation est connue sous le nom d'identité de Slutsky :
∆x i = ∆x si + ∆x in .
Prenez, par exemple, le cas du bien x1 dont le prix p1 varie. Le tableau ci-dessous
détaille pour ce bien x1 les divers cas possibles de variation totale de la demande à
la suite de la modification de p1 :
s
1
∆x
∆x1n
∆x1
Si ∆p1 > 0
∆x < 0, car l'effet de substitution est
toujours négatif, c-à-d de signe
contraire à la variation du prix
∆p1 > 0 ⇒ le revenu réel diminue
• si x1 est un bien normal, ∆x1n < 0
• si x1 est un bien inférieur, ∆x1n > 0
Si ∆p1 < 0
∆x > 0, car l'effet de substitution est
toujours négatif, c-à-d de signe
contraire à la variation du prix
∆p1 < 0 ⇒ le revenu réel augmente
• si x1 est un bien normal, ∆x1n > 0
• si x1 est un bien inférieur, ∆x1n < 0
•
•
•
•
s
1
∆x1 < 0 si x1 est un bien normal
∆x1 indéterminé si x1 est un bien
inférieur
s
1
∆x1 > 0 si x1 est un bien normal
∆x1 indéterminé si x1 est un bien
inférieur
A partir de ce tableau, vous pouvez constater qu'un bien de Giffen est un bien
inférieur dont l'effet de revenu l'emporte sur l'effet de substitution. Tous les biens de
Giffen sont donc des biens inférieurs, mais tous les bien inférieurs ne sont pas des
biens de Giffen! Par ailleurs, de ce même tableau, vous pouvez déduire la loi de la
demande : "si la demande d'un bien augmente quand le revenu s'accroît, la
demande de ce bien doit décroître quand son prix augmente". En d'autres termes,
cette loi signifie que tous les biens normaux sont ordinaires.
2
Il s’agit là de l’effet de substitution tel que défini par Slutsky. Une autre définition de cet effet existe et
est connue sous le nom d’effet de substitution de Hicks. Ce dernier maintient constante l’utilité, et non
le pouvoir d’achat.
Répétitions de microéconomie
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Exercice 25
Représentez graphiquement la décomposition de Slutsky dans le cas de deux biens
en considérant la variation de x1 et de x2 suite à une diminution de p1 et en sachant
que le bien x1 est un bien ordinaire et que le bien x2 est un complément brut du bien
x1.
Exercice 26
Soient x1 et x2, deux biens compléments parfaits. Montrez graphiquement l’effet
d’une diminution du prix p1 en utilisant la décomposition de Slutsky.
Exercice 27
Considérez la fonction d’utilité suivante : U(x1, x2) = 5 * [0,3 ln(x1 - 100) + 0,7 ln(x 2 - 50)]2 . Le
consommateur consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont
respectivement p1 et p2.
(a) Dérivez les fonctions de demande.
(b) Les biens x1 et x2 sont-ils des biens normaux ?
(c) Les biens x1 et x2 sont-ils des substituts ou des compléments ?
(d) Les fonctions de demande propre des biens x1 et x2 sont-elles décroissantes ?
(e) Sur base des résultats dégagés aux sous-questions précédentes, représentez
graphiquement, en décomposant l’effet de substitution et l’effet de revenu, l’effet
d’une baisse de p2.
Exercice 28
Considérez la fonction d’utilité suivante : U(x1, x2) = 3x12 ex2 . Le consommateur
consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement
p1 et p2.
(a) Dérivez les fonctions de demande.
(b) Décomposez l’effet d’une diminution de p1 sur la demande du bien x1 et du bien
x2. Illustrez vos résultats par un graphique.
(c) Vérifiez que la fonction de demande x1 est homogène de degré 0.
(d) La condition d’agrégation d’Engel est-elle respectée ?
(e) Vérifiez les conditions d’agrégation de Cournot.
Exercice 29
Un consommateur a des préférences représentées par la fonction d’utilité :
U (x 1, x 2 )= 1 e x 1 x 32
2
Il consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2.
(a) Calculez les fonctions de demande de ce consommateur.
(b) Décomposez mathématiquement – en un effet de substitution et un effet de
revenu, et en précisant leur signe – l’effet total d’une variation de prix du bien x2
(=p2) sur la demande du bien x1 et du bien x2.
(c) Illustrez graphiquement les résultats obtenus au point précédent en supposant
une augmentation du prix du bien x2.
Répétitions de microéconomie
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Exercice 30
Un consommateur a des préférences représentées par la fonction d'utilité :
U(x1, x 2) = 3 5 e x1 x 22
Il consacre son revenu m à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2.
(a) Calculez les fonctions de demande du consommateur.
(b) Décomposez mathématiquement – en un effet de substitution et un effet de
revenu, et en précisant leur signe – l'effet total d'une variation de prix du bien 2
(p2) sur la demande du bien 1 et du bien 2.
(c) Illustrez graphiquement les résultats obtenus au point précédent en supposant
une baisse du prix du bien 2.
Exercice 31
Considérez le cas des préférences concaves. On suppose qu’à l’équilibre initial, le
consommateur ne consomme que du bien x1. Représentez graphiquement :
(a) une situation où, suite à une variation du prix du bien x1, l’effet de substitution
propre est nul ;
(b) une situation où, suite à une variation du prix du bien x1, l’effet de substitution
propre est non nul.
Répétitions de microéconomie
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7. Les choix intertemporels
Le modèle est le suivant. Un consommateur doit choisir les quantités (c1,c2) d’un bien
composite qu’il va consommer au cours de deux périodes. Le prix de ce bien est
supposé être égal à p1 lors de la période 1 et p2 lors de la période 2. Les sommes
que le consommateur dispose au cours des deux périodes sont (m1,m2). Par ailleurs,
il a la possibilité de prêter et d’emprunter à un taux d’intérêt constant r.
Le consommateur va dès lors choisir le panier de consommations intertemporelles
(c1,c2) qui maximise son utilité U=U(c1,c2) :
•
Si le consommateur choisit le panier (m1,m2), cela signifie qu’il consomme
simplement son revenu au cours de chaque période.
•
Si le consommateur décide d’épargner à la période 1, cela signifie que p1c1<p1m1.
Il perçoit alors des intérêts sur la différence (p1m1 - p1c1). Le montant qu’il peut
dépenser à la période 2 est alors égal à p2c2 = p2m2 + (p1m1-p1c1)(1+r).
•
Inversement, si le consommateur décide d’emprunter à la période 1, il devra alors
rembourser la somme empruntée moyennant des intérêts à la période 2. Dès lors,
sa dépense lors de la seconde période sera : p2c2 = p2m2 - (p1c1 - p1m1)(1+r).
Cette équation est totalement identique à celle obtenue au point précédent.
La contrainte budgétaire telle que formulée ci-dessus peut être réécrite comme suit :
p2c2 = p2m2 + (p1m1-p1c1)(1+r)
p1
p1
⇔ c2 = m2 +
(m -c )(1+r) où la pente vaut - (1+r).
p2 1 1
p2
Soient ρ le taux d’intérêt réel et π le taux d’inflation. La relation entre ces deux
variables est : 1+ρ=11++πr .
Comme p2=p1(1+π), la pente de la contrainte budgétaire vaut (1+ρ) en valeur
absolue.
Exercice 32
Un consommateur sait qu'il ne vivra que deux périodes. La première période, il
gagnera 50.000 francs et la seconde période, il prendra sa retraite et vivra de son
épargne. Sa fonction d'utilité est U(c1,c2)=c1c2 où c1 représente sa consommation en
période 1 et c2 sa consommation en période 2. Il peut emprunter et placer à un taux
d'intérêt r de 10%.
(a) Si le taux d'intérêt augmente, sa consommation en période 1 va-t-elle augmenter,
diminuer ou rester la même?
(b) Une augmentation du taux d'intérêt l'inciterait-il à consommer plus ou moins en
seconde période?
(c) Si le revenu du consommateur est nul en période 1 et de 55.000 en période 2,
une augmentation du taux d'intérêt l'inciterait-il à consommer plus, moins ou la
même chose en période 1?
Répétitions de microéconomie
17
Exercice 33
Considérez un modèle à deux périodes. Le prix d’une unité de consommation de la
période présente est p1 et celui d’une unité de consommation au cours de la période
future est p2. Les dotations au cours des deux périodes sont respectivement m1 et
m2. Les quantités consommées sont représentées par c1 et c2. L’individu peut
librement prêter et emprunter à un taux d’intérêt nominal r.
(a) Supposez que l’individu est au départ prêteur. Il révise à la baisse ses prévisions
quant au prix d’une unité de consommation au cours de la période future (p2
diminue). Comment son choix optimal va-t-il se modifier ? Raisonnez
graphiquement dans un premier temps. Dans un second temps, vérifiez vos
conclusions en distinguant l’effet de substitution de l’effet de revenu.
(b) Supposez à présent que l’individu était initialement emprunteur. Il décide de le
rester suite à la baisse de p2. Son niveau de satisfaction a-t-il augmenté ou
diminuer ?
Répétitions de microéconomie
18
8. L’incertitude
La théorie classique du consommateur peut être utilisée pour étudier le choix en
présence d’incertitude. Dans une telle situation, le consommateur devant effectuer
son choix se préoccupe de la distribution de probabilité d’obtenir différents paniers
de biens.
Le modèle général est le suivant. Deux états de la nature sont possibles : le cas
défavorable ("bad") et le cas favorable ("good"). Les perspectives de consommation
dans chacun des deux états de la nature sont notées Cb et Cg. La valeur que le
consommateur attribue à la consommation dans un état de la nature par rapport à la
consommation dans un autre état dépend de la probabilité que cet état survienne
effectivement. Ainsi, la fonction d'utilité du consommateur à l'égard de la
consommation dans les différents états de la nature prend la forme :
U=U(Cb,Cg,πb,πg) dans laquelle πb et πg sont les probabilités que les états
défavorables et favorables se réalisent effectivement.
La fonction U(Cb,Cg,πb,πg)=πbv(Cb)+πgv(Cg) représente l'espérance mathématique
des utilités et est appelée fonction d'utilité attendue. Il s'agit là d'une fonction linéaire
passant par les points (Cb,v(Cb)) et (Cg,v(Cg)) dont la pente est
v(Cg ) - v(Cb)
.
Cg - Cb
Trois cas sont dès lors possibles :
• si le consommateur a de l'aversion pour le risque, alors il préférera l'utilité de la
valeur attendue de la richesse à l'utilité attendue de la richesse (la fonction
d'utilité est concave et sa dérivée seconde est ¡Ü 0);
• si le consommateur a du goût pour le risque, alors il préférera l'utilité attendue de
la richesse à l'utilité de la valeur attendue de la richesse (la fonction d'utilité est
convexe et sa dérivée seconde est ¡Ý 0);
• enfin, si le consommateur est neutre vis-à-vis du risque, l'utilité attendue de la
richesse est égale à l'utilité de sa valeur attendue (la fonction d'utilité est alors
linéaire).
Exercice 34
On offre à un individu qui manifeste de l'aversion pour le risque le choix entre, d'une
part, un jeu qui rapporte 1000$ avec une probabilité de 25% et 100$ avec une
probabilité de 75%, et d'autre part, un paiement immédiat de 325$.
(a) Que va-t-il choisir?
(b) Que ferait-il si le paiement immédiat était de 320$?
Répétitions de microéconomie
19
9. Les actifs à risque
Le chapitre précédent a été consacré à la théorie de l'utilité attendue. Cette théorie
ne constitue qu'une des modélisations possibles des choix en situation d'incertitude.
Le modèle de la moyenne et de la variance constitue une autre façon d'approcher
ces choix. Ce modèle suppose que les préférences du consommateur peuvent être
représentées par un petit nombre de statistiques synthétisant la distribution de
probabilité de sa richesse.
Considérez le cas d'un consommateur qui peut investir dans deux actifs différents.
D'une part, un actif sans risque procurant toujours un taux de rendement fixe rf.
D'autre part, un actif à risque procurant un taux de rendement ms dans l'état de la
nature s, la probabilité que cet état de la nature survienne étant notée πs. Soit rm, le
rendement attendu de cet actif à risque, et σm, l'écart-type de ce rendement. Il est
naturel de supposer que rm > rf , puisqu'un investisseur manifestant de l'aversion
pour le risque ne détiendra jamais un actif à risque si ce dernier procure un
rendement attendu inférieur à celui de l'actif sans risque.
Ce consommateur n'étant pas obligé de choisir un des deux actifs, il choisira de
répartir son patrimoine entre les deux actifs. Si x est la part du patrimoine consacrée
à l'actif risqué, alors le rendement attendu sur l'ensemble du portefeuille est :
s
s
s
s =1
s =1
rx = ‡” (xms + (1 - x)rf )πs = x ‡” ms πs + (1 - x)rf ‡” πs
s =1
s
Et comme ‡” πs = 1, rx = xrm + (1 - x)rf
s =1
Le rendement attendu sur le portefeuille est donc une moyenne pondérée des deux
rendements attendus. Il peut être démontré que l'écart-type du rendement du
portefeuille est σx = xσm.
L'équation rx = xrm + (1 - x)rf est en fait la contrainte budgétaire définissant le taux
d'échange du marché entre le risque et le rendement. Elle peut aisément être
représentée dans un graphique reprenant l'écart-type du rendement en abscisse et le
rendement attendu en ordonnée. Pour ce faire, il suffit de relier entre eux les points
r -r
(0,rf) et (σm,rm). Sa pente m f mesure le prix du risque.
σm
Exercice 35
Un consommateur neutre vis-à-vis du risque choisit la proportion x de son
portefeuille qu'il place dans un actif à risque dont le rendement attendu rm est
supérieur au rendement fixe rf d'un actif sans risque.
(a) Etablissez la contrainte budgétaire.
(b) Représentez graphiquement le choix du consommateur et commentez.
Répétitions de microéconomie
20
Exercice 36
Un consommateur manifestant du goût pour le risque choisit la proportion x de son
portefeuille qu'il place dans un actif à risque dont le rendement attendu rm est
supérieur au rendement fixe rf d'un actif sans risque. Représentez graphiquement le
choix du consommateur (annotations complètes) et commentez.
Répétitions de microéconomie
21
10. La demande du marché
La demande du marché pour le bien 1 (ou encore la demande agrégée pour ce bien
1) correspond à la somme des demandes individuelles sur l'ensemble des
consommateurs. En général, la demande agrégée pour un bien dépend à la fois des
prix et du revenu de l'ensemble des consommateurs :
n
Xi = (p1, p2, m1,..., mn) = ‡”x1i(p1, p2, mi)
i =1
En adoptant l'hypothèse d'un consommateur représentatif dont le revenu est égal à
la somme des revenus individuels, la fonction de demande agrégée a la forme
X1(p1, p2, M) .
Alors que la fonction de demande mesure la quantité demandée en fonction du prix,
la fonction de demande inverse du prix P(X) exprime le prix en fonction de la
quantité.
L'élasticité de la demande par rapport au prix ε est un concept permettant d'étudier la
sensibilité de la demande face à une variation de prix. Elle est définie comme la
variation relative de la quantité divisée par la variation relative du prix :
∆q
q
ε=
∆p
p
En général, l'élasticité de la demande est une grandeur négative. En fait, parmi les
biens ordinaires, trois cas sont à distinguer :
• ε<-1 : la demande est élastique. Ainsi, si le prix du bien augmente, la dépense
consacrée à ce bien diminue.
• -1<ε<0 : la demande est inélastique. Ainsi, si le prix du bien augmente, la
dépense consacrée à ce bien augmente.
• ε=-1 : l'élasticité est unitaire. Une augmentation du prix d'un bien entraîne une
diminution de la dépense dans la même proportion.
Pour rappel, la recette est le prix d'un bien multiplié par la quantité vendue de ce
bien. La recette marginale mesure quant à elle la variation de la recette résultant d'un
variation marginale de la quantité vendue. Il existe une relation très importante entre
l'élasticité de la demande ε et la recette marginale :
∆R = p(q)[1 + 1 ]
∆q
ε(q)
Par conséquent, la recette marginale est nulle lorsque l'élasticité est unitaire. Elle est
négative lorsque la demande est rigide, et positive lorsque la demande est élastique.
Exercice 37
Pour chacune des fonctions de demande suivantes, calculez la courbe de demande
inverse :
(a) q(p) = 12-2p
(b) q(p) = 10
p
Répétitions de microéconomie
22
(c) ln(q) = 10-4p
Exercice 38
Pour chacune des fonctions de demande suivantes, trouvez l'expression de
l'élasticité-prix de la demande (la réponse doit être exprimée en fonction du prix p) :
(a) q(p) = 30-6p
(b) q(p) = 40p-2
(c) q(p) = (p+3)-2
Répétitions de microéconomie
23
11. Le surplus du consommateur + L'équilibre
Le surplus du consommateur correspond à la différence entre la somme que le
consommateur est disposé à payer pour l'acquisition de q* et la somme qu'il paye
effectivement.
De son côté, le surplus du producteur correspond à la différence entre la somme que
perçoit effectivement le producteur pour la production de q* et la somme qu'il était
nécessaire pour qu'il accepte de produire ces q* unités.
Suite à une modification du prix p*, le surplus du consommateur et celui du
producteur sont modifiés. Cette variation des surplus est toujours la somme de deux
composantes :
• d'une part, la variation du surplus induite par la modification de q*;
• d'autre part, la variation du surplus induite par la variation du prix des unités de
biens qui continuent à être consommées et/ou produites.
Sur un marché concurrentiel dans lequel les demandeurs et les offreurs prennent les
prix pour des données, le prix d'équilibre d'un bien est le prix pour lequel l'offre du
bien égale la demande : D(p*) = S(p*).
Deux cas particuliers fréquents existent :
- la courbe d'offre est verticale (parfaitement inélastique) : dans ce cas, la quantité
d'équilibre est déterminée par l'offre et le prix d'équilibre est déterminé par la
demande;
- la courbe d'offre est horizontale (parfaitement élastique) : dans ce cas, le quantité
d'équilibre est déterminée par la demande tandis que le prix d'équilibre est
déterminé par l'offre.
Un déplacement parallèle et vers la droite de la courbe de demande correspond à un
accroissement d'une quantité fixe de la demande, quel que soit le prix. De son côté,
un déplacement parallèle et vers la droite de la courbe d'offre correspond
accroissement d'une quantité fixe de l'offre, quel que soit le prix.
En l'absence de taxation, à l'équilibre d'un marché concurrentiel, le prix payé par le
consommateur et le prix perçu par le producteur coïncident. L'introduction d'une
taxation amène à considérer deux prix : celui payé par le consommateur et celui
perçu par le producteur. La différence entre ces deux prix correspond au montant de
la taxe. Cette taxe peut-être à l'unité (PD = PS + t) ou exprimée en pourcentage (PD =
(1+τ)PS, où τ est le taux de la taxe).
A l'équilibre d'un marché dans lequel une taxe à l'unité t est prélevée, la condition
suivante doit être respectée : D(PD) = S(PS) où PS = PD – t.
Pour étudier (graphiquement) l'impact d'une taxe, deux méthodes alternatives
existent : soit vous déplacez la courbe de demande vers le bas, soit vous déplacez la
courbe d'offre vers le haut.
Dans le cas général (c'est-à-dire lorsque la courbe de demande est décroissante et
la courbe d'offre est croissante), l'introduction d'une taxe à l'unité entraîne une
Répétitions de microéconomie
24
augmentation du prix payé par le demandeur et une diminution du prix reçu par
l'offreur. Toutefois, il se peut que la taxe à l'unité soit transférée dans une certaine
mesure entre le demandeur et l'offreur. Tout dépend en fait des caractéristiques de la
demande et de l'offre. Ainsi, si l'offre est parfaitement élastique, la totalité de la taxe
est transférée aux consommateurs. Par contre, si l'offre est parfaitement inélastique,
la totalité de la taxe est supportée par les offreurs.
Exercice 39
Considérez un marché concurrentiel avec une offre croissante et une demande
décroissante (cas général). Le Gouvernement décide d'introduire une taxe à l'unité t.
Représentez graphiquement la charge morte résultant de la taxe (c'est-à-dire la perte
sociale de surplus) et commentez.
Exercice 40
Considérez un marché concurrentiel avec une offre parfaitement rigide et une
demande décroissante. Un taxe à l'unité t est introduite par les décideurs politiques.
(a) Qui supporte la charge de le taxe?
(b) Représentez graphiquement la charge morte résultant de la taxe.
Exercice 41
Supposez que tous les consommateurs considèrent les crayons rouges et les
crayons bleus comme des substituts parfaits. La courbe d'offre des crayons rouges
est supposée croissante. Soit pr et pb, les prix des crayons rouges et des crayons
bleus. Que se passe-t-il si le Gouvernement décide de lever une taxe à l'unité
uniquement sur les crayons rouges?
Exercice 42
Le Gouvernement décide de subventionner d'un montant à l'unité s la consommation
d'un bien échangé sur un marché compétitif. Qui profitera de cette subvention si :
(a) La demande du bien est parfaitement rigide et l'offre est simplement croissante?
(b) L'offre est parfaitement élastique et la demande est simplement décroissante?
Exercice 43
Considérez la fonction de demande inverse Pd = 18-3Qd et la fonction d'offre inverse
Ps = 6+Qs où les prix sont mesurés en francs.
(a) En l'absence de taxe ou de subvention, quels sont la quantité et le prix d'équilibre
du marché?
(b) Si une subvention de 2 francs par unité est versée aux producteurs, que devient
la nouvelle quantité d'équilibre? Quel est le nouveau prix d'équilibre reçu par les
producteurs? Quel est le nouveau prix d'équilibre payé par les demandeurs?
Répétitions de microéconomie
25
12. Les ventes aux enchères
Les enchères peuvent être classées selon deux critères : selon la nature du bien
(enchères à valeur privée ou enchères à valeur commune) et selon les règles en
matière d'offre (enchères anglaises, hollandaises, sous pli scellé ou philatélistes).
Une vente aux enchères à valeur privée est une vente où chaque participant attribue
une valeur éventuellement différente au bien en question. Par contre, une vente aux
enchères à valeur commune est une vente où le bien en question a
fondamentalement la même valeur pour tous les offreurs bien que ceux-ci puissent
avoir des évaluations différentes de cette valeur commune.
L'enchère anglaise constitue le mécanise d'offre le plus répandu pour une vente aux
enchères. Un commissaire-priseur commence avec un prix de réserve (prix en
dessous duquel le vendeur n'accepte pas de vendre son bien). Les participants
offrent successivement des prix plus élevés. En général, une surenchère minimum
doit être proposée lors de chaque nouvelle offre. Lorsque plus personne ne souhaite
augmenter l'offre, le bien est attribué à celui qui a offert le montant le plus élevé.
L'enchère hollandaise est un mécanisme par lequel le commissaire-priseur
commence avec un prix élevé et le diminue progressivement étape par étape jusqu'à
ce quelqu'un accepte d'acheter le bien.
Une autre forme d'enchères est l'enchère sous pli scellé. Chaque participant écrit son
offre sur un papier et le met sous pli scellé. Les enveloppes sont rassemblées et
ouvertes. Le bien est attribué à la celui qui a effectué la meilleure offre.
Enfin, l'enchère philatéliste attribue le bien à la personne qui a offert le prix le plus
élevé, mais celle-ci paie le prix proposé en second.
Lors d'une vente aux enchères, deux objectifs naturels doivent être poursuivis :
- d'une part, l'efficacité au sens de Pareto : le bien doit être vendu à la personne
qui lui attribue la valeur la plus élevée;
- la maximisation du profit : le profit attendu du vendeur doit être le plus élevé
possible.
Chaque type d'enchères ne poursuit pas nécessairement ces deux objectifs.
Exercice 44
Supposez qu'il n'y ait que deux offreurs dont les valeurs sont 8 dollars et 10 dollars
avec une surenchère de 1 dollar .Quel devrait être le prix de réserve dans le cadre
d'une enchère anglaise visant à maximiser le profit?
Exercice 45
Supposez que deux copies d'un livre soient à vendre à trois lecteurs enthousiastes.
Comment pouvez-vous utiliser une enchère sous pli scellé garantissant le fait que ce
soit les deux acheteurs avec les deux valeurs les plus élevées qui reçoivent les
livres?
Répétitions de microéconomie
26
2ÈME PARTIE : LE PRODUCTEUR
13. La technologie
C'est avec ce chapitre que débute l'étude du comportement de la firme.
L'ensemble de toutes les combinaisons d'inputs et d'outputs correspondant à un
processus de production techniquement réalisable est l'ensemble de production. La
fonction décrivant la frontière de cet ensemble est la fonction de production. Celle-ci
mesure l'output maximum qu'il est possible d'obtenir à partir d'une quantité donnée
d'input.
Dans le cas de deux inputs, il est d'usage de recourir aux isoquantes pour
représenter les relations de production. Une isoquante est l'ensemble de toutes les
combinaisons possibles d'inputs 1 et 2 qui sont juste suffisantes pour produire une
quantité donnée d'output. L'allure que prend une isoquante dépend du type d'inputs
dont il s'agit :
- les isoquantes d'allure normale : q = Ax1ax2b (Cobb-Douglas),
- les substituts parfaits : q = ax1+bx2,
- les compléments parfaits : q = min{ax1,bx2}.
Le produit marginal d'un facteur indique la quantité d'output supplémentaire obtenue
lorsqu'on augmente d'une unité l'utilisation de ce facteur. Il est en principe positif
(monotonicité) et décroissant (loi des rendements marginaux décroissants) :
δy
δ2 y
> 0 et
<0.
δxi
δxi2
Le taux de substitution technique (TST) mesure le taux auquel la firme doit substituer
un input par l'autre tout en maintenant constante la quantité d'output. Le TST en un
point donné est égal à la pente de la tangente à l'isoquante passant par ce point. Il
est en principe décroissant (isoquantes d'allure normale). Il peut être démontrer que
le TST vaut l'opposé du rapport des productivités marginales :
TST(x1, x2) =
Pm1(x1, x2)
∆x 2
=Pm2(x1, x2)
∆x1
En ce qui concerne les facteurs de production, une distinction est à apporter entre le
court terme et le moyen terme dans la mesure où certains de ces facteurs sont fixes
à court terme.
Supposez enfin que le producteur multiplie son échelle de production par un facteur t
(t>1). Trois cas sont possibles :
- f(tx1,tx2) > t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont croissants,
- f(tx1,tx2) < t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont décroissants,
- f(tx1,tx2) = t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont constants.
Répétitions de microéconomie
27
Exercice 46
Une situation de rendements d'échelle croissants est-elle incompatible avec la loi des
rendements marginaux décroissants?
Exercice 47
Pour chacune des fonctions de production suivantes, précisez le type de rendements
d'échelle y correspondant :
(a) f(x1,x2) = x12x22
(b) f(x1,x2) = 4x11/2x21/3
(c) f(x1,x2) = Ax1ax2b
Exercice 48
Le taux de substitution technique entre les facteurs x2 et x1 est de –4. Si vous désirez
produire la même quantité d'output en réduisant l'utilisation du facteur 1 de trois
unités, de combien d'unités supplémentaires du facteur 2 devez-vous disposer?
Répétitions de microéconomie
28
14. La maximisation du profit
Dans le chapitre précédent, vous avez vu comment représenter les choix techniques
auxquels la firme est confrontée. Il s'agit à présent de voir comment cette firme
choisit la quantité qu'elle produit et la méthode de production qu'elle adopte.
Dans ce chapitre, la firme est supposée être confrontée à des marchés
concurrentiels pour les facteurs de production qu'elle utilise et les outputs qu'elle
produit. Autrement dit, elle n'exerce aucun contrôle sur les prix des facteurs de
production qu'elle achète et des unités de production qu'elle vend.
Une firme cherchant à maximiser son profit (c'est-à-dire la différence entre les
recettes et les coûts) ne peut, du moins à court terme, modifier la quantité de chaque
facteur de production qu'elle emploie. Ainsi, une distinction est à établir entre les
facteurs fixes dont la quantité est fixe pour l'entreprise et les facteurs variables dont
la quantité utilisée peut varier librement. Puisqu'à court terme, l'entreprise est obligée
d'employer certains facteurs, il est tout à fait possible que celle-ci réalise des profits
négatifs. Par contre, à long terme, puisque tous les facteurs sont variables,
l'entreprise est libre de se retirer du marché. Le profit minimum qu'une entreprise
peut réaliser à long terme est donc nul.
Considérez d'abord le problème de la maximisation du profit à court terme. Soit
f(x1, x2 ), la fonction de production de l'entreprise. L'input 2 est le facteur fixe. Le prix
des deux inputs sont respectivement w1 et w2. Le prix de l'output est p. Il s'agit dès
lors pour la firme de :
max pf(x1, x2 ) – w1x1 – w2 x2
Pour connaître la quantité du facteur 1 que la firme doit utiliser, il suffit d'égaler sa
productivité marginale en valeur à son prix : pPm1(x1* , x2) = w1 .
A long terme, la firme est libre de choisir la quantité de tous ses inputs. Dès lors, le
problème de maximisation peut s'écrire :
max pf(x1,x2) – w1x1 – w2x2
Ici, la condition définissant les choix optimaux est la même qu'à court terme, mais
elle concerne cette fois tous les facteurs de production : pPm1(x1* , x*2) = w1 et
pPm2(x1* , x*2) = w 2 .
Exercice 49
Considérez le problème de la maximisation du profit à court terme. L'entreprise
produit un output à partir de deux inputs dont les productivités marginales sont
décroissantes. L'input 1 est variable et l'input 2 est fixe. Démontrez à partir d'une
analyse graphique que la demande du facteur 1 est décroissante par rapport à son
prix et que l'offre d'output est croissante par rapport à son prix.
Exercice 50
"A long terme, les profits d'une entreprise concurrentielle qui connaît des rendements
d'échelle constants pour chaque niveau d'output ne peuvent qu'être nuls". Discutez
cette affirmation.
Répétitions de microéconomie
29
Exercice 51
Si pPm1>w1, la firme doit-elle augmenter ou diminuer la quantité de facteur 1 pour
accroître ses profits?
Exercice 52
Une entreprise a une fonction de production f(x1,x2) = x11/2x21/4 où x1 et x2 sont deux
facteurs variables. Le prix de son output est égal à 4. Le facteur 1 reçoit un salaire
égal à w1, et le facteur 2 un salaire égal à w2.
(a) Quelles sont les quantités des facteurs 1 et 2 maximisant le profit de la firme?
(b) Si le prix du facteur 1 est de 2 et celui du facteur 2 est de 1, quelles quantités de
chacun des facteurs la firme demandera-t-elle? Quel sera alors son profit?
Répétitions de microéconomie
30
15. La minimisation du coût
Le problème de la maximisation du profit peut en fait être décomposé en deux
parties : il s'agit d'une part, de minimiser les coûts de production d'un niveau donné
d'output et, d'autre part, de choisir le niveau d'output le plus profitable. Ce chapitre
considère la première étape de cette décomposition.
Le problème est le suivant : une entreprise utilise deux facteurs de production dont
les prix sont w1 et w2. Elle désire déterminer la façon la moins coûteuse de produire
un niveau donné d'output y. Si x1 et x2 sont les quantités utilisées des deux facteurs,
le problème de minimisation peut être écrit comme suit :
min C=w1x1+w2x2 s.c. f(x1,x2)=y
Ce problème de minimisation peut être résolu en dérivant la fonction de Lagrange
associée à ce problème. Il s'agit là d'une première méthode possible.
Une droite d'isocoût est une droite dont tous les points représentent un même coût
C. Il s'agit alors de trouver sur l'isoquante le point associé à la droite d'isocoût la plus
basse possible. Au point de tangence entre l'isoquante et la droite d'isocoût, il y a
égalité entre le rapport des prix des facteurs et le taux de substitution technique :
-
w1
w2
Pm (x , x )
= - Pm1(x1, x2 )
2
1
2
Dès lors, pour connaître les quantités optimales de chaque input, une seconde
méthode consiste à résoudre un système de deux équations dans lequel la condition
de tangence est la première équation, et la fonction de coût la seconde.
Cette condition de tangence n'est respectée ni dans le cas d'une solution de coin (où
un des deux facteurs n'est pas utilisé), ni dans le cas d'une fonction de production
présentant des coudes.
Les fonctions de demande conditionnelle de facteurs xi(w1,w2,y) mesurent la relation
existant entre le choix optimal des facteurs, et les prix et l'output pour un niveau
d'output y donné. Un remplacement des fonctions de demande conditionnelle de
facteurs xi(w1,w2,y) dans la fonction de coût C=w1x1+w2x2 fournit la fonction de coût
minimum.
Exercice 53
Supposez qu'une firme minimisant ses coûts de production utilise deux inputs. Sa
fonction de production est de type Cobb-Douglas : f(x1,x2)=5x11/3x21/2. Les prix des
deux inputs sont w1 et w2.
(a) Quelles sont les fonctions de demande conditionnelle des deux inputs?
(b) Quelle est la fonction de coût minimum?
Exercice 54
Une firme produit selon une technologie à coefficients fixes (compléments parfaits)
une unité d'output y à partir de 2 unités de x1 et 3 unités de x2. Les prix des facteurs
x1 et x2 sont respectivement w1 et w2.
(a) Donnez la forme analytique de la fonction de production de cette firme et
représentez-là graphiquement.
Répétitions de microéconomie
31
(b) Dérivez les fonctions de demande conditionnelle des facteurs x1 et x2.
(c) Ecrivez la fonction de coût minimum.
Exercice 55
Supposez qu'une firme minimisant ses coûts de production utilise deux inputs qui
sont des substituts parfaits. La fonction de production de cette firme est q=3x1+2x2.
Les prix des deux inputs w1 et w2.
(a) Quelles sont les fonctions de demande conditionnelle des deux inputs?
(b) Quelle est la fonction de coût minimum?
Exercice 56
Une firme dispose d’une technologie à court terme représentée par la fonction de
production q=x11/4 x21/4 x31/2, où x1 et x2 sont des facteurs variables et x3 est un facteur
fixe à court terme ( x3 = x3 ) . La firme acquiert ces facteurs sur des marchés
compétitifs aux prix w1, w2 et w3.
a. Calculez les fonctions de demande conditionnelles à court terme de x1 et x2.
b. Calculez la fonction de coût à court terme.
16. Les courbes de coût
Exercice 57
Considérez la fonction de coût c(y) =4y2 +16.
a. Quelle est la fonction de coût moyen ?
b. Quelle est la fonction de coût marginal ?
c. Quel est le niveau de production qui minimise le coût moyen ?
d. Quelle est la fonction de coût variable moyen ?
e. A quel niveau de production le coût variable moyen est-il égal au coût
marginal ?
17. L’offre de la firme
Exercice 58
Une firme concurrentielle a la fonction de coût à court terme suivante :
c(y)=y3-8y2+30y+5.
a. Quelle est la fonction de coût marginal à court terme ?
b. Quelle est la fonction de coût variable moyen à court terme ? (Les coûts
variables totaux sont égaux à c(y)-c(0)).
c. Tracez le graphe de la fonction de coût marginal et de la fonction de coût
variable moyen.
Répétitions de microéconomie
32
d. Dans quel intervalle de production la courbe de coût variable moyen est-elle
décroissante ? A partir de quelle quantité d’output la courbe de coût variable
moyen devient-elle croissante ?
e. Pour quelle quantité d’output le coût marginal est-il égal au coût variable
moyen ?
f. En dessous de quel prix la firme cessera-t-elle de produire ?
g. A combien s’élève la production minimale de la firme ?
h. A quel prix la firme offrira-t-elle exactement 6 unités d’output ?
18. L’offre de la branche
Exercice 59
Considérons une branche concurrentielle composée d’un grand nombre de firmes
ayant toutes des fonctions de coût identiques c(y)=y2+1 pour y>0 et c(0) = 0.
Supposons que la courbe de demande initiale adressée à cette branche soit donnée
par D(p)=52-p. (La production d’une firme peut ne pas être un nombre entier, mais le
nombre de firmes est nécessairement un nombre entier).
a. Quelle est la courbe d’offre d’une firme individuelle ? Quelle serait la courbe
d’offre de la branche s’il y avait n firmes dans la branche ?
b. Quel est le prix minimal à partir duquel le produit peut être vendu ?
c. Quel est le nombre de firmes à l’équilibre de long terme dans cette branche
(p=2) ?
d. Quel est le prix d’équilibre ? Quelle est la production d’équilibre de chaque
firme ?
e. Quelle est la production d’équilibre de la branche ?
f. Quel est le profit de la branche ?
g. Que devient le profit si une nouvelle firme entre sur ce marché ?
Exercice 60
Considérons une branche composée de trois entreprises. Supposons que les
entreprises aient respectivement les fonctions d’offre suivantes : s1(p) = p, s2(p)=p-5
et s3(p) = 2p.
a. Faites un graphique. Tracez chacune des trois courbes d’offre et la courbe
d’offre de la branche obtenue à partir d’elles.
b. La courbe de demande du marché ayant la forme D(p)=15, quel est le prix
d’équilibre du marché ? La quantité d’équilibre ? Quelle est la quantité offerte
par chaque firme à ce prix ?
Répétitions de microéconomie
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19. Le monopole
Le monopole est un secteur d'activité dans lequel il n'y a qu'une seule entreprise.
Plutôt que de prendre le prix du marché pour une donnée, cette entreprise choisit le
prix et l'output qui maximisent ses profits totaux.
Pour ce faire, elle égalise recette marginale et coût marginal (Rm=Cm). Puisque
Rm(y) = p(y)[1 + 1 ] , la condition d'égalité entre recette marginale et coût marginal peut
ε(y)
être réécrite : p(y)[1 + ε(1y)] = Cm(y) .
Une entreprise concurrentielle respecte cette condition d'optimisation, mais pour une
telle entreprise, le coût marginal est égal au prix car la demande est parfaitement
élastique (ε=-∞). Par contre, le monopole choisit un prix supérieur au coût marginal
pour lequel la demande n'est pas inélastique (ε<-1). L'écart entre le prix et le coût
marginal dépend de l'élasticité de la demande.
En règle générale, le prix est plus élevé et l'output plus faible en monopole qu'en
concurrence parfaite. Il peut être démontré que le monopole est inefficace au sens
de Pareto, dans la mesure où il limite l'output à un niveau où les gens sont disposés
à payer pour une quantité supplémentaire un montant supérieur à son coût de
production. Cette inefficacité du monopole peut être mesurée par sa charge morte.
Un monopole peut être qualifié de monopole naturel lorsqu'il correspond à une
entreprise ne pouvant pas produire le niveau d'output efficace (p=Cm) sans perdre
de l'argent.
Exercice 61
Un monopoleur est confronté à une courbe de demande égale à D(p)=100-2p. Sa
fonction de coût est C(y)=2y. Quel est son niveau optimal d'output et de prix?
Exercice 62
Un monopoleur est confronté à une courbe de demande égale à D(p)=10p-3. Sa
fonction de coût est C(y)=2y. Quel est son niveau optimal d'output et de prix?
Exercice 63
Si la courbe de demande à laquelle est confronté un monopoleur a une élasticité
constante de –2, quel est l'écart entre le coût marginal est le prix pratiqué par ce
monopoleur?
Répétitions de microéconomie
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20. Le comportement du monopole
Le monopole est inefficace car il limite l'output à un niveau où les gens sont disposés
à payer pour une quantité supplémentaire un montant supérieur à son coût de
production. Le monopoleur ne souhaite pas produire cette quantité supplémentaire
car cela diminuerait le prix qu'il peut obtenir sur l'ensemble de sa production.
Mais, si le monopoleur peut discriminer en termes de prix, c'est-à-dire vendre
différentes unités d'output à des prix différents, la situation est toute autre. En fait,
trois types de discrimination en termes de prix sont à distinguer :
• La discrimination au premier degré : le monopoleur vend les différentes unités
d'output à des prix différents. Les prix peuvent différer d'une personne à l'autre.
• La discrimination au second degré : le monopoleur vend également les
différentes unités d'output à des prix différents, mais toutes les personnes
achetant une quantité identique du bien payent le même prix.
• La discrimination au troisième degré : le monopoleur pratique des prix différents
suivant la personne qui achète. Chaque unité d'output vendue à une même
personne est vendue au même prix.
Dans la pratique , c'est la concurrence monopolistique qui est la plus fréquente. La
concurrence monopolistique est un secteur dans lequel chaque entreprise est
confrontée à une courbe de demande décroissante pour son produit. Chaque
entreprise a donc un certain pouvoir de marché puisqu'elle peut fixer son propre prix
au lieu de prendre le prix du marché pour une donnée comme le fait une entreprise
concurrentielle. Toutefois, sa marge de manœuvre n'est pas illimitée dans la mesure
où les produits des diverses firmes monopolistiques sont similaires (mais non
identiques).
Exercice 64
Dans quel cas un monopole peut-il produire un niveau d'output efficace au sens de
Pareto?
Exercice 65
Si une entreprise peut pratiquer des prix différents sur deux marchés distincts, le prix
le plus bas sera-t-il fixé sur le marché avec la demande la plus élastique ou sur le
marché avec la demande la moins élastique?
Exercice 66
Un monopoleur est confronté à deux marchés dont les courbes de demande sont :
Q1(p1) = 100 – p1
Q2(p2) = 100 – 2p2
Le coût marginal est constant et est égal à 20.
(a) Si le monopoleur peut discriminer en termes de prix, quels prix devrait-il pratiquer
sur chacun des marchés pour maximiser son profit?
(b) Quel prix devrait-il choisir s'il ne peut pas discriminer?
(c) Laquelle de ces deux situations préfère-t-il, et pourquoi?
Répétitions de microéconomie
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Exercice 67
Un monopoleur fait face à la courbe de demande inverse p(y)=100-2y, et a un coût
marginal de production constant de 20.
(a) Quels sont le niveau d'output et le prix maximisant son profit?
(b) Quels sont le niveau d'output et le prix socialement optimaux?
(c) Quelle est la charge morte due au comportement monopolistique de la firme?
(d) Si ce monopoleur peut vendre chaque unité au prix le plus élevé possible, à
combien s'élèverait la charge morte dans ce cas?
Répétitions de microéconomie
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21. Les marchés de facteurs
Considérez le cas d'une entreprise opérant en monopole et utilisant un seul facteur
de production dont le prix w est une donnée (il y a concurrence parfaite sur le
marché de ce facteur). Une petite augmentation de la quantité d'input utilisée ∆x
entraîne une petite augmentation de l'output ∆y. Cette augmentation de l'output
implique à son tour une variation de la recette. Dès lors, l'effet sur la recette d'une
augmentation marginale de l'input, c'est-à-dire le produit marginal en recette, peut
être mesuré en multipliant la recette marginale par le produit marginal du facteur :
∆y
PmRx = ∆R = ∆R
= Rmy * Pmx
∆x
∆y ∆x
En concurrence parfaite, produit marginal en recette et produit marginal en valeur
sont égaux alors que dans le cas d'un monopole, le produit marginal en recette est
toujours inférieur au produit marginal en valeur.
Pour déterminer la quantité de facteur qu'une entreprise emploie, il s'agit d'égaler la
recette marginale d'une unité additionnelle de ce facteur avec son coût marginal
d'acquisition.
Ainsi, si une entreprise concurrentielle désire acquérir xc unités de facteur, elle
égalise pPm(xc)=w (où w est le prix du facteur). De son côté, si un monopoleur désire
acquérir xm unités de facteur, il égalise PmR(xm)=w. Il peut être démontré que xm<xc.
Le monopsone représente un marché dans lequel il n'y a qu'un seul acheteur. Cet
acheteur unique domine le marché du facteur et peut dès lors exercer une influence
sur le prix qu'il doit payer pour ce facteur (c'est un price maker, et non un price taker
comme c'est le cas pour une entreprise sur un marché de facteur concurrentiel).
Ainsi, si le monopsone veut acquérir x unités de facteur, il doit payer w(x). Cette
fonction d'offre inverse du facteur est supposée croissante : plus l'entreprise en
situation de monopsone désire employer du facteur x, plus elle doit accepter de
payer un prix de facteur important. Si ce monopsone opère dans un marché
concurrentiel pour son output, il égalise sa recette marginale pPmx à son coût
marginal. Ce dernier vaut :
Cmx = w[1 + x ∆w ] = w(1 + 1) où η est l'élasticité de l'offre du facteur de production.
w ∆x
η
η est positif en cas de courbe d'offre croissante (monopsone) et infini en cas de
courbe d'offre horizontale (concurrence parfaite).
Exercice 68
Un monopsone pourrait-il produire en un point où l'offre de facteur est inélastique?
Exercice 69
Considérez le cas d'une entreprise en position de monopsone sur le marché du
travail (seul input) et en position de monopole sur le marché de son output. En
supposant une offre de travail linéaire et croissante, et une productivité marginale
physique du travail toujours décroissante, représentez graphiquement le volume de
travail que l'entreprise estimera optimal et le salaire payé aux travailleurs. Que
pensez-vous de cette situation en termes d'efficacité?
Répétitions de microéconomie
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22. L'oligopole
L'oligopole est un marché sur lequel un petit nombre d'entreprises exercent une
certaine influence sur le prix. De son côté, le duopole représente le cas particulier
d'oligopole avec deux entreprises. Seul le cas d'un marché sur lequel deux
entreprises produisent un bien homogène est considéré ici.
Dans le cas d'un leadership en quantité (modèle de Stackelberg), la firme 1 qui est le
leader choisit la quantité y1 qu'elle produit. La firme 2 qui est le follower réagit en
produisant y2. Le prix d'équilibre sur le marché dépend de la quantité totale d'output
produite. Quel output le leader va-t-il choisir de produire pour maximiser son profit?
Tout dépend de son opinion quant à la réaction du follower. Le follower va chercher à
maximiser son profit compte tenu du niveau d'output du leader : max p(y)y2 - c 2(y2) où y
y2
est la quantité totale produite par les deux firmes. Pour ce faire, il égalise sa recette
∆p
marginale à son coût marginal : Rm2 = p(y) + y 2 ∆y = Cm2 . L'output du follower dépend
2
donc du choix de production effectué par le leader : y2=f2(y1). C'est la fonction de
réaction. Le leader, qui a fixé son niveau d'output initialement, connaît cette fonction
de réaction du follower. Dès lors, quand le leader choisit son output, il tient compte
de l'influence qu'il va exercer sur le follower. Son problème revient à maximiser :
max p(y)y1 - c1(y1) avec y2=f2(y1). Autrement dit, le leader prend en compte le fait que
y1
quand il choisit l'output y1, l'output total produit est égal à la somme de son propre
output plus celui produit par le follower.
Dans le cas d'un leadership en prix, le leader fixe son prix en tenant compte de la
réaction qu'il prévoit de la part du follower. Evidemment, à l'équilibre, le follower doit
avoir le même prix que le leader puisque les deux firmes produisent un bien
identique. Ainsi, si le leader fixe son prix à p, le follower considère ce prix comme
une donnée, et choisit l'output qui maximise son profit : max py 2 - c2(y2) . Le follower
y2
égalise dès lors le prix au coût marginal. Cette condition détermine la courbe d'offre
S(p) pour le follower. En ce qui concerne le leader, il sait que s'il fixe un prix p, le
follower offre S(p). La quantité que le leader va vendre est alors égale à R(p) =D(p)S(p) où R(p) est la courbe de demande résiduelle du leader. Afin de maximiser son
profit, le leader choisit une combinaison de prix et d'output telle que la recette
marginale associée à la courbe de demande résiduelle soit égale au coût marginal.
Le modèle du leadership en quantité et celui du leadership en prix déterminent des
combinaisons différentes de prix et d'output d'équilibre.
Si les deux entreprises essaient simultanément de choisir les quantités qu'elles vont
produire (modèle de Cournot), chacune d'entre elles doit alors prévoir l'output de
l'autre firme afin de pouvoir prendre une décision judicieuse. Autrement dit, chaque
entreprise choisit l'output maximisant son profit sur base de son anticipation quant à
l'output de l'autre firme yie : y1 = f1(ye2) et y2 = f2(y1e) . Toutefois, en règle générale,
l'output optimal de la firme 1, y1, ne coïncidera pas avec l'output auquel la firme 2
s'attend, y1e . L'équilibre de Cournot, c'est la combinaison d'outputs (y1*, y*2) telle que y1*
soit le niveau optimal que l'entreprise 1 choisit en supposant que la firme 2 produise
y *2 et que y *2 soit le niveau optimal d'output que la firme 2 choisit en supposant que la
Répétitions de microéconomie
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firme 1 produise y1* . Dès lors, à l'équilibre de Cournot, les équations y1* = f1(y*2) et
y*2 = f2(y1*) sont respectées, et aucune entreprise ne trouve profitable de modifier son
output quand elle découvre le choix effectivement fait par l'autre entreprise.
Si les deux entreprises essaient simultanément de choisir les prix qu'elles vont
pratiquer (modèle de Bertrand), à l'équilibre, le prix sera égal au coût marginal
puisque les deux firmes produisent un bien identique. Ce modèle de Bertrand peut
être interprété comme un système d'enchères concurrentielles.
Les deux entreprises, plutôt que d'agir de manière indépendante, pourraient très bien
décider de former une coalition et déterminer ainsi conjointement leurs outputs. Si la
collusion est possible, les firmes ont intérêt à choisir l'output maximisant les profits
totaux du secteur puis à se répartir ces profits entre elles. En procédant de la sorte,
elles forment un cartel qui se comporte comme un monopole unique. Le problème de
maximisation est alors : max p(y)[y1 + y2] - c1(y1) - c2(y2) où y=y1+y2. A l'équilibre, les deux
y1, y 2
entreprises ont un coût marginal identique car si tel n'était pas le cas, cela signifierait
que l'entreprise ayant un avantage en termes de coût devrait produire davantage
d'output à l'équilibre dans une solution de cartel. En règle générale, le cartel est
quelque chose d'instable car chaque entreprise est tentée de vendre davantage que
le niveau de production convenu si elle croit que les autres entreprises faisant partie
du cartel ne réagiront pas.
Exercice 70
Considérez le cas d'un duopole dans lequel l'entreprise 1 est en position de leader et
l'entreprise 2 est en position de follower. Les deux entreprises ont des coûts
marginaux constants et identiques, égaux à c. La fonction de demande inverse est
donnée par : p = a - b(y1+y2) où y1 et y2 désignent les productions des entreprises 1
et 2.
(a) Calculez la fonction de réaction du follower.
(b) Calculez le niveau de production optimal du leader.
(c) Calculez la production totale vendue et le prix du marché.
Exercice 71
Considérez un marché de duopole dans lequel la fonction de demande pour le
produit est q(p) = a - bp. L'entreprise 1 est leader en prix et sa fonction de coût
q2
est c1(q1) = cq1 . L'entreprise 2 suit et sa fonction de coût est c2(q2) = d + 22 . Calculez les
deux niveaux de production et les prix.
Exercice 72
Considérez le cas du marché d'un bien dans lequel deux entreprises X et Y se
partagent la production. Ces deux entreprises sont engagées dans une concurrence
à la Cournot. Le coût marginal de X est de 1 par unité de production alors que celui
de Y est de 2. Les coût fixes sont nuls pour chacune d'elles. La fonction de demande
inverse pour ce bien est p = 6 - 0,01q, où q désigne le nombre total d'unités vendues
quotidiennement.
(a) Calculez les fonctions de réaction de chacune des deux entreprises.
Répétitions de microéconomie
(b) Quelles sont les quantités produites à l'équilibre de Cournot?
(c) Quel est le prix d'équilibre?
(d) Quel sont les profits réalisés par chaque entreprise?
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